Ähnlichkeitsbeziehungen bei Körpern

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Inhaltsverzeichnis

Fachlicher Hintergrund

Die allgemeine Defintion von Ähnlichkeit besagt, dass zwei Dinge ein ähnliches Aussehen, eine ähnliche Beschaffenheit oder eine ähnliche Eigenschaft haben müssen.

In der Mathematik spricht man zunächst meist über die Ähnlichkeit von Dreiecken und weiteren Flächen. Nun soll die Definition der Ähnlichkeit auf beliebige Körper erweitert werden.

Verhältnisse in einem ähnlichen Körper

Für zueinander ähnliche Figuren gilt:

  • entsprechende Winkel sind gleich groß.
  • entsprechende Streckenverhältnisse sind gleich groß.
  • entsprechende Flächeninhalte F bzw. F' verhalten sich gleich (und zwar wie die Quadrate entsprechender Längen: A':B'=A:B ...).
  • entsprechende Rauminhalte R bzw. R' verhalten sich gleich (und zwar wie die Kuben entsprechender Längen: V':W= V:W ...).

Streckungsfaktor:

Für ähnliche Körper mit dem Streckungsfaktor k gilt:

  • Längen: k=\frac{h'}{h}=\frac{r'}{r}=\frac{s'}{s}= ... mit h, h' als Höhen, r, r' als Radien, s, s' als Seitenkanten, ...
  • Flächeninhalte:  k^2=\frac{G'}{G}=\frac{M'}{M}=\frac{A'}{A}=\frac{S'}{S}= ... mit G, G' als Grundfläche, mit M, M' als Mantelfläche, mit A, A', S, S' Seitenflächen.
  • Volumen:  k^3=\frac{V'}{V} mit V, V' als Volumina.

Kompetenzerwartungen aus dem Kernlehrplan G8 NRW (Stand 2010)

Schülerinnen und Schüler erfassen Formen der Ebene und des Raumes und ihre Beziehungen in mathematischen Zusammenhängen sowie in der beobachtbaren Wirklichkeit und charakterisieren sie anhand ihrer grundlegenden Eigenschaften.

  • Sie beschreiben ebene Figuren (Vielecke, Kreise) und Körper (Prismen, Zylinder, Kugeln, Kegel, Pyramiden), Lagebeziehungen und grundlegende Symmetrien mit angemessenen Fachbegriffen und identifizieren sie in ihrer Umwelt.
  • Sie zeichnen und konstruieren ebene geometrische Figuren (auch im Koordinatensystem), skizzieren Schrägbilder, entwerfen Netze von Körpern und stellen Körpermodelle her.
  • Sie schätzen und bestimmen Winkel, Längen, Flächeninhalte, Oberflächen und Volumina.
  • Sie berechnen Größen und begründen Eigenschaften von Figuren mit Hilfe von Symmetrie, einfachen Winkelsätzen, Kongruenz, Ähnlichkeit , trigonometrischen Beziehungen, dem Satz des Thales und dem Satz des Pythagoras.


Vorschlag für eine Handlungsorientierte Einführung

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe
  • Baue dir einen geometrischen Körper.
  • Vergrößere bzw. verkleinere einen geometrischen Körper.

Lösungsmöglichkeiten

Praktische Lösung

Information icon.svg Lösung

Versuche die Aufgabe mit Hilfe eines entsprechenden Baukastens zu lösen.

Nutze dazu zum Beispiel:


Digitale Lösung

Information icon.svg Lösung

Erzeuge zunächst die Eckpunkte deines geometrischen Körpers und einen Punkt (im Ursprung), von dem ausgehend der geometrische Körper vergrößert werden soll. Die Eckpunkte sollten dabei fixiert werden (ansonsten entstehen leichte Abweichungen).

Punkte erzeugen:

Koordinaten eingeben:

Punkt fixieren:

Flächen können mithilfe von Parallelogrammen oder Dreiecken (je nach Körper) erzeugt werden.

Die Farbe der Flächen sollte für die spätere Übersichtlichkeit geändert werden, ebenso können die Punkte versteckt werden:

Flächenfarbe ändern:

Punkte verstecken:


Weiterführen der Aufgabe nach Konstruktion des Körpers:

Füge nun einen Schieberegler ein und stelle seinen Definitionsbereich ein.

Schieberegler einfügen:

Schieberegler einstellen:

Füge nun parametrische Kurven für s mit den Koordinaten der Eckpunkte * (Der Bezeichnung des Schiebereglers) ein.

Parametrische Kurve einfügen:

Koordinaten einfügen:

Folgendes wird zu sehen sein:

Jetzt werden zwischen den neu entstandenen Punkten Flächen erzeugt.

Nun kann man den Schieberegler s verschieben und verkleinert bzw. vergrößert so den geometrischen Körper.


Didaktischer Kommentar

Für Ähnlichkeitsbeziehungen bieten sich sowohl digitale Medien als auch reale Figuren an.

Bei den digitalen Figuren sind verschiedene Szenarien (wie Strecken um den Faktor 5, dann um den Faktor 10, dann wieder Stauchen um den Faktor 0,2 etc.) ohne weiteren Aufwand darstellbar. Auch sind digitalen Medien in der Hinsicht des Vergrößern und Verkleinerns keine Grenzen gesetzt (wie sie bei der realen Arbeit materialbedingt auftreten können).

Mithilfe von den realen Figuren kann die Begriffsbildung des Vergrößern und Verkleinerns, des Drehens und Übereinanderlegens, sowie einzelne Winkel und evtl. auch Seitenverhältnisse besser verstanden werden. Durch die Arbeit mit den Händen bietet sich ein besonderer Zugang zu den mathematischen Verhältnissen.