Welche Funktionen reproduzieren sich beim Ableiten?

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Inhaltsverzeichnis

Motivation

Damit sich eine Funktion beim Ableiten reproduziert, muss die Funktion gleich der Ableitung sein. In mathematischen Formeln ausgedrückt:

f(x) = f\!\,'(x)

Für eine solche Funktion ist es z.B. sehr einfach eine Kurvendiskussion durchzuführen, aber auch für Differentialgleichungen spielt sie eine große Rolle, welche z.B. für die Lösung physikalischer und anderer Probleme oft gebraucht wird. Hier sind insbesondere das Bevölkerungs- bzw. Populationswachstum oder allgemeine Schaltvorgänge zu erwähnen.

Die trivialste Funktion, die diese Bedingung erfüllt ist die Nullfunktion, welche aber weder sonderlich anspruchsvoll noch didaktisch verwendbar ist. Die Sinus- und Cosinus-Funktionen sind jedoch sehr nützlich im Bereich der Differentialgleichungen, denn es gilt:


y = sin(x)  \rightarrow  y' = cos(x)  \rightarrow  y'' = -sin(x)  \rightarrow  y''' = -cos(x)  \rightarrow  y'''' = sin(x)

\Rightarrow y = y''''

Wir wollen jetzt aber eine Funktion finden, die sich schon nach dem ersten Ableiten reproduziert.

Lösungsverfahren

Das Problem, eine Funktion mit der Bedingung  f(x)= f\!\,'(x) zu finden, kann man entweder mathematisch lösen oder mit einem anschaulichen Weg, der uns die gesuchte Funktion annähert.

Für den mathematischen Weg wird oft die kontinuierliche Verzinsung benutzt. Dabei wird am Ende der Limes der Funktion  y=(1+1/n)^n für n gegen unendlich berechnet.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Funktion über den Differenzenquotienten exakt zu berechnen.

Ich möchte hier aber auf den anschaulichen Weg eingehen.

Man geht von der Überlegung aus, dass die Funktion in jedem Punkt die Steigung des Funktionswertes hat und skizziert sich dazu eine Graphik. Verbindet man die "Steigungsstücke" und geht von der Bedingung  f(0)=1 aus, erhält man folgende Funktion:

AngelaG Exponentailfunktion.png


Jetzt stellt sich die Frage, welcher Funktionstyp diese Funktion darstellt. Folgende Funktionen sind bekannt:

Sowohl die Polynomfunktion als auch die Logarithmusfunktion können wir sofort ausschließen, da sie nicht zu dem Graphen passen.

Die Hyperbel sieht zunächst so aus, als könnte sie passen. Da diese aber immer einen zweiten (zum ersten symmetrischen) Ast und eine Polstelle hat. Das würde bedeuten, dass der zweite Ast sich im positiven Bereich von oben oder unten an die x-Achse annähert, was den Steigungsstücken widerspricht.

Es bleibt also nur die Exponentialfunktion.

Durch Ausprobieren kann man nun eine geeignete Basis finden, so dass gilt: f(x)=a^x=f\!\,'(x)

Aufgabe

Stift.gif   Aufgabe

Versuchen Sie mit Hilfe von Geogebra den passenden Wert der Basis der Exponentialfunktion anzunähern, damit die Gleichung f(x)=f\!\,'(x) erfüllt ist.

Lehrplan/Idee

Im Lehrplan der Sekundarstufe II wird gefordert, dass die Exponentialfunktion unter dem Aspekt der Modellbildung behandelt wird, also zum Beispiel um Wachstumsprozesse zu beschreiben.

Im Vordergrund steht also die Idee des Modellierens, also die Beziehung zwischen der Mathematik und Sachzusammenhängen bzw. Phänomenen der Welt.

Neben dem müssen die Schüler die Exponentialfunktion analytisch untersuchen können, also insbesondere auch deren Ableitung.

Didaktischer Kommentar

Die übliche Einführung der e-Funktion über die kontinuierliche Verzinsung, in der e als Grenzwert der Folge (1+\frac {1}{n})^n bestimmt wird, ist ein rein mathematischer Weg. Außerdem wird durch diese Herangehensweise nicht deutlich, dass die e-Funktion sich durch Differenzieren reproduziert.

Mit der hier vorgeschlagenen Einführung wird deutlich, was genau die Ableitung aussagt, nämlich die Steigung der Funktion. Dadurch ist es den Lernenden möglich, sich die e-Funktion anschaulich vorzustellen. Dies wird auch nicht klar, wenn man mathematisch über den Differenzenquotienten die e-Funktion berechnet. Zum einen ist der Differenzenquotient für Lernende ein kompliziertes mathematisches Verfahren und zum anderen fällt es ihnen wesentlich schwerer sich diesen anschaulich vorzustellen.

Quellen