Differenzialrechnung

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Ein häufiges Problem, welches bei der Differenzialrechnung auftaucht, ist dass Schülerinnen und Schüler Fehlvorstellungen entwickeln oder nicht verstehen, was sie berechnen. Dem entgegenwirken soll der verstehensorientierte Unterricht.

Verstehensorientierter Mathematikunterricht beinhaltet, dass Begriffe auf ein breites Fundament gestellt werden, so dass vielfältige Vorstellungen zu den Begriffen entstehen können. Deshalb ist es wichtig, einen Einstieg zu wählen, welcher allgemeingültig und tragfähig und trotzdem anschaulich ist. Auf diese Einführung sollte man während der gesamten Unterrichtsreihe zurückgreifen können. Des Weiteren wird im verstehensorientierten Unterricht ein großes Augenmerk auf einen durchgehenden Prozesscharakter gelegt. Das bedeutet, dass das wichtigste Ziel sein sollte, das Verständnis und die Genese von Begriffen zu vermitteln und nicht der bloße Umgang, bzw. das Rechnen mit ihnen. Verstehensorientierter Unterricht soll Brücken schlagen zwischen Semantik und Syntaktik und näherungsweise und exaktem Arbeiten. Diese Begriffsfelder sollen helfen, den Unterrichtsschwerpunkt einzuordnen.

Im Sinne von verstehensorientiertem Unterricht werden hier zwei Beispiele für einen Einstieg zum Thema Differenzialrechnung gezeigt.

Experimenteller Zugang

Wenn die Kelle vom Straßenrand winkt, ist es zu spät: Mit Laserpistolen lassen sich Geschwindigkeiten aus vergleichsweise großen Entfernungen bestimmen. Die Polizeibeamten vor der Messung zu entdecken, ist faktisch unmöglich.

Die wenigsten wissen, dass Laserpistolen keine Geschwindigkeiten, sondern Abstände messen. Doch wie bestimmt das Gerät daraus die Geschwindigkeit?

Laserpistolen gibt es in den wenigsten Schulen; weiter verbreitet sind Entfernungsmesser. Das CBR2 ist so ein Entfernungsmesser. Er sendet einzelne Ultraschallimpulse aus, die reflektiert werden. Gemessen wird die Zeit, bis diese wieder eintreffen. Aus der Laufzeit kann - da man die Schallgeschwindigkeit kennt - die Geschwindigkeit berechnet werden. Führt man mit dem Gerät Messungen durch, wird auch die Geschwindigkeit angegeben. Doch wie funktioniert das? Wir werden eine Methode entwickeln, um mit dem CBR2 Geschwindigkeiten zu bestimmen. Dabei verwenden wir die gleiche mathematische Methode wie bei Laserpistolen.

Aufgabe 1

Anleitung für das Experiment

Die beschleunigte Bewegung eines auf einem schief stehenden Brett rollenden Spielzeugautos soll mit dem Entfernungsmesser ermittelt werden. Die ermittelten Zeit- und Entfernungsdaten werden gespeichert und dargestellt. Ziel ist die Aufnahme der Entfernung (in m) in Abhängigkeit von der Zeit (in s). Dazu wird der CBR2 an das TI-Nspire Handheld angeschlossen. Das Programm startet automatisch und zeigt den derzeit gemessenen Abstand an. Nun wird das Auto in Position gebracht, die Messung gestartet und das Auto rollen gelassen. Die Messung stoppt nach 5 Sekunden automatisch.


Stift.gif   Aufgabe : Abstandsverlauf

Stellen Sie den Abstand in Abhängigkeit von der Zeit grafisch dar. Beschreiben Sie den Abstandsverlauf mit eigenen Worten:

  • In welchen Zeitabständen wird die Entfernung gemessen?
  • Was bedeutet der waagerechte Verlauf am Beginn und am Ende?
  • Woran erkennt man, dass hier eine beschleunigte Bewegung vorliegt?


Information icon.svg Lösung



Stift.gif   Aufgabe : Datenauswertung

Welche Funktion eignet sich besonders gut, um die Messwerte der Beschleunigungsphase zu beschreiben? Stellen Sie dafür zunächst den hierzu zugehörigen Ausschnitt dar, indem Sie den Graphen auf die Beschleunigungsphase reduzieren.


Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe : Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit

Berechnen Sie die jeweils mittlere Geschwindigkeit in den Zeitintervallen [0; 0.05], [0.05; 0.1],...
Begründen Sie hierzu, dass für die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [a; b] gilt:

    v(a,b) = s(b) - s(a)/b - a  


Stellen Sie die Werte in einem Streudiagramm dar und nähern Sie auch diese Daten durch eine passende Funktion an. Interpretieren Sie den Verlauf.


Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe : Mittlere Geschwindigkeit - Momentangeschwindigkeit

Kann man aus den nun berechneten Daten bestimmen, wie schnell das Auto zu einem bestimmten Zeitpunkt war? Ermitteln Sie die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt und auch die Höchstgeschwindigkeit am Ende der schiefen Ebene.


Information icon.svg Lösung


Aufgabe 2

Ein Räuber macht in seinem Wagen eine Pause. Plötzlich sieht er im Rückspiegel, wie sich ein Polizeiauto nähert. Er startet den Motor und flieht. Doch nach einigen Metern geht sein Motor aus und sein Wagen wird langsamer. Nach mehreren Versuchen springt der Motor wieder an. Er tritt das Gaspedal bis zum Anschlag durch. Der Polizeiwagen kommt näher und berührt den Fluchtwagen an der Stoßstange. Trotz der Warnung „Brücke nicht befahrbar“ beschleunigt der Räuber weiter, rast über eine Rampe, fliegt über einen Fluss und landet auf der anderen Uferseite. So etwas gibt es nur im Kino, oder?

Stift.gif   Aufgabe a)

Zeichnen Sie von Hand ein Weg-Zeit-Diagramm, das zur Geschichte passt.

Information icon.svg Lösung


Damit solche Stunts funktionieren, muss vorher alles penibel geplant werden. Das folgende Modell der Verfolgungsjagd beschreibt einen möglichen Verlauf der Szene:

(1) Der Polizeiwagen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit (25 m/s).

(2) Die Verfolgungsjagd dauert (vom Losfahren des Räubers bis zum Verlassen der Rampe) insgesamt 16 Sekunden. In diesem Zeitraum kann der vom Startpunkt zurückgelegte Weg des Fluchtwagens durch

    s(t) = 9/400 t^4 - 3/5 t^3 + 9/2 t^2   

beschrieben werden.

Arbeiten Sie bei den folgenden Aufgaben mit diesem Modell:

Stift.gif   Aufgabe b)

Überprüfen Sie, ob der Graph von s zu der Geschichte passt.


Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe c)

In welchen Zeitintervallen beschleunigt der Fluchtwagen, wann wird er langsamer?

Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe d)

Bleibt der Wagen des Räubers nach dem Start noch einmal stehen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe e)

Mit welcher Geschwindigkeit fährt der Räuber auf die Brücke?

Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe f)

An welcher Stelle müsste man an der Strecke eine Kamera platzieren, um den Zusammenstoß der beiden Autos möglichst gut filmen zu können? Wo muss sich dann der Polizeiwagen zum Zeitpunkt 0 befinden?

Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe g)

Die Geschwindigkeit des Polizeiwagens soll verändert werden. Kann man für jede Geschwindigkeit eine optimale Kameraposition zum Filmen des Zusammenstoßes bestimmen? Bei welchen Geschwindigkeiten wird die Verfolgungsjagd besonders dramatisch?

Information icon.svg Lösung


Quellenangabe

  • Pallack, Andreas und Langlotz, Hubert (2009): Differenzialrechnung mit Neuen Medien verstehensorientiert unterrichten. In: Differenzialrechnung mit neuen Medien verstehensorientiert unterrichten. H. Langlotz und A. Pallack (Hrsg.). ZfL-Verlag, Münster: S. 5-22.
  • Schlöglhofer, Franz (2009): Auf der schiefen Bahn? - Ermitteln der Geschwindigkeit. In: Differenzialrechnung mit neuen Medien verstehensorientiert unterrichten. H. Langlotz und A. Pallack (Hrsg.). ZfL-Verlag, Münster: S. 31-36.
  • Pallack, Andreas (2009): ... aus einem Actionfilm. In: Differenzialrechnung mit neuen Medien verstehensorientiert unterrichten. H. Langlotz und A. Pallack (Hrsg.). ZfL-Verlag, Münster: S. 37-46.