Ähnlichkeitsbeziehungen und Strahlensatz

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Fachwissenschaftlicher Hintergrund

Zwei geometrische Objekte sind dann ähnlich zueinander, wenn sie über eine Kongruenzabbildung und eine zentrische Streckung ineinander überführbar sind.

Kongruenzabbildungen sind Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen.

Der Strahlensatz macht insbesondere Aussagen über Streckenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken.

Ähnlichkeit

Abb. 1: Ähnlichkeit

Ähnliche geometrische Objekte stimmen in Winkeln und Streckenverhältnissen überein.

Kreise und alle regelmäßigen Polygone wie z.B. gleichseitige Dreiecke und Quadrate sind untereinander ähnlich. Dies wird deutlich, wenn man sich vor Augen führt, dass die Eckpunkte regelmäßiger Polygone immer auf einem Kreis um den Mittelpunkt liegen.

Aus Kongruenz folgt Ähnlichkeit, aus Ähnlichkeit aber nicht zwingend Kongruenz. Dies resultiert aus der zentrischen Streckung.

Ein Beispiel für formelle Notation: \!\ \Delta ABC \sim \Delta DEF bedeutet, dass die Dreiecke \Delta ABC und \Delta DEF ähnlich sind.

Ein Pantograph ist ein geeignetes Hilfsmittel, um aus einer beliebigen Ausgangsfigur eine ähnliche Figur zu erzeugen.

Ähnlichkeitssätze

Für Dreiecke gibt es die vier Ähnlichkeitssätze. Dabei handelt es sich um hinreichende Bedingungen, mit denen zwei Dreiecke ähnlich sind. Die vier Sätze lauten:

  • W:W-Satz: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und somit in drei) Winkeln übereinstimmen.
  • S:S:S-Satz: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen.
  • S:W:S-Satz: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen.
  • S:S:W-Satz: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.


Strahlensätze

Abb. 2: Strahlensätze

Die Strahlensätze machen Aussagen über Streckenverhältnisse in speziellen geometrischen Anordnungen. Sie finden damit viel Anwendung.

Wenn zwei durch einen Punkt (Scheitel) verlaufende Halbgeraden (Strahlen) von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, die nicht durch den Scheitel gehen, dann gelten die folgenden Aussagen:

  • Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl zueinander so wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
  • Es verhalten sich die ausgeschnittenen Strecken auf den Parallelen, wie die ihnen entsprechenden, vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf den Strahlen.

Die obige Skizze zeigt zwei Möglichkeiten der Anordnung. Die linke Figur wird auch „V-Figur“, die rechte „X-Figur“ genannt.

Vorschlag für eine Handlungsorientierte Einführung

Aufgabenstellung

Die folgende Aufgabe könnte im Unterricht verwendet werden, um Lernende für den Umgang mit dem Gegenstand zu motivieren.

Stift.gif   Aufgabe

Mit diesem Gerät kann man Figuren vergrößern und auch verkleinern. Erfinde eine ähnliche Maschine, mit der man Figuren um den Faktor 3 vergrößern kann.

Zeichenmaschine 2.jpg

Beschreibung der Lernumgebung

Ich gehe im Folgenden davon aus, dass die Lernenden sich in Grundzügen bereits mit dynamischer Geometriesoftware auskennen (steht im Lehrplan NRW zurzeit in Jahrgangsstufe 7/8) und auch Interesse haben, Konstruktionen mithilfe des Computers zu entwickeln.

Das oben genannte Gerät ist ein einfacher Pantograph. Ziel der Lernumgebung ist es, dass Schülerinnen und Schüler seine Funktionsweise durchschauen und darüber hinaus in der Lage sind, seinen Aufbau so zu verändern, dass beliebige Vergrößerungen / Verkleinerungen möglich sind.

Zu dieser Lernumgebung gehören:

  • Material zum Bau des Pantographen sowie Einstiegsaufgaben (Datei:Bauanleitung Pantograph.pdf).
  • Ein einfacher digitaler Pantograph (Datei:Einfacher Pantograph.tns).
  • Computer bzw. Handhelds mit dynamischer Geometrie-Software (z. B. TI-Nspire oder GeoGebra). Hier verwendet wurde TI-Nspire - zum Öffnen der Dateien benötigen Sie die zugehörige Software oder ein TI-Nspire-Handheld.

Den Lernenden sollte im ersten Schritt Gelegenheit gegeben werden, die einfache Maschine zu erproben. Da der Umbau nicht ohne Weiteres möglich ist, bietet es sich an, recht früh eine digitale Version des Pantographen vorzustellen.

Lösung

Information icon.svg Lösung

Das Spektrum der Handlungsprodukte ist groß und reicht von künstlerischen Beiträgen - die mit Hilfe von Pantographen erzeugt wurden - bis hin zu selbst erfundenen Maschinen, die z. B. Spiegelungen und Drehungen durchführen.

An dieser Stelle wird der Fokus auf mögliche Handlungsprodukte gerichtet, die mit dem Rechner realisiert wurden. Sie können hier die Lehrerversion mit einigen Hinweisen herunterladen: Datei:Pantograph Lösungen.tns.

Besonders naheliegend erscheint, dass Lernende selbst einen Pantographen mit beliebiger Vergrößerung und Verkleinerung erstellen. Das Produkt könnte dann z. B. wie folgt aussehen:

Möglich wäre auch, dass sich Lernende im weiteren Verlauf mit "pathologischen Geräten" auseinandersetzen, also z. B. Pantographen, die mehrere (mathematische) Abbildungen parallel durchführen:

Solche Handlungsprodukte können allerdings auch auf Fehler und ggf. sogar auf Fehlvorstellungen hinweisen: Wenn die Lernenden die Parallelen in der Konstruktion erkannt haben, können diese - so zumindest die Erfahrung - sehr dominant wirken. Einzig die Parallelität der Schenkel reicht jedoch nicht aus. Entsprechend bietet es sich an, das Gespräch zu suchen und die Dinge beschreiben zu lassen. Trotzdem bieten solche "seltsamen Pantographen" einen reichhaltigen Fundus zur Ent- und Aufdeckung von mathematischen Eigenschaften.


Didaktischer Kommentar

Für Ähnlichkeiten bieten sich Figuren aus Papier/Pappe mindestens genauso an wie entsprechende Figuren in digitaler Form. Reale Figuren können besser 'begriffen' werden, gedreht, umgedreht und aufeinandergelegt werden ohne großen Aufwand. Digitale Figuten regen zum quasi-experimentellen Arbeiten an.