Punkte, Geraden und Ebenen darstellen

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Darstellung von Punkten, Geraden und Ebenen mit dem Computer über Dynamische Geometrie-Software (DGS)

Die Dynamische Geometrie-Software ist als ein Werkzeug des modernen Mathematikunterrichts anzusehen, mit dessen man „messen, berechnen, konstruieren, visualisieren, variieren, animieren, simulieren, explorieren, experimentieren, Probleme lösen, beweisen, Sätze finden und Begriffe bilden kann“ (Haug, 2012, S.25).

Dies umfasst nicht nur grundlegende zweidimensionale Zusammenhänge, sondern auch die Darstellung von Vektoren, Punkten, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum. Die großen Stärken dieser Software sind der Zugmodus und die Möglichkeit Ortskurven anzeigen zu lassen. Der Zugmodus bieten den Anwendern eine Veränderung der geometrischen Konstruktion unter Rücksichtnahme der mathematischen Eigenschaft. Bei der Ortskurve können Ausgewählte Bereiche der Konstruktion im dynamischen Verlauf angezeigt werden.

Ein Beispiel für eine Dynamische Geometrie-Software ist ArchimedesGeo3D. Eine detaillierte Bedienungsanleitung findet man unter: http://www.raumgeometrie.de/html/AnleitungGeo.html.

Die Bedienung des Programms ist zudem so angelegt, das dies intuitiv über die Werkzeugtools zu bewerkstelligen ist. Hier gibt es Buttons (Werkzeugtools) mit denen man Punkte, Geraden, Vektoren und Ebenen per Mausklick erzeugen kann. Wie im Vortrag gezeigt, lassen sich mit dieser Software ohne weiteres dreidimensionale Sachzusammenhänge konstruieren.

Diese Möglichkeit bietet einen großen Vorteil für Diejenigen die sich dreidimensionale Problemstellungen schwer vorstellen können oder ihre Lösung und Vorstellung kontrollieren möchten. Eine Gefahr beim Einsatz dieser Software im Unterricht besteht darin, das die mathematischen Problemstellungen und Ansätze im besten Fall nur oberflächlich von den SuS nachvollzogen werden. Denn über die Werkzeugtools können ganze Lösungen generiert werden, ohne direkt Wissen über das mathematische Konstruieren von geometrischen Objekten anwenden zu müssen.

Dies spiegelt sich auch in der aktuellen wissenschaftlichen Literatur wieder. Hier wurde in einer Studie aufgezeigt, das alleine das besitzen des Werkzeugs noch keinen Vorteil beim Lernzuwachs bringt. Erst die Situation und Umgebung in der es eingesetzt wird bringt den Unterschied


Aktuelle Studie „Problemlösen lernen mit digitalen Medien“ (Reinhold Haug)

Darstellung der empirischen Studie An der Studie nahmen 138 Schüler von drei Hauptschulen aus Baden-Württemberg teil. Sie wurden in Interventions-/ und Kontrollgruppen eingeteilt und drei Wochen lang in das Arbeiten mit einem DGS eingeführt. Es gab einen Vortest (dieser erfasste die technischen und inhaltlichen Fähigkeiten beim Umgang mit den verschiedenen Werkzeugkomponenten und Wissen über die drei Problemlösetechniken, „Vermutungen aufstellen“, „Invarianten erkennen“ und „Hilfslinien verwenden“), die Intervention (in der sich jeweils die Teams abwechselnd sowohl mit dem Computer als auch mit dem Schreiben von Lernprotokollen auseinandersetzen), einen Nachtest (bei dem grundlegende Problemlösetechniken getestet und der Lernzuwachs erfasst wurde) und den Follow-up-Test (erfasste die dauerhafte Wirkung der Heurismen). Alles umfasste insgesamt einen Zeitraum von sechs Monaten.

Die Interventionsgruppe bekam vorstrukturierte Leitfragen, die zur Reflexion der eigenen Lerntätigkeit mithilfe eines Lernprotokolls aufforderten. Sie sollten ihre Arbeitsprozesse verschriftlichen (Medienwechsel Computer/Papier) und ihre eigene Konstruktionen ausdrucken, die Lernprotokolle einkleben, weiterbearbeiten und reflektieren. Die Kontrollgruppe bekam nur übergreifende Leitfragen und eine allgemeine Aufforderung zur Dokumentation, aber keine weitere Aufforderung, diese auszudrucken und weiterzubearbeiten.

Ziel => Förderung grundlegender Problemlösekompetenzen mithilfe eines DGS. Und diese Förderung kann anregt werden durch: neben vorstrukturierten Leitfragen, Medienwechsel zwischen Papier und Computer auch reflektierendes Schreiben von Lernprotokollen. Die Annahme, dass man gerade beim selbstständigen Schreiben eigener Lernprozesse neue Inhalte auf eine ganz andere Art und Weise kennenlernt, führt dazu, dass neben dem digitalen Medium auch Papier eine zentrale Rolle beim Problemlösen spielt. So setzt die Studie darauf, dass beides im Zusammenspiel die Lernprozesse bei den Schülern zusätzlich anregt. Einerseits setzt das Medium auf eine schnelle Abfolge von verschiedenen Konstruktionen, die man mithilfe vom Zugmodus dynamisiert. Andererseits verlangsamt gerade das Schreiben der Lernprotokolle den Lernprozess.


Auf drei Forschungsfragen bezog sich die Studie:

1. Können grundlegende Problemlösetechniken durch den Einsatz eines dynamischen Geometriesystems gefördert werden? Generell sind Schüler in der Lage, sich die grundlegenden Problemlösetechniken anzueignen. Bei den Schülern in der Interventionsgruppe ging es vorallem nicht darum, die einzelnen Aufgabenstellungen zu lösen. Sie versuchten mithilfe von strukturierten Leitfragen die Zusammenhänge auch zu verstehen. Lernende, die ihre Lernprozesse mit den anderen reflektierten, dann verschriftlichten und in einem Lernprotokoll dokumentierten zeigten in allen drei Problemlösetechniken bessere Ergebnisse.

2. Inwieweit begünstigt ein vorstrukturiertes Reflektieren sowie eine Entschleunigung mithilfe eines Medienwechsels („vom Computer zum Papier“) die Qualität des Problemlöseprozesses?

Eine Basis für eine erfolgreiche Nutzung grundlegender Problemlösetechniken ist erst einmal, die eigene Lernaktivität wahrzunehmen. Fähigkeiten zur Reflexion der eigenen Lernwege können entwickelt werden, wenn Schulklassen sich über einen längeren Zeitraum intensiv mit dem Lernen durch reflektierendes Schreiben anhand eines Lernprotokolls auseinandersetzen.

3. Welche Vorgehensweisen lassen sich beim Problemlöseprozess beschreiben und wie zeigen sich diese im Bereich der Werkzeugnutzung? Zusammenfassend kann man hinsichtlich der Werkzeugnutzung beim Arbeiten mit einem DGS festhalten, dass Schüler meist sehr lange erforschten, ausgiebig darüber diskutierten und nachhaltig evaluierten/verstehen.



Fazit

Folgende Aspekte sind beim Einsatz eines DGS zu berücksichtigen:


  1. Voraussetzungen für das Arbeiten mit einem DGS sind, dass jeder erstmals mit der Handhabung der Software vertraut wird und den Umgang mit dem entsprechenden Werkzeugkomponenten beherrscht.
  2. Durch den Einsatz eines Lernprotokolls besitzen die Lernenden die Möglichkeit, ihre eigenen Lernprozesse zu reflektieren. Die gewonnenen Erkenntnisse sind dann meist strukturierter. Lernende besitzen die Chance wieder theoriegeleitet und arbeiten. Aber sie verlangsamen auch den Lernprozess am Computer und somit bleibt mehr Zeit für Diskussionen.
  3. Schüler setzen sich intensiv mit den Inhalten auseinander, indem sie ihre neuen Erkenntnisse und Zusammenhänge verschriftlichen und dokumentieren und damit die Möglichkeit zum nachhaltigen Lernen bietet.
  4. Der Einsatz vorstrukturierter Leitfragen gibt den Lernenden eine strukturelle Hilfe beim selbstständigen Erarbeiten mathematischer Inhalte. Man sollte die Schüler immer wieder bewusst mit Fragen konfrontieren, die sich mit wichtigen Begriffen und Eigenschaften von Konstruktionen auseinandersetzen, weil sie so zur Selbstreflexion anregen.
  5. Um den Zugmodus erfolgreich im Unterricht einsetzen zu können, braucht man Erfahrungen. Die können vorher mit speziellen Aufgaben eingeübt werden. Er kann als Überprüfungshilfe eingesetzt werden.

Der Wechsel zwischen Computer und Papier, explorativem Arbeiten und reflektierendem Schreiben ermöglicht einen besseren Blick auf wichtige mathematischer Zusammenhänge.

Quellen

  • Wilfried Herget & Rolf Sommer, Bericht über die 18. Arbeitstagung des Arbeitskreises „Mathematikunterricht und Informatik“ in der _Gesellschaft für Didaktik der Mathematik e.v. vom 22. Bis 24. September 2000 in Soest
  • Reinhold Haug, Problemlösen lernen mit digitalen Medien, 2012, Vieweg+Teubner Verlag
  • Horst Hischer, Mathematikunterricht und Computer 1994, Hildesheim