Bernoulli-Experimente

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Einführung in das Thema Bernoulli-Experimente

Ein Zufallsexperiment wird Bernoulli-Experiment genannt, wenn nur zwei Ausgänge des Experiment möglich sind. Die Ergebnismenge lässt sich also in folgender Form darstellen:

E = {T,N} (mit T=Treffer und N=Niete). Wichtig hierbei ist, dass p(T)+p(N)=1.

Beispiele:

  • Werfen einer Münze mit den Ausgängen W (Wappen) und Z (Zahl), also E = {W,Z}
  • Würfeln mit einem Laplace-Würfel mit den Ausgängen (eine 6) und (keine 6), also E = {(eine 6),(keine 6)} oder
  • Würfeln mit einem Laplace-Würfel mit den Ausgängen G (gerade) und U (ungerade), also E = {G,U}.

Ein Bernoulli-Experiment kann man natürlich nicht nur einmal durchführen, sonder auch n-mal. Dies nennt man dann Bernoulli-Ketten. Der Ergebnisraum sieht dann wie folgt aus: E = {T,N}^n

Beispiel:

  • Werfe eine Münze drei mal, also E = {WWW, ZWW, WZW, WWZ, ZZW, ZWZ, WZZ, ZZZ}
  • Dreimaliges Ziehen von schwarzen (S) und weißen (W) Kugeln aus einer Urne, also E = {SSS, WSS, SWS, SSW, WWS, WSW, SWW, WWW}

Wenn nun noch die Wahrscheinlichkeit bekannt ist, mit der das Ereignis T (Treffer) oder N (Niete) auftritt, dann lässt sich berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist k Treffer zu erzielen:

Aufgabenstellung für Schüler und Schülerinnen

Stift.gif   Aufgabe

Ihr würfelt mit einem fairen Laplace-Würfel. Wann taucht die erste SECHS auf?

  • Überlegt euch eine Formel in Excel mit der ihr das Experiment simulieren würdet. (Hilfestellungen s. Lösungsskizze)
  • Erwartet ihr einen solchen Ausgang auch, wenn ihr mit einem Würfel per Hand würfelt?
  • Wie berechnet man die einzelnen Wahrscheinlichekeiten mathematisch? Durch welche Funktion kann das Ganze dargestellt werden?
  • Wo liegen Probleme der einzelnen Möglichkeiten?

Rolle der Technologie in der Stochastik

Die Technologie dient in der Stochastik und vor allem im Unterbereich der Statistik als Instrument der Datenauswertung. Es können Grafiken, Boxplots und Tabellen erstellt werden, an denen man Ausgängen von einigen Experimenten oder realen Alltagssituationen sehen kann. Mit Hilfe der Technologie können zum Beispiel Experimente wie z.B. 500faches Würfeln durchgeführt werden, wofür man sonst viel Zeit bräuchte. Die so gewonnenen Daten können mit Hilfe weitere Technologie verarbeitet werden und mit den "mathematisch korrekten Formeln" verglichen werden um so die Aussagekraft der Daten zu erhalten oder zu widerlegen.

Bezug zum Lehrplan

In der Stochastik steht die Idee der Wahrscheinlichkeit im Zentrum des Unterrichts. Bei der Bearbeitung realer Probleme ist die Modellbildung ein zentraler Aspekt. Ansatzüberlegungen müssen offen gelegt, Resultate diskutiert und bewertet werden. Bei der Kennzeichnung von Datenmengen durch Kennzahlen werden Aspekte der Idee des Messens angesprochen.

Grundlagen der Sekundarstufe II in Stochastik:

  • Wahrscheinlichkeit
  • Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert
  • Binomialverteilung
  • Bernoulli-Experimente

Wichtig ist weiterhin: - wissenschaftliches Arbeiten -

  • Analyse, Strukturierung und Interpretation von Daten, die im Kontext von Sachzusammenhängen oder Graphiken, Zeichnungen, Tabellen, Diagrammen usw. vorgegeben sind

Siehe auch