Doppelpendel

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Inhaltsverzeichnis

Einführung

Die Bewegung eines vertikalen Doppelfederpendels soll physikalisch und mathematisch untersucht werden. Die SuS sollen zu Beginn im Unterrichtsgespräch ihr Wissen über harmonische Schwingungen bzw. über die harmonische Schwingung eines Federpendels wiederholen.

Lernziele

Die SuS sollen mit Hilfe physikalischer Beobachtungen und mathematischer Auswertungsmethoden des TI-Nspire

  1. Die Addition von Funktionen anhand des Beispiels der Überlagerung zweier trigonometrischer Funktionen verstehen
  2. Die Ableitung vom Sinus bzw. vom Cosinus mit Hilfe von Messwerten ermitteln

Notwendige Vorkenntnisse

Kenntnisse aus dem Mathematikunterricht:

Analysis: Differentiation

Ableitungen und die Kettenregel müssen vorher im Unterricht behandelt worden sein.

Analysis: Trigonometrische Funktionen

Den SuS sollten die Funktionsgraphen trigonometrischer Funktionen (Sinus und Cosinus) und die Parameter in (trigonometrischen) Funktionsgleichungen bekannt sein:

f(x)=a \cdot sin(b \cdot x+c)+d

f(x)=a \cdot cos(b \cdot x+c)+d

mit x\in\mathbb{R} und a,b,c,d\in\mathbb{R} beliebig fest.

Außerdem sollte der Zusammenhang cos(x)=sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) sowie sin(x)=cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right) bekannt sein.


Kenntnisse aus dem Physikunterricht:

1. Kinematik
Für die Geschwindigkeit eines Körpers gilt:

v=\frac{ds}{dt}

wobei ds die zurückgelegte infinitesimale Strecke im Zeitintervall dt ist.


2. Dynamik
Für die Gewichtskraft eines Körpers auf der Erde gilt:

F_{G}=m \cdot g

wobei m die Masse eines Körpers und g=-9,81\frac{m}{s^{2}} die Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche ist.


3. Harmonische Schwingungen
Bei einer harmonischen Schwingung ist die Beschleunigung (und damit auch die resultierende Kraft F) auf den Schwingungskörper proportional zu dessen Auslenkung x aus der Gleichgewichtslage und stets zu dieser hingerichtet. Somit gilt das Hook`sche Gesetz:

F_ {D}=-D \cdot x

Hierbei ist die Federkonstante D ein Maß für die Elastizität der Feder.

Die harmonische Schwingung eines Federpendels lässt sich z.B. mit Hilfe des Cosinus beschreiben:

x(t)=A \cdot cos\left(\frac{2 \cdot \pi}{T} \cdot t\right)

Hierbei ist t wieder die Zeit, x(t) die Auslenkung des Pendels aus der Ruhelage, A die Amplitude der Schwingung und T die Periodendauer.

Für die Periodendauer gilt folgender Zusammenhang:

T=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}


Abbildung 1: Material

Benötigtes Material:
Pro Kleingruppe (2-3 Personen) wird benötigt:

  • TI-Nspire Abstandsmessgerät (z.B. Texas Instruments CBR 2)
  • Zollstock
  • Stoppuhr (z.B. Handy)
  • zwei (gleiche) Gewichte
  • zwei (gleiche) Federn







Aufgaben

Stift.gif   Aufgabe

Die folgenden Aufgaben werden in 2er bzw. 3er Gruppen bearbeitet.

Betrachtet zunächst die einzelnen Pendel:

1. Berechnet die Federkonstante D jeder Feder. Messt dafür die Länge einer Feder mit und ohne ein Gewicht. Tipp: Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Gewichtskraft F_{G} und der Federkraft F_{D}, wenn eine Feder mit einem Gewicht in Ruhe ist.

Betrachtet nun das Doppelfederpendel:

2. Wie lang ist je eine Feder mit Gewicht in der Ruhelage? Lenkt das Doppelpendel am unteren Gewicht aus und notiert euch diese maximale Amplitude. Wie weit sind dann die einzelnen Pendel ausgelenkt? Nun lasst das Doppelpendel los. Die einzelnen Pendel schwingen harmonisch. Wie groß ist die Periodendauer T von jedem Pendel? Stellt Funktionsgleichungen für die harmonischen Schwingungen der einzelnen Pendel des Doppelpendels auf und lasst sie vom TI zeichnen.

3. Auch das Doppelpendel schwingt harmonisch. Wie lautet seine Funktionsgleichung? Zeichnet den Funktionsgraph des Doppelpendels in das selbe Koordinantensystem wie die Funktionsgraphen von Aufgabe 2! Wie gehen die Bewegungen der einzelnen Federpendel in die Bewegung des Doppelpendels ein? Könnt ihr dazu einen mathematischen Zusammenhang zwischen den drei Funktionen aufstellen?

4. Führt für das Doppelpendel zwei bis drei Bewegungsmessungen mit dem Abstandsmessgerätmessgerät durch. Analysiert die Messkurven, indem ihr Kurvenanpassungen durchführt. Überlegt euch wie ihr die gewonnenen Ergebniskurven mit dem Funktionsgraph des Doppelpendels aus Aufgabe 3 am besten miteinander vergleichen könnt. Gibt es Unterschiede zwischen dem Graphen aus Aufgabe 3 und den Ergebniskurven der Messung? Wenn ja wieso?

5. Wählt euch ein Messergebnis der Bewegungsmessung aus Aufgabe 4 aus. Vergleicht den Funktionsgraph der Bewegung mit dem Funktionsgraph der Geschwindigkeit des Doppelpendels. Könnt ihr einen Zusammenhang zwischen dem Kosinus und Sinus erkennen? Tipp: Denkt an die Kettenregel!

Didaktisches Kommentar

Die SuS lernen in der Einheit einen physikalischen Sachverhalt zu beobachten und zu analysieren. Sie nutzen einen graphikfähigen Taschenrechner, um Messwerte zu visualisieren, zu interpretieren und miteinander zu vergleichen. Anhand dieser Messergebnisse üben die SuS einen physikalischen Zusammenhang mathematisch zu fassen. Das Ziel dieser Aufgabe ist, dass die SuS interdiziplinär arbeiten. Den SuS soll bewusst werden welche Auswirkungen minimale Messfehler auf ein Ergebnis haben können. Darüberhinaus soll verdeutlicht werden, dass durch die Mathematik physikalische Sachverhalte präzise formuliert werden können. Letztlich zeigt sich am Beispiel des Doppelpendels auch, dass mathematisch bereits bekannte Zusammenhänge (hier z.B.: Trigometrische Funktionen und ihre Ableitung) einen Anwendungsbereich in der Physik finden.

Literatur

Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik I - Mechanik und Wärmelehre, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006