Riemannintegral oder Trapezintegral?

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Das Riemannintegral

Untersumme (grün) und Obersumme (grün plus lavendel) für eine Zerlegung in vier Teilintervalle

Das Riemann-Integral ist eine Methode zur Ermittlung eines Flächeninhaltes zwischen der x-Achse und dem Graphen einer Funktion. Das Integrationsintervall wird hierbei in kleine Stücke zerlegt, so dass der gesuchte Flächeninhalt in senkrechte Streifen zerfällt. Für jeden dieser Streifen wird nun das Rechteck betrachtet, bei dem der Flächeninhalt am größten ist und das von der x-Achse ausgehend den Graphen nicht schneidet (im Bild grün), und andererseits das kleinstemögliche Rechteck, das von der x-Achse ausgehend den Graphen ganz umfasst (im Bild jeweils das aus grün und grau zusammengesetzte Rechteck). Die Summe der Flächeninhalte der großen Rechtecke wird als Obersumme, die der kleinen als Untersumme bezeichnet. Ist es möglich das Integrationsintervalles ausreichend fein zu unterteilen, so dass der Unterschied zwischen Ober- und Untersumme beliebig klein wird, so gibt es nur eine Zahl, die kleiner oder gleich jeder Obersumme und größer oder gleich jeder Untersumme ist, und diese Zahl ist der gesuchte Flächeninhalt, das Riemannsche Integral.

Eine Zerlegung Z von [a,b] in n Teile sei eine endliche Folge x_0,x_1,\ldots,x_n mit a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b. Dann seien die zu dieser Zerlegung gehörende Ober- beziehungsweise Untersumme definiert als

O(Z):=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\sup_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)
U(Z):=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\inf_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)

Beispiel

f(x)= -x^2+4 im Integrationsintervall [0,2]

U_1(f)= 2* f(2) = 0 \neq 8 = 2*f(0) = O_1(f)

U_2(f)= 1*f(1) + 1*f(2) = 2 \neq 6 = 1*f(0) + 1*f(1) = O_2(f)

U_4(f)= \frac{1}{2}*f(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}*f(1) + \frac{1}{2}*f(\frac{3}{2}) + \frac{1}{2}*f(2) = \frac{15}{4} \neq \frac{25}{4} = \frac{1}{2}*f(0) + \frac{1}{2}*f(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}*f(1) + \frac{1}{2}*f(\frac{3}{2}) = O_4(f)
exakter Flächeninhalt: \frac{16}{3} \approx 5.33

Die Trapezregel

Sehnentrapez

Die Trapezregel ist eine weitere anschauliche Methode zur Berechnung eines Flächeninhaltes A zwischen der x-Ache und und dem Graphen einer Funktion. Dazu ersetzt man die Fläche unter der Kurve y = f(x) im gegebenen Intervall durch ein Trapez oder mehrere gleich breite Trapeze. Nutzt man ein Trapez zur Approximation des Flächeninhalts im Intervall [a,b], erhält man:

Q_1(f)=\frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))

Ersetzt man nun das Intervall [a,b] durch mehrere gleichgroße Teilintervalle, nähert man sich ähnlich wie beim Riemannintegral dem exakten Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse an. So bekäme man bei den beiden Teilintervallen [a_0,a_1] und [a_1,a_2] folgende Approximation:

Q_2(f)=\frac{a_2-a_1}{2}(f(a_1)+f(a_2)) + \frac{a_3-a_2}{2}(f(a_2)+f(a_3))

Q_n(f)=\frac{a_2-a_1}{2}(f(a_1)+f(a_2)) + \frac{a_3-a_2}{2}(f(a_2)+f(a_3)) +  ...  + \frac{a_{n+1}-a_n}{2}(f(a_n)+f(a_{n+1}))

Beispiel

f(x)= -x^2+4 im Integrationsintervall [0,2]

Q_1(f)=\frac{2-0}{2}(f(0)+f(2)) = 4

Q_2(f)=\frac{1-0}{2}(f(0)+f(1)) + \frac{2-1}{2}(f(1)+f(2))= 5

Q_4(f)= \frac{21}{4} = 5.25

exakter Flächeninhalt: \frac{16}{3} \approx 5.33


Aufgaben

Stift.gif   Aufgabe

1. Erstelle mit dem Programm GeoGebra ein Arbeitsblatt, auf dem für eine Funktion Obersumme, Untersumme, Mittelwert von Obersumme und Untersumme, Trapezsumme und das exakte Integral für beliebige Ober- und Untergenze und Intervallanzahl dargestellt und berechnet werden. Baue Schieberegler ein.

2. Teste die Effektivität von Trapezregel und Mittelwert von Ober- und Untersumme bei den Funktionen

  • f(x)=4-\frac{1}{4}x^2 im Intervall [-2,2]
  • f(x)=\frac{1}{2}e^x im Intervall [0,2]
  • f(x)=\sqrt{1-x^2} im Intervall [-1,1]
  • f(x)=\frac{1}{x} im Intervall [0.1,100]
  • f(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} im Intervall [-0.9,0.9]

Wie weit muss man den Schieberegel der Intervallanzahl verstellen, damit die Approximationen bis auf die zweite Nachkommastelle genau sind? Ist eine Approximation effektiver? Teste auch mit anderen Funktionen.

Information icon.svg Lösung


Didaktischer Kommentar

Durch das eigenständige Erstellen eines dynamischen Arbeitsblattes mit der Software GeoGebra erfahren die Schülerinnen und Schüler, welche Möglichkeiten dynamische Geometriesoftware bietet. Ein solches komplex erscheinendes Arbeitsblatt ist durch die Kenntnis einiger weniger Befehle leicht zu erstellen und fördert somit die Motivation der Schülerinnen und Schüler. Das Varieren von Parametern wäre in dieser Form ohne Software nicht möglich. Das "Herumspielen" an den Parametern fördert das Verständnis der Schülerinnen und Schülern von der Integration. Dies ist mit einem starren Tafelbild kaum zu bewerkstelligen.

Quellen