Extremwertaufgaben

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Inhaltsverzeichnis

Einführung

Im Analysisunterricht haben Extremwertaufgaben ihren festen Platz. Die Kriterien der Kurvendiskussion bilden einen Algorithmus zur Lösung von Extremalproblemen:

  1. Schritt: Welche Größe ist zu optimieren? Stelle einen Funktionsterm auf.
  2. Schritt: Sind Variablen zu eliminieren? Suche nach Nebenbedingungen.
  3. Schritt: Berechne die lokalen Extremstellen im Definitionsbereich.
  4. Schritt: Sind die lokalen Extrema auch global? Untersuche das Verhalten auch am Rande des Definitionsbreichs.
  5. Schritt: Wie ist das Ergebnis im Sachkontext zu interpretieren?

Solche Algorithmen dienen dabei, nicht bei jedem Einzelproblem in tiefes Nachdenken gestoßen zu werden. Warum aber sollte man Teile dieser leistungsfähigen Kalküle preisgeben?


Eine Fixierung auf Standartverfahren verhindert die Vielfalt von Lösungsansätzen und Lösungsmethoden der Schüler. Laut Rainer Danckwerts wird somit die heuristische Dimension und letztlich die Akzeptanz des Unterrichts geschwächt. Darüberhinaus ist nicht das Ziel die kalkülhafte Bearbeitung von Extremwertaufgaben zu diskreditieren, sondern Erfahrungen mit leistungsfähigen Algorithmen zu verbinden. Im Laufe der technologischen Entwicklung ist es selbstverständlich, auch digitale Medien wie Taschenrechner oder Computer mit ihren dynamischen Geometriesofware in den Unterricht mit einzubeziehen. Danckwerts schreibt:

Auf die Reihenfolge und auf die Mischung der Lösungsmethoden kommt es an.

Das isoperimetrische Problem für Rechtecke

Satz: Unter allen umfangsgleichen Rechtecken hat das Quadrat den größten Inhalt.

Zugang zum Problem

Um diesen Satz zu veranschaulichen, sollen die Schüler einen ca. 42cm langen Bindfaden zusammenknoten und zwischen beiden Händen die Form des Rechtecks variieren (s. Bild)



Stift.gif   Aufgabe 1a

Variiere die Form des Rechtecks. Mache dir klar, was am Rechteck gleich bleibt und was sich verändert (Seitenlänge, Umfang, Inhalt).

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Stift.gif   Aufgabe 1b

Variiere erneut die Form des Rechtecks. Notiere die Seitenlängen.

Stift.gif   Aufgabe 1c

Berechne mit den Werten aus 1c die Flächeninhalte der jeweiligen Rechtecke und trage deine Ergebnisse in eine Tabelle ein. Versuche eine Aussage darüber zu treffen, wann der Flächeninhalt des Rechtecks am größten ist.

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Visualisierung des Problems

Stift.gif   Aufgabe 2a

Viisualisiere das Ergebnis aus Aufgabe 1 nun mit Hilfe der Computersoftware GeoGebra.


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Stift.gif   Aufgabe 2b

Definiere dir einen Punkt F, der den Flächeninhalt in Abhängigkeit von der Seitenlänge angibt. Stelle in den Optionen die Spur des Punktes F ein. Variiere den Schieberegler und beobachte.

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Ein Umzugsproblem

Frank zieht in eine neue Wohnung. In sein Schlafzimmer möchte er einen Schrank stellen. Dieser soll 3m breit sein, damit er genau zwischen TV-Schrank und Wand passt. Wie tief darf der Schrank maximal sein, damit er durch den Flur passt? Im Bild ist der Grundriss des Flures zu sehen.


Stift.gif   Aufgabe 3

Lade dir die Datei mit dem Grundriss des Flures auf deinen PC. Erstelle eine geeignete Konstruktion mit GeoGebra, mit der sich feststellen lässt, wie tief der Schrank maximal sein darf.

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Didaktischer Kommentar

Extremwertaufgaben sind ein ideales Feld für Begründungs- und Beweisaktivitäten, wodurch systematisches Vorgehen und selbständiges Arbeiten gefördert wird. Darüber hinaus bieten Optimierungsaufgaben viele Gelegenheiten für die Entwicklung des algorithmischen Denkens und zum mathematischen Modellieren. Dabei ist nicht nur das Extrema das Ziel, sondern auch die lehrreichen Fragen und Diskussionen von und in der Klasse.

Die erste Aufgabe dient dazu, den SuS das isoperimetrische Problem für Rechtecke näher zu bringen. Die Bearbeitung des Problems lässt sich gemäß des „E-I-S“-Prinzips von Bruner realisieren. Das praktische Tun der SuS (enaktiv) bereitet die Sammlung der Werte in der Wertetabelle und dem anschließenden Visualisieren durch Geogebra (ikonisch) vor. Eine ausgeprägte Förderung des Verständnis des Problems ist geschaffen, sodass möglichst alle, auch leistungsschwächere SuS, in der Phase der Problementfaltung einen Zugang zur Thematik entwickeln können, wodurch die Problemstellung zur Sache der SuS gemacht werden soll. Das anschließende algebraische Lösen (symbolisch) des Problems mit Hilfe des Algorithmus, was hier nicht durchgeführt wurde, darf natürlich nicht vergessen werden. Die dynamische Computersoftware soll nur unterstützen und Abwechslung in den Unterricht bringen

Insbesondere Dynamische Computersoftware können dabei zum Verständnis der Problemstellung beitragen und selbständiges Explorieren anregen und fördern. Das Verstehen von geometrischen Extremwertaufgaben setzt individuelle Erfahrungen mit beweglichen Figuren voraus. Diese Erfahrungen können heute an Bildschirmfiguren, die mittels direkter Manipulation "kontinuierlich" variierbar sind, gesammelt werden.

Durch die Visualisierung und Dynamisierung, hier mit GeoGebra, wird den SuS zum einen das Problem näher gebracht und zum anderen die Lösung veranschaulicht. Sie erkennen, dass es neben dem stumpfen Ausführen des Lösungsalgorithmus auch andere Lösungswege' gibt.

Durch die Darstellung der Aufgabe mit GeoGebra wird den SuS visuell verdeutlicht, welche geometrischen Begriffe für bestimmte Alltagsgegenstände stehen. Dies ist gerade für solche Schülerinnen und Schüler, die mit dem Berechnen von Extremwertproblemen ohne technische Hilfsmittel große Schwierigkeiten haben, eine gute Möglichkeit, ihnen einen weiteren Zugang zu diesem wichtigen Bereich der Mathematik zu ermöglichen und ihnen die dahinter steckende Idee näher zu bringen.

Quellen

Literatur

  • Danckwerts, Rainer; Vogel, Dankwart (2010): Analysis verständlich unterrichten. Spektrum Akad. Verlag, Berlin 2010: S. 169-215.

Zeitschrift

  • Mathematik lehren. Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien. Friederich Verlag, Seelze 2010: Heft 159.

Web-Links

  • www.geogebra.de
  • www.geogebra.org/de/wiki/index.php/Extremwertaufgaben