Tripelspiegel

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Inhaltsverzeichnis

Einführung

Catseye bicycle.jpg

Ausgangspunkt für die Überlegungen und Aufgaben ist die folgende Fragestellung:
„Wie reflektiert eigentlich ein Fahrradrückstrahler das Licht eines Autoscheinwerfers?“

1. Experiment : Zunächst wird in einem Experiment ein Rückstrahler mit einer Taschenlampe untersucht, wobei die Taschenlampe einen Autoscheinwerfer simuliert. Es leuchten die SuS mit einer Taschenlampe senkrecht auf einen fünf Meter entfernten Rückstrahler, wobei der Raum ganz abgedunkelt sein muss.Es soll die Position der Taschenlampe von Hüfthöhe bis Augenhöhe variiert und der Rückstrahler genau beobachtet werden. Der Rückstrahler wird am besten gesehen, wenn die Taschenlampe auf Augenhöhe gehalten wird. Am Ende soll diese Beobachtung durch die SuS erklärt werden (siehe Aufgaben).

Tripelspiegel.jpg

Wichtig für die Beantwortung der Fragestellung ist die Kenntnis des Aufbaus eines Rückstrahlers. Dieser setzt sich aus vielen kleinen Tripelspiegeln bzw. Tripelprismen zusammen. Ein Tripelspiegel besteht aus drei senkrecht aufeinander stehenden Spiegeln (siehe Abbildung links). Daher wird zunächst experimentell untersucht, wie ein Spiegel einen Lichtstrahl reflektiert.

2. Experiment : Es wird die Reflektion eines Lichtstrahls an einem Spiegel bzw. zwei/ drei senkrecht stehenden Spiegeln untersucht. Wichtig ist, dass als Lichtquelle nur ein „Lichtstrahl“ und kein Lichtbündel wie bei einer Taschenlampe genutzt wird. Als Lichtquelle kann beispielsweise eine Schüler-Leuchtbox aus der Physiksammlung oder ein Laserpointer genutzt werden.

ReflexionSpiegel.ggb.png

Bei einem Spiegel wird der Lichtstrahl in der gleichen Ebene reflektiert, wobei der Einfallswinkel  \alpha und Ausfallswinkel  \beta gleich groß sind (siehe Abbildung rechts). Dies ist vermutlich aus dem Physikunterricht der Sek I bekannt. Anschließend wird das Experiment mit zwei/ drei senkrecht stehenden Spiegeln wiederholt und jeweils beobachtet, wie sich der einfallende und ausfallende Lichtstrahl verhalten. Bei drei Spiegeln kann der ausfallende Lichtstrahl sichtbar gemacht werden, indem er auf ein weißes Blatt Papier auftrifft.
Intention: Es soll zu einem gegebenen Lichtstrahl, der auf einen Tripelspiegel trifft, der ausfallende Lichtstrahl bestimmt/konstruiert werden. Dabei wird vereinfachend angenommen, dass der Tripelspiegel durch die Koordinatenebenen beschreibbar ist.

Nach der experimentellen Phase wird gemeinsam die Herangehensweise für die mathematische Konstruktion des ausfallenden Lichtstrahls erarbeitet. Ein Vorschlag ist, den Einfallswinkel zu messen und mit Hilfe eines Geodreieckes den Ausfallswinkel zu bestimmen. Es wird zunächst der Schnittpunkt S zwischen dem einfallenden Lichtstahl (Gerade) und dem Spiegel (Gerade) bestimmt und der reflektierte Lichtstrahl mit Hilfe des Reflexionsgesetzes eingezeichnet. Ein mit dem Programm Archimedes Geo3D möglicher Weg soll im folgenden Abschnitt erläutert werden.

Archimedes Geo3D

Spiegel2.png

Die 3D-Software Archimedes Geo3D kann zur Erstellung von dreidimensionalen Modellen eingesetzt werden. Die Herausforderung besteht darin, die Natur möglichst getreu darzustellen, wobei jede Konstruktion immer nur eine Näherung/ Idealisierung ist. So wird beispielsweise ein Lichtstrahl durch eine Gerade dargestellt.

Nun soll vorgestellt werden, wie ein an einem Spiegel reflektierter Lichtstrahl mit Archimedes Geo3D konstruiert werden kann. Die Abbildung auf der rechten Seite verdeutlicht das Vorgehen. Zunächst wird überlegt, wo sich eine virtuelle Lampe hinter dem Spiegel befinden müsste, damit sich das Licht geradlinig und auf dem reflektierten Lichtstrahl ausbreitet. Die virtuelle Lampe hat den gleichen Abstand zum Spiegel wie die reale Lampe, nur befindet sie sich hinter dem Spiegel am Ort P'. Der reflektierte Lichtstrahl (Gerade) kann aus zwei bekannten Punkten bestimmt werden, nämlich dem virtuellen Ort P‘ der Lampe und dem Schnittpunkt S zwischen einfallendem Lichtstrahl und Spiegel.

Der virtuelle Punkt P' kann bei Archimedes Geo3D durch eine Punktspiegelung an einer Ebene konstruiert werden. Da hierbei Probleme auftreten können, folgt eine genaue Beschreibung des Vorgehens:

  1. (Neues Objekt) ->(Abbildung) -> (Ebenenspiegelung)
  2. (Neues Objekt) -> (Punkt) –> (Abgebildeter Punkt)

Lehrplan

Sensibilisierung für mathematische Themen in der Natur und Bedeutung des Mathematikunterrichts:
"Der Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe muss den Lernenden Anlässe bieten, Brücken zu schlagen zwischen fachlichen Konzepten und lebensweltlichen Vorstellungen, zwischen mathematischem Denken und Alltagsdenken, zwischen praktischem Tun und theoretischer Refexion. [...] [Die Lernenden] müssen [...] das, was im Mathematikunterricht an sie herangetragen wird, verstehen und als sinnvoll und persönlich bedeutsam erfahren können." [1] (S.5)

Inhaltliche Vorkennnisse aus der analytischen Geometrie:

  • Parameterdarstellung von Geraden
  • Lagebeziehungen von Geraden
  • Koordinatenform von Ebenen
  • Schnittpunktbestimmung von Geraden und Ebenen
  • Lagebeziehungen von Geraden

Aufgaben

Stift.gif   Aufgabe

1. Ein Laserstrahl trifft vom Punkt P (7, 12, 2) unter dem Richtungsvektor v = (-1,-2, -1) auf einen Tripelspiegel, der aus den drei Koordinatenebenen gebildet wird. Bestimme den reflektierten Laserstrahl, der den Tripelspiegel wieder verlässt.
Tipp: Wähle für den Tripelspiegel die Koordinatenebenen (typische Aufgaben). Weitere Hilfen zur Konstruktion des reflektierten Lichtstrahls findest du unter Archimedes Geo3D (siehe oben)

2. Betrachte die Richtungsvektoren. Was fällt dir auf?

3. Warum kannst du den Rückstrahler im ersten Experiment (siehe Einführung) besonders gut sehen, wenn du die Taschenlampe auf Augenhöhe hältst?

4. Entscheide aufgrund der vorherigen Ergebnisse und begründe deine Entscheidung: Kann der Fahrer eines LKWs oder eines PKWs einen Fahrradfahrer besser sehen?

Information icon.svg Lösung


Didaktische Überlegungen

Die Beobachtungen des ersten Experimentes (siehe Einführung) scheinen zunächst den Erfahrungen aus dem Physikunterricht (Reflexionsgesetz) zu widersprechen, weil das Licht durch den Rückstrahler parallel reflektiert wird. Dieser Problemaufwurf regt die SuS zum Nachdenken an. Das zenrale Anliegen ist eine mathematische Beschreibung der Reflexion am Tripelspiegel, die zunächst auch experimentell untersucht wird. Dadurch können die SuS eine Vermutung über die Funktionsweise eines Tripelspiegels aufstellen und diese mit dem Programm Archimedes Geo3D überprüfen.

Die SuS durchlaufen hierbei den mathematischen Modellierungskreislauf. Allerdings sind durch die Aufgabenstellung Modellannahmen vorgegeben. Der Schwerpunkt liegt hier also auf der zweiten Phase des Modellierungskreislaufes, dem Deduzieren. Es soll innerhalb des mathematischen Modells eine mathematische Lösung konstruiert werden. Voraussetzung für ein erfolgreiches Meistern der Konstruktion sind Kenntnisse in der Analystischen Geometrie (s. Lehrplan), sowie Kenntnisse im Umgang mit dem Programm Archimedes Geo3D. Insbesondere die Spieglung eines Punktes ist problematisch und Tipps sind erforderlich (s. Archimedes Geo3D).

Im Sinne des handlungsorientierten Unterrichts können die SuS mit dem Handlungsprodukt weiterspielen. Es sind beispielsweise folgende Ergänzungen der Aufgabe möglich: Finde einen Lichtstrahl, der nur an einer oder zwei Spiegelflächen reflektiert wird. Oder der reflektierte Lichtstrahl soll ein bestimmtes Ziel treffen. Durch den Einsatz des Programmes ist ein spielerischer Umgang mit der Aufgabe und eine Erweiterung leicht möglich. Durch den Einsatz des Programmes verbessert sich das räumliche Vermögen der SuS.

Als Hausaufgabe ist das Lösen dieser oder einer vergleichbaren Aufgabe ohne Rechnereinsatz möglich. Falls die Veränderung der Richtungsvektoren bei der Spiegelung an einer Koordinatenachse genutzt wird, ist der Rechenaufwand geringer.

Durch die Experimente und die Aufgabe kann somit die Eingangsfragestellung "Wie reflektiert eigentlich ein Fahrradrückstrahler das Licht eines Autoscheinwerfers?" beantwortet werden: Das Licht wird durch den Rückstrahler parallel reflektiert.

Literatur

Kratz, Henrik: Der Tripelspiegl, Visuell dynamisches und analytisches Beweisen, PM Heft 35, Oktober 2010, 52. Jg.

Einzelnachweise

  1. Ministerium für Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen: Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II – Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen – Mathematik, Ritterbach Verlag, Frechen 1999.