Verschiedene Wachstumsarten

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Diese ZUM-Wiki-Seite entstammt aus der Idee einer Seminargestaltung zum Thema „Computereinsatz in der Sekundarstufe II“ und ist die Fortentwicklung eines bereits existierenden ZUM-Wiki-Eintrags aus dem SS 2009. Hierbei sollen verschiedene Wachstumsarten kurz vorgestellt und diese anhand von themenspezifischen Aufgaben (exponentielles und logistisches Wachstum) dargeboten werden.


Inhaltsverzeichnis

Wachstumsarten

Lineares Wachstum

Maehnrot.jpg
Merke:

Unter "linearem Wachstum" wird die gleiche absolute Zunahme pro Zeiteinheit verstanden.

Es wird durch eine lineare Funktion f(x)=m\cdot x+b beschrieben, wobei b der Anfangswert und m die Wachstumsrate ist.

Vielfältige Beispiele derartiger Funktionen erhält man mit dem TI-Nspire durch den Einsatz zweier Schieberegler:

09-06-2010 Bildschirm001.jpg

Exponentielles Wachstum

Maehnrot.jpg
Merke:

Beim exponentiellem Wachstum ist die Zunahme pro Zeiteinheit proportional zum (vorherigen) Bestand. Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit wird durch die die Ableitung bestimmt.

Exponentielles Wachstum wird durch folgende exponentielle Funktion dargestellt: f(x)=a \cdot exp(c x); \Rightarrow f'(x)=c \cdot f(x)).

Dabei ist a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante. Ein Beispiel:


Bspexp.jpg


Beschränktes Wachstum

Maehnrot.jpg
Merke:


Beschränktes Wachstum hat folgenden explizite Darstellung: f(x)=K-(K-a) \cdot exp(-cx); \Rightarrow  f'(x)=c \cdot (K-f(x)).

Dabei ist K die Kapazität, die das Wachstum beschränkt, a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante.

Vielfältige Beispiele derartiger Funktionen erhält man mit dem TI-Nspire durch den Einsatz dreier Schieberegler:

09-06-2010 Bildschirm002.jpg

Logistisches Wachstum

Maehnrot.jpg
Merke:


Logistisches Wachstum hat folgende explizite Darstellung:

f(x)=\frac{aK }{a+(K-a)exp(-cKx)} ; \Rightarrow f'(x)=c \cdot (f(x) \cdot (K-f(x)))

Dabei ist K die Kapazität, die den Wachstum beschränkt, a=f(0) der Anfangswert und c eine Konstante.

Vielfältige Beispiele derartiger Funktionen erhält man mit dem TI-Nspire durch den Einsatz dreier Schieberegler:

09-06-2010 Bildschirm003.jpg

Aufgabe zur Schweinegrippe

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Wie Ihr sicher alle mitbekommen habt, steigt die Zahl der Schweinegrippe Erkrankten immer mehr an. Grade in den Sommerferien haben durch den Tourismus die H1N1 Neuinfektionen rasant zugenommen. Das Robert Koch Institut hat uns für diesen Zeitraum die aktuellen Zahlen über Neuerkrankungen in Deutschland zur Verfügung gestellt. In der Tabelle sind die Anzahl der Neuerkrankungen pro Bundesland angegeben, wobei der Zeitraum in Kalenderwochen gegeben ist. Die Tabelle gibt nicht an, wieviele Erkrankte es zu einem Zeitpunkt insgesamt gibt, sondern nur die Neuerkrankten in einer Woche!


Schaut euch nun gemeinsam die vorliegenden Daten an und besprecht in der Gruppe, um was für ein Wachstum es sich euer Meinung nach handeln könnte.


Folgende Fragen können euch hierbei als Leitfaden helfen:

  1. Welche Wachstumsarten kennen wir und wie werden diese charakterisiert?
  2. Ist der oben angesprochene Faktor Sommerferien in den Zahlen wiederzuerkennen?
  3. Wie kann man den Wachstum graphisch darstellen?
  4. Inwiefern sind Vergleiche und Prognosen unter den Bundesländern möglich?


Hier nun die angekündigte Tabelle zur Schweinegrippe:

SGF Neuinfizierte.jpg

und als Download für den TI-Nspire: Datei:Tabelle neuinf.tns

Lösung

Aufgabe zum Temperaturverlauf

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Die nachfolgenden Messwerte geben den Abkühlungsverlauf des Inhaltes einer frisch gebrühten Tasse Kaffee an. Der Kaffee besitzt hierbei eine Anfangstemperatur von ca. 82°C.

Tab temp.jpg
  1. Trage die Werte in den CAS ein.
  2. Durch welche Wachstumsart wird der Abkühlungsprozess modelliert?
  3. Bestimme eine möglichst genaue Funktion unter Bezugnahme des Schiebereglers zur Abkühlung des Kaffees.
  4. Entscheide dich, inwiefern es sich um eine passende Approximation für die Abkühlung des Kaffees handelt.

Lösung

Aufgabe zur Bevölkerungsentwicklung

Augabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Die nachfolgende Tabelle enthält die Bevölkerungszahl der Erde von 1950 – 2005 sowie eine Vorausberechung von 2005 – 2050.

Tab bev.jpg
  1. Trage die Werte in das CAS ein.
  2. Bestimme eine Funktion unter Bezugnahme einer adäquaten Regressionsfunktion zur Entwicklung der Weltbevölkerung.
  3. Zu welchem Zeitpunkt werden voraussichtlich 7,5 Millionen Menschen auf der Welt leben?
  4. Beurteile, inwiefern es sich um eine adäquate funktionale Darstellung für die Entwicklung der Weltbevölkerung handelt.

Lösung

Notwendige Voraussetzungen

  • Kennen Funktionen, Ableitungen und deren Bedeutung.
  • Kennen die unterschiedlichen Wachstumsarten.
  • Können mit dem Taschenrechner umgehen, speziell mit Tabellen und deren graphische Auswertung.
  • Kennen die Auswirkungen der Parameter bei den Wachstumsfunktion und können deren Änderung deuten.

Rolle der Technologie

  • Darstellung/Veranschaulichung/Visualisierung der gegebenen Werte.
  • Analyse und Auswertung von Graphen mit Hilfe von Funktionen.
  • Entscheidung über Genauigkeit der Approximation.
  • Erkennen Grenzen der Schieberegler und Regression.

Bezug zum Lehrplan

Idee des funktionalen Zusammenhangs:

  • Entwicklung von systematischen Begriffen und Verfahren zur Beschreibung von Funktionen und Funktionsklassen
  • „Funktionen weiterer Funktionenklassen (trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen) werden unter dem Aspekt ausgewählt, welche Bedeutung sie in Modellbildungsprozessen haben.“
  • GK: „Innermathematische Vernetzungen (z.B. der Wachstumsvergleich von Exponentialfunktionen und ganzrationalen Funktionen) (...) sind einer ausschließlich formalen Behandlung vorzuziehen.“
  • LK: „Untersuchungen von Exponentialfunktionen und weiteren Funktionenklassen“.

Didaktischer Kommentar

Noia 64 apps kontour.png   Meinung

Die Nutzung des Schiebereglers zur Bestimmung der Funktion bietet gleich mehrere Vorzüge: Erstens müssen die SuS ihr Wissen um die verschiedenen Funktionstypen aktiv in einen Darstellungsprozess einbringen, um somit den thematisierten Wachstumsprozess abzubilden. Zweitens ist die Kenntnis über Verschiebung und Streckung von Funktionen bei der Anpassung an Daten erforderlich, was der Idee des funktionalen Zusammenhangs Rechnung trägt. Und drittens ist das Regeln über Verschieben eine spannende eigenständige Tätigkeit, die den SuS Spaß bereitet und experimentelles Geschick erfordert.

Die Nutzung der Regressionsfunktion impliziert speziell im Kontext des logistischen Wachstums ein schnelles und problemloses auffinden der (Wachstums-)Funktion. Dies stellt einen qualitativen Zugewinn dar, da dieser sonst komplexe Funktionstypus nun mühelos bestimmt werden kann und somit den SuS im Rahmen des Unterrichts zugängig wird. Kritisch zu konstatieren bleibt dabei aber, dass die SuS nicht erkennen können, wie die Modellfunktion zustande kommt. Unserer Ansicht nach impliziert daher die Variante des Schiebereglers prinzipiell einen größeren didaktischen Mehrwert.


Bitte ändere den Inhalt dieses Beitrags nicht. Denn er gibt eine persönliche Meinung wieder.

Quellen