Funktionswerte berechnen

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Zur Bearbeitung mathematischer Probleme bzw. zum Berechnen von Funktionswerten mit einem Taschenrechner gibt es fest implementierten Funktionen, die genutzt werden können. Von "einfachen" Funktionen wie die Wurzelfunktion (  sqrt(x) ) oder der Exponentialfunktion (  exp(x) ) bis zu "Komplexen" wie dem Binomialkoeffizienten ( binompdf im TI-84 Plus ) oder dem Differenzenquotienten ( diffquot(x,a,h) im TI-92 ) gibt es eine Vielzahl dieser "Bausteine".

Im folgenden Beispiel wird gezeigt durch welche fest implementierten Funktionen quadratische Gleichungen mit dem TI-84 Plus gelöst werden können. Im Unterricht stellen sich die Fragen:

  • ab wann ist ein Einsatz welcher fest implementierten Funktion sinnvoll?
  • welche Funktion schadet oder hilft im Lernprozess?

Darauf wird im "White-Box" und "Black-Box" Modell eingegangen.

Beispiel: Lösen quadratischer Gleichungen mit dem TI-84 Plus

Der TI-84+ bietet einige verschiedene Lösungen zum Lösen von quadratischen Gleichungen der Form a === x^2 ===+bx+c=0. Im Folgenden werden drei Möglichkeiten kurz vorgestellt:

1. Möglichkeit Direkte Eingabe der Lösungsformel

Zuerst werden die drei Koeffizienten a,b,c abgespeichert. Danach gibt man erst die Lösungsformel für die kleinere Lösung und dann für die größere Lösung ein und erhält die Lösungen.

2. Möglichkeit

Graphisches Lösen

Hier wird zuerst die Funktion im Funktioneneditor eingegeben. Nachdem dies geschehen ist kann man sich diese durch die "Graph"-Taste anzeigen lassen. Nun wählt man im Calculate-Menü die "zero"-Funktion und kann sich mithilfe des Cursors die beiden Nullstellen anzeigen lassen.

3. Möglichkeit

Erstellung eines Programms zur Berechnung der Lösungen

Zu Beginn kreiieren wir ein neues Programm welches zuallererst unsere drei Variablen abfragen soll. Hierzu erstellt man im Programm-Menü ein neues Programm. Im "Input/Output"-Menü finden wir nun den Befehl "prompt", der es uns erlaubt unsere drei Variablen a,b,c zu erstellen. Danach gibt man die Lösungsformel ein und speichert die Lösungen ab. Der Befehl "disp" stellt nun klar was am Ende im Programm ausgegeben wird (hier unsere beiden Lösungen der quadratischen Gleichung). Nun speichert man das Programm ab und kann dieses jetzt im Programm-Menü immer wieder aufrufen. Dort muss man zuerst die drei Variablen eingeben und erhält dann die Lösungen der quadratischen Gleichung.

"White-Box" und "Black-Box" Modell

Alle Beispiele von fest implementierten Funktionen in diesem Abschnitt beziehen sich auf den TI-92.

Beispiele von Bausteinen

vom Benutzer definierte Bausteine

Der Differenzenquotient der Funktion  y=a*x^2 kann durch den Benutzer im TI-92 definiert werden. Dazu gibt er die Zeile "(a*(x+h)^2-a*x^2/h => diffquot(x,a,h)" in den Taschenrechner ein und erhält einen vom Benutzer definierten Baustein. Diesen kann er nun immer zum Berechnen des Differenzenquotienten nutzen, indem er nur noch die Variablen x, a, h anstelle der kompletten Funktion eingeben muss.

vordefinierte Bausteine

Der vom Benutzer definierte Baustein "diffquot" kann durch den vordefinierten Baustein "limit" für den Grenzwert einer Funktion erweitert werden. So erhält er durch die Eingabe "limit(diffquot(x,a,h),h,0)" alle gängigen Ableitungen. Im TI-92 kann dafür auch direkt der Baustein "d" mit der Eingabe "d(a*x^2,x)" verwendet werden.

"Black-Box"

Die in den Beispielen präsentierten Bausteine beinhalten viel Mathematik, für die im normalen Unterricht viel Zeit aufgewendet wird. Diese Bausteine werden als "Black-Box" bezeichnet. Den Schülerinnen und Schülern ist nur die Eingabe bekannt und sie sehen das Ergebnbis. Über den Weg der Ergebnisermittlung kennen sie kein Detail.

"White-Box"

In der Unterrichtspraxis ergibt sich für die Arbeit mit einer "Black-Box" die Notwendigkeit, dass das mathematische Verständnis klar sei muss. Dieses Verständnis wird als "White-Box" bezeichnet.

Am Beispiel des Differenzenquotienten "d(a*x^2,x) sollte die "White-Box" enthalten:

  • Definition, Veranschaulichung, Aufstellung der Differenzenquotienten muss klar sein
  • Grenzwerte der Differenzenquotienten wurden per Hand errechnet und veranschaulicht
  • die Definition "Ableitung = Grenzwert des Differenzenquotienten" ist bekannt

Sind diese Bedingungen gegeben, kann die "Black-Box" guten Gewissens genutzt werden.

"Grey-Box"

Um den Übergang zwischen "White-Box" und "Black-Box" zu erleichtern kann eine sogenannte "Grey-Box" (eine Zwischenbox) verwendet werden. Die Schülerinnen und Schüler können, nachdem Teile der "White-Box" bekannt sind, diese mit dem Taschenrechner vereinfachen. Im Beispiel des Differenzenquotienten kann die Eingabe "(a*(x+h)^2-a*x^2)/h" zu "a*(2*x+h)" vereinfacht werden.

Problematik

Der Übergang zwischen der "White-Box" und der "Black-Box" ist wesentlich für den Erfolg des Lernprozesses. So sollten die Lehrenden genau abwägen, wann die Schülerinnen und Schüler das mathematische Verständnis haben zu der "Black-Box" zu wechseln. Auf der anderen Seite sollte der Übergang auch nicht unnötig spät durchgeführt werden um keine Unterrichtszeit zu "verschwenden".

Schema

Das gesamte Modell ist in diesem Schaubild skizziert.

White-Box Black-Box.jpg

Links

Literatur

  • Lehmann, Eberhard: Mathematiklehren mit Computeralgebrasystem-Bausteinen, div Verlag Franzbecker, Hildesheim 2002
  • Lehmann, Eberhard: Mathematik mit Bausteinen und ihren Parametern, PM, Praxis der Mathematik
  • Mitchell, Christopher R.: Programming the TI-83 Plus/TI-84 Plus, Manning Publications, 2012