Einführung von Wendestellen

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Inhaltsverzeichnis

Was ist eine Wendestelle?

Eine Stelle, an der der Graph von f einen Wendepunkt hat, heißt Wendestelle, wobei man unter einem Wendepunkt die Trennung von einer Rechtskurve zur Linkskurve (oder umgekehrt) versteht.

Ein Graph besitzt eine Wendestelle x_w, wenn die Ableitungsfunktion  f''(x) der differenzierbaren Funktion  f(x) an der Stelle x_w ihr Vorzeichen wechselt. Das bedeutet, dass an den Wendestellen jeweils ein Krümmungswechsel des Graphen erfolgt (Linkskurve - Rechtskurve, bzw. umgekehrt). Bei einer Linkskurve ist die Ableitungsfunktion  f'(x) im Intervall I streng monoton wachsend und bei einer Rechtskurve ist die Ableitungsfunktion  f'(x) streng monoton fallend.

Des Weiteren liegt eine Wendestelle vor, wenn die angelegte Tangente, man nennt sie auch Wendetangente, den Graphen nicht nur berührt, sondern schneidet. An diesem Schnittpunkt befindet sich der Wendepunkt.


Maehnrot.jpg
Merke:

Eine Wendestelle ist eine Extremstelle der Ableitungsfunktion.

Wie werden Wendestellen errechnet?

Das Errechnen von Wendestellen gehört zu einer vollständigen Kurvendiskussion dazu. Als Erstes wird die notwendige Bedingung errechnet und danach folgt das hinreichende Kriterium.


Notwendige Bedingung

Bei der notwendigen Bedingung wird die erste Ableitung des Graphen auf eine Extremstelle untersucht. Hierzu können die Schüler und Schülerinnen eine Tangente an die erste Ableitung des differenzierbaren Graphen anlegen und damit daran entlangfahren. Dabei sollte den Schülern auffallen, dass an den Extremstellen der Ableitungsfunktion f'(x) die Steigung null wird. Das führt dazu, dass bei dem notwendigen Kriterium die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird. Als Ergebnis erhält man den x-Wert der möglichen Wendestelle.


Hinreichendes Kriterium

Nun wird geschaut, ob der Graph wirklich eine Wendestelle besitzt. Für diese Überprüfungen sind verschiedene Verfahren möglich. In der Regel wird in die dritte Ableitung der Funktion f der x Wert eingesetzt.

Ist die dritte Ableitung an der Wendestelle ungleich 0, so bedeutet dies, dass die 2te Ableitung keinen Extrempunkt (und keinen Sattelpunkt) an ihrer Nullstelle hat. Das heißt, dass die 2te Ableitung einen Vorzeichenwechsel hat und somit eine Wendestelle existiert. Wenn als Ergebnis f'''(x) >0 herauskommt, besitzt f'(x) hier ein Minimum und die Wendestelle hat somit einen Krümmungswechsel von rechts nach links, also bildet der Graph der Funktion f im Intervall I eine Linkskurve. Wenn f'''(x) <0 errechnet wird, hat f'(x) ein Maximum und es liegt eine Wendestelle mit einem Krümmungswechsel von links nach rechts vor an der Stelle x_w, was bedeutet, dass der Graph der Funktion f im Intervall I eine Rechtskurve bildet. Es gibt aber auch den Fall, dass f'''(x) =0 ist. Hierbei muss das Vorzeichenkriterium angewandt werden. Das bedeutet, f''(x) <0 wird für x<x_w und für x>x_w untersucht. Lässt sich ein Vorzeichenwechsel von + nach - erkennen, befindet sich dort eine Wendestelle mit einem Krümmungswechsel von links nach rechts und wenn eine Vorzeichenwechsel von - nach + vorliegt, ist eine Wendestelle mit einem Krümmungswechsel von rechts nach links vorzufinden.

Das Verfahren des Vorzeichenwechselkriteriums kann auch direkt nach Beendigung des notwendigen Kriteriums verwendet werden, das hat den Vorteil, dass man die Funktion nicht noch einmal ableiten muss.

Anschaulich kann man das Vorzeichenwechselkriterium wie folgt erklären:

An der Wendestelle a hat die Funktion ihre maximale Steigung, das bedeutet also, dass die erste Ableitung f' dort ein Extremum besitzt. Wenn eine Funktion ein Extremum hat, besitzt deren Ableitung an der Stelle einen Vorzeichenwechsel, da die Steigung erst fällt/steigt und nach dem Extremum steigt/fällt.

Voraussetzungen der Schüler

Bevor in der Schule Wendestellen eingeführt werden, sollten die Schüler und Schülerinnen den Graphen auf Nullstellen, Symmetrieverhalten, Grenzwerte und Extremstellen untersuchen können. Die Schüler und Schülerinnen müssen demnach wissen, wie man die Ableitung einer differenzierbaren Funktion bildet, wie man Extremstellen errechnet, wie man eine Tangente an den Graphen anlegt und was die Tangente über die Steigung des Graphen aussagt.

Mögliche Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe
  1. Zeichne den Graphen der Funktion f(x) = \frac{1}{100} \cdot (x^4+4x^3-48x^2+600)
. Wo liegen mögliche Wendestellen? Begründe.
  2. Berechne die Wendestellen von der oben gegebenen Funktion.
  3. Zeichne die Funktion f(x)=x^6 und ihrer Ableitung f\!\,'(x). Was fällt euch bezüglich des Wendepunktes auf

Teilaufgabe 3 verdeutlicht dabei, dass es Fälle gibt, bei denen beim hinreichenden Kriterium nur das Vorzeichenkriterium verwendet werden kann. Diese Fälle treten dann auf, wenn bei der ersten Ableitungsfunktion f\!\,'(x) ein Sattelpunkt, anstelle eines Hoch- oder Tiefpunktes vorzufinden ist. Immer wenn das der Fall ist, kann man über die dritte Ableitung argumentieren, weil diese dann an der Stelle xw immer null ist. Des Weiteren ist es so, wenn die Schüler und Schülerinnen eine Tangente an die Ableitungsfunktion f\!\,'(x) legen und die Tangente horizontal verläuft, liegt ein Sattelpunkt vor und das Vorzeichenkriterium muss angewandt werden.

Bezug zum Lehrplan/Zentrale Ideen

Idee des funktionalen Zusammenhangs

"Mit Mitteln der Differentialrechnung werden Änderungen analysiert und die charakteristischen Merkmale von Funktionen ermitelt." Bei der Einführung von Wendestellen soll daher der Schwerpunkt darauf gelegt werden, dass die Schüler und Schülerinnen ein Verfahren entwickeln, mit dem sie die Funktion auf Wendestellen untersuchen können und dabei entdecken, was für Voraussetzungen gegeben ein müssen. Das bedeutet, dass sie die Funktion auf ihr Wendestellen reduziert, damit die Schüler und Schülerinnen diese genauestens untersuchen und anschließend errechnen können.

Idee des Messens

Unter der Idee des Messens in Bezug auf die Einführung in Wendestellen wird beispielsweise die Messung der Steigung durch die Tangente, um die Wendepunkte zu erfassen, verstanden. Aber auch das Erfassen von Wendestellen sowie das quantitative Beschreiben des Graph hinsichtlich der Wendestellen gehören zu dem Aspekt Idee des Messens.

Didaktischer Kommentar

Durch das selbstständige Ausprobieren, wo eine Wendestelle sein könnte, ohne sie zu errechnen, erkennen die Schüler und Schülerinnen die Eigenschaften bzw. die Bedingungen für eine Wendestelle. Es ist aber auch wichtig, dass die Schüler und Schülerinnen am Anfang nicht überfordert werden: Aus diesem Grund macht es Sinn, am Anfang eine relativ leichte Aufgaben zu stellen; die weiteren Aufgaben sollten dann immer komplexer werden.

Siehe auch