Einführung in den Umgang mit Ebenen

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Inhaltsverzeichnis

Motivation

Die Einführung von Ebenen findet zumeist im Rahmen des Themengebietes Analytische Geometrie statt. Kennzeichnend ist das Bearbeiten geometrischer Probleme mittels Rechnungen und algebraischer Methoden.

In diesem Themenbereich waren u.a. Fermat, Euler, Gauß die Vorreiter.

Um nicht sofort mit der Tür ins Haus zu fallen, sondern sich den Ebenen und ihren darstellenden Gleichungen erst anzunähern, wurde sich mit den grundlegenden Begriffen wie Vektoren oder Geraden schon auseinandergesetzt.

Hinzu kommt der Umgang mit Geraden. Abstandsberechnungen, wie Ebenen zueinander liegen oder in welchem Winkel sie sich schneiden, sind die Hauptaufgaben der Schüler.

Fachlicher Hintergrund

Die Gleichungen

1. Punktrichtungsgleichung/Vektorform/Parameterform

Eine eindeutig bestimmte Ebene in der Form: \vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u + \mu \cdot\vec v

2. Normalenform

Ebene in der Form:     ( \vec r - \vec a ) \cdot \vec n = 0

3. Koordinatenform

Ebene in der Form: {E: \ n_1 \cdot x_1+n_2 \cdot x_2+n_3 \cdot x_3=b}

Durch das Wissen einer dieser drei Formen kann man mit wenig Aufwand zu den jeweiligen anderen Formen gelangen.

Weitere wichtige Begriffe

Bei den von den Schülern durchzuführenden Aufgaben hat das zuvor eingeführte Skalarprodukt eine enorme Bedeutung.

Vor allem zum Berechnen von Schnittwinkeln, aber auch zur Verwendung des Normalenvektors, ein weiterer wichtiger Begriff.

Beim Umwandeln von der Parameterform in die Normalenform ist z.B. die Anwendung des Kreuzproduktes wissenswert.

Begriffe, die noch direkt im Zusammenhang mit der Ebene stehen, sind u.a. Richtungsvektor, Ortsvektor, linear (un-)abhängig oder Schnittgerade.

Eine anwendungsbezogene Aufgabe

Stift.gif   Aufgabe

Gehen wir doch mal die "Standardaufgaben" durch und versuchen diese mit Archimedes Geo3D zu verwirklichen:

  1. Konstruiert zwei Ebenen. Verwendet dabei zwei unterschiedliche Weisen der Konstruktion!
  2. Bestimmt den Schnittwinkel.
  3. Lasst euch eine Schnittgerade berechnen.

Was findet ihr im Umgang mit dem Programm hierbei einfach und was ist verbesserungswürdig bzw. muss man erst einmal herausfinden?

Literaturverzeichnis

  • Abiturwissen Mathematik, DUDEN, Verlag für Bildungsmedien (2004)
  • Mathematik verständlich, Robert Müller-Fonfara, Weltbild (2006). ISBN 9783828941946
  • Handbuch der Mathematik, Walter Gellert, Buch und Zeitgesellschaft mbH Köln (1973)