Achsen- und Punktsymmetrie

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Das Wort „Symmetrie“ kommt ursprünglich aus dem Griechischen und bedeutet allgemein verwendet Gleich- oder Regelmäßigkeit. Dies impliziert, dass mehrere Teile eines Ganzen harmonisch zueinander angeordnet sind. In der Geometrie gilt daher, dass die Eigenschaft eines ebenen oder räumlichen, gegebenenfalls aus mehreren Figuren oder Körpern zusammengesetzten Gebildes, so geformt sein muss, dass es durch eine bestimmte Bewegung (Symmetrieoperation) in sich selbst übergeht (vgl. Meyers Neues Lexikon). Die Art der Bewegung bestimmt dabei die Symmetrieart. Handelt es sich um eine Spiegelung, so spricht man von Spiegelsymmetrie.

Abb.1 :Beispiele der Achsensymmetrie

Wenn es sich dabei um eine ‚Achsenspiegelung’ handelt, spricht man von einer achsensymmetrischen Figur bzw. von einer Achsensymmetrie. Die Spiegelachse dieser Figur heißt ‚Symmetrieachse’. Hat die Figur mehrere Spiegelachsen, wie beispielsweise das Quadrat, welches vier Spiegelachsen besitzt, so ist sie mehrfach achsensymmetrisch.

Abb.2 :Beispiele der Punktsymmetrie

Genauso wichtig ist eine andere Form der Symmetrie, nämlich die sog. Punktsymmetrie. Ein geometrisches Objekt (z. B. ein Viereck) heißt (in sich) punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die dieses Objekt auf sich abbildet. Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als Symmetriezentrum bezeichnet. Obwohl eine solche Punktspiegelung einer Drehung um 180° entspricht, ist die Punktsymmetrie von der Drehsymmetrie zu unterscheiden. Sie bildet lediglich den Spezialfall einer Drehsymmetrie.

In der Theorie der bildenden Kunst, sowohl der Antike als auch der Klassik, wird Symmetrie auch als Proportionalität bezeichnet. Dies meint das proportionale Verhältnis von Teilen einer Figur zueinander, als auch zum Ganzen. Dieses ist in Zahlenverhältnissen konkret mess- und darstellbar. Symmetrie wird als „Ausdruck überzeitlicher, absoluter Schönheit normativ gedeutet.“ Ornamente, Amphoren, Skulpturen, Gebäude und Gebäudeansichten zeugen davon. Einige Beispiele hierzu finden Sie im nachfolgenden Teil.

In der Natur begegnen wir beispielsweise immer wieder symmetrischen Formen, die wir als besonders schön und harmonisch empfinden, wie etwa Kristalle (Edelsteine, Eiskristalle…), Schmetterlinge, Blattformen, Seeigel, Blüten, etc. Aber nicht nur in der Natur begegnen uns symmetrische Formen, sondern auch in unserem restlichen Alltag. Hierzu zählen zum Beispiel einige Buchstaben, einige Verkehrsschilder und andere Gegenstände. Besonders ist auch die mathematische Bedeutung sehr wichtig, da einige Funktionen die Eigenschaften der Symmetrie aufweisen.

Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung für die Schülerinnen und Schüler

Abb. 3: Viereck
Abb. 4: Stern und Dreieck
Abb. 5: Figur von Max


(a) Punktsymmetrie (Abb.3)


(i) Spiegele das Viereck an dem Punkt.
(ii) Wie ändert sich das gespiegelte Viereck, wenn der Punkt auf dem gestrichelten Pfad variabel ist? Überprüfe dies.



(b) Achsensymmetrie (Abb.4)


(i) Spiegele das folgende Objekt an der angegebenen Gerade.
(ii) Wie könnte man spiegeln, damit ein Quadrat entsteht? Probiere verschiedene Möglichkeiten aus.



(c) Punkt- und Achsensymmetrie (Abb.5)


Max ist ein Schüler in der 7. Klasse. Heute hat der Lehrer früher Schluss gemacht und die Schüler können ausnahmsweise eher nach Hause. Da freut sich Max natürlich besonders. Als er zu Hause ankommt, sieht er im Briefkasten eine Postkarte. Auf der Postkarte ist eine Figur abgebildet. Leider kann Max diese nicht zu einem logischen Bild zuordnen. So entscheidet er sich herauszufinden um welches Bild es sich tatsächlich handeln könnte.
Spiegele das Objekt so, dass du drei unterschiedliche Figuren erhältst.

Lösungsvorschläge

Lösung (a)


Abb.6 : Lösung zu a (i)
(i)
Das Viereck ABCD soll an dem Punkt auf dem Pfad gespiegelt werden. Es handelt sich somit um eine Punktspiegelung. Dabei ist wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler nach der Spiegelung die Eckpunkte des Spiegelbilds benennen können. So kann man überprüfen, dass das Vorgehen bei einer Punktspiegelung auch tatsächlich verstanden wurde.
Konstruktion:
Die Konstruktion der Lösung können Sie sich ansehen unter Pdf20.gif Lösung a (i)


Abb.6 : Lösung zu a (ii)
(ii)
Das Spiegelbild des Vierecks verschiebt sich parallel zum Pfad bzw. zum Urbild. Hier sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass der Abstand zwischen den Bildern konstant bleibt, weil der Pfad, auf dem man das Spiegelbild bewegt parallel zum Urbild ist. Die Aufgabe könnte das geometrische Darstellungsvermögen fördern. Es gibt zwei Varianten diese Aufgabe zu lösen:


  • Man zeichnet den Pfad, auf dem der Punkt liegt und bewegt den Punkt auf dem Pfad hin und her. So bewegt sich auch das Spiegelbild so, wie oben beschrieben.
  • Man fügt einen Schieberegler ein und lässt eine Animation starten, sodass das Viereck sich automatisch hin und her bewegt bis man die Animation beendet.


\Rightarrow Wegen der Übersichtlichkeit für die Schüler, wird bei dieser Aufgabe nur die erste Variante erklärt. Sie ist einfach und nachvollziehbar.


Konstruktion:
Die Konstruktion der Lösung können Sie sich ansehen unter Pdf20.gif Lösung a (ii)


Lösung (b)


Abb.6 : Lösung zu b (i)
(i)
Der Stern soll an der gegebenen Gerade gespiegelt werden. Es handelt sich hierbei um eine Achsenspiegelung. Nachdem die Schülerinnen und Schüler dies erkannt haben, können sie nun spiegeln. In der Lösung zu dieser Aufgabe wurde der Stern etwas modifiziert, d.h. das Objekt wurde mit kreisförmigen Augen und durch einen Mund ergänzt. Dies soll den Schülern beim "Knobeln und Tüfteln" etwas mehr Spaß bereiten.


Konstruktion:
Die Konstruktion der Lösung können Sie sich ansehen unter Pdf20.gif Lösung b (i)


Abb.6 : Lösung zu b (ii)
(ii)
Es gibt verschiedene Möglichkeiten das Dreieck so zu spiegeln, dass es ein Quadrat ergibt. Wir möchten zwei Methoden vorstellen:


  • Man spiegelt das Dreieck dreimal jeweils an einen der Schenkel.
  • Man spiegelt das Dreieck nur einmal an der Grundseite.


Konstruktion:
Die Konstruktion der Lösung können Sie sich ansehen unter Pdf20.gif Lösung b (ii)


Abb.6 : Lösung zu c (Methode 1)
Abb.6 : Lösung zu c (Methode 2)

Lösung (c)


Man kann aus dieser Figur durch spiegeln auf diverse Art und Weise verschiedene Objekte erzeugen. Der Kernpunkt ist, dass man an dieser Figur beide Arten der Spiegelung, also Punkt- und/oder Achsenspiegelung, üben kann. Die Schülerinnen und Schüler sollten zunächst überlegen und danach konstruieren. Das Überlegen, welche Spiegelung geeignet ist, ist wiederum eine Kompetenz und fördert das geometrische Vorstellungsvermögen. Im Folgenden zwei Methoden, wie man spiegeln könnte:


  • Methode 1: Achsenspiegelung (z.B. Stuhl und Zange)
  • Methode 2: Punkt- und Achsenspiegelung in unbestimmter Reihenfolge (z.B. Regiestuhl)


Konstruktion:
Die Konstruktion der Lösung können Sie sich ansehen unter Pdf20.gif Lösung c

Notwendige Voraussetzungen

Schülerinnen und Schüler...

  • ...sind allgemein mit geometrischen Vorstellungen vertraut (2D genügen)
  • ...verfügen über elementare geometrische Kenntnisse, insbesondere zur Punkt- und Achsensymmetrie
  • ...haben Erfahrungen mit der Funktion "Graphs & Geometry" und können mit dem TI-Nspire umgehen

Bezug zum Lehrplan / Kompetenzen

Aus Sicht der an 'SINUS-Transfer NRW Projekt 2' beteiligten Schulen werden zwei Kompetenzbereiche erwähnt, die die "Ergebnisse der aktuellen didaktischen Diskussion mit praktischen Erfahrungen der Lehrerinnen und Lehrer" verknüpfen (siehe Näheres hier). Es handelt sich hierbei um die prozessbezogenen und inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche. Diese werden nun mit dem Thema "Achsen- und Punktsymmetrie" verglichen, analysiert und als Vorschlag aufgeführt:

Prozessbezogene Kompetenzbereiche:

Begriffsbilden Argumentieren/Bewerten Modellbildung Problemlösen Werkzeuge
visualisieren
darstellen
strukturieren
verbalisieren
überprüfen
strukturieren
Bezug zur Realität
erkunden
lösen
praktische (spielerische) Erkundung
Lineal

Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche kann man wie folgt darstellen:

Die Schülerinnen und Schüler ...

  • ... verwenden die Begriffe punkt- und achsensymmetrisch zur Beschreibung von Objekten (Darstellung, Beschreibung)
  • ... arbeiten mit bekannten Objekten bzw. mathematischen Begriffen und übertragen sie auf Alltagsbeispiele
  • ... führen Punkt- und Achsenspiegelungen durch und müssten zum Teil entscheiden welche Spiegelung am Sinnvollsten ist
  • ... führen einfache Verschiebungen durch (Bewerten, Interpretieren)

Rolle der Technologie

  • Konstruieren bzw. Rekonstruieren von geometrischen Objekten
  • Visualisieren eines praktischen Problems als geometrische Problemstellung auf dem TI-Nspire
  • Nutzung der Dynamisierung durch die Geometriesoftware, z.B. Übertragung auf Alltagsbeispiele

Weitere Aufgaben

1. Würfel

Stift.gif   Aufgabe
  1. Vervollständige das Würfelnetz, indem du an den grünen Linien Achsenspiegelungen und an den grünen Punkten Punktspiegelungen druchführst. Zeichne die gespiegelten Objekte jeweils auf die Felder auf, die in Würfelform an die grüne Linie bzw. den grünen Punkt angrenzen. (Dabei sollen die roten Objekte gespiegelt werden)
  2. Überprüfe dein Ergenis, indem du das Würfelnetz ausschneidest und zu einem Würfel zusammenfaltest.


2. Mandala

Fenster 1.png

Mandalas sind besonders bei Kindern sehr beliebt. Mit großer Begeisterung werden die Vorlagen ausgemalt und haben so auch Eingang in die Schulen und insbesondere in den Kunstunterricht gefunden. Die Symmetrien, die sich in diesen Bildern wiederfinden, stellen auch eine Verbindung zum Mathematikunterricht her. Mandalas, etwa in Form eines Kirchenfensters (siehe oben), besitzen oft ein erzeugendes Element, aus welchem das gesamte Mandala durch Spiegelung hervorgeht.

Stift.gif   Aufgabe
  1. Versuche mit Hilfe des TI-Nspire CAS aus folgendem Element (mit Hilfe von Achsenspiegelungen) ein ähnliches Mandala zu erzeugen Der Kreis wird dabei erst zum Ende hin dazugefügt.

Lösungsvorschlag

Information icon.svg Lösung
  • Öffne Geometry und zeichne ein Dreieck (menu - Formen (9) - Dreieck (2))
  • Messe den Winkel im Zentrum und bewege einen der Eckpunkte so, dass der Winkel 45° beträgt (menu - Messung (8) - Winkel (4) - Anklicken der drei Punkte wobei der Punkt im Zentrum an zweiter Stelle angeklickt werden muss)
  • Lege die Länge der beiden Schenkel auf 6cm fest (menu - Messung (8) - Länge' (1) - Jeweils Anklicken der beiden Punkte - Durch Doppelklick auf den Wert kann dieser auf 6cm festgelegt werden)
  • Ausblenden der drei Angaben (Angabe anklicken - ctrl - menu - Löschen (4))
  • Spiegle das Dreieck an der Seite gegenüber des Zentrums (menu - Abbildung (B) - Achsenspiegelung (2) - Anklicken des Dreiecks - Anklicken der Seite)
  • Spiegle das Gebilde an einer der anderen Seite des Ausgangdreiecks (wie vorhin - Achsenspiegelung - Abwechselndes Anklicken der Dreiecke und der Spiegelachse (Seite))
  • Spiegle das Gebilde an der dritten Seite das Ausgangdreiecks (wie oben)
  • Spiegle das Gebilde an einer der beiden Randseiten (wie oben)
  • Konstruiere den Außenkreis (menu - Formen (9) - Kreis (1) - Anklicken des Zentrums - Anklicken einer der äußersten Punkte)

3. Zahlen und Buchstaben

Zahlen und Buchstaben sind aus unserem Leben nicht mehr wegzudenken. Auch hier spielen Punkt- und Achsensymmetrie eine Rolle. Bei den folgenden Aufgaben sollen Zahlen und Buchstaben folgenden Kategorien zugeordnet werden:

  • (1)punkt- aber nicht achsensymmetrisch
  • (2)achsen- aber nicht punktsymmetrisch
  • (3)punkt- und achsensymmetrisch
  • (4)weder punkt- noch achsensymmetrisch
Stift.gif   Aufgabe
  1. Überprüfe die Zahlen von 0 bis 9 auf Symmetrie und zeichne gegebenenfalls die Symmetrieachse und/oder das Zentrum ein (auf ausgeteiltem Material). Ordne die Zahlen den Kategorien: (1) bis (4) zu.
  2. Ordne auch die Großbuchstaben A bis Z diesen Kategorien zu.
  3. Kannst du Worte finden (in Großbuchstaben) die punkt- bzw. achsensymmetrisch sind?
Information icon.svg Lösung


Didaktischer Kommentar

Punkt- und Achsensymmetrie ist ein wichtiges Thema in der Schule, besonders in der Sekundarstufe I. Durch richtige Einführung in das Themengebiet können Schülerinnen und Schüler elementare Kenntnisse in der Geometrie erlernen. Die Symmetrie fördert dabei das räumliche Vorstellungsvermögen (zwar hier nur im Zweidimensionalen, aber dies ist eine Basis bzw. ein Anfang für dreidimensionale Probleme später in der Sekundarstufe II). Die drei Aufgaben sind daher so konstruiert, dass die Schülerinnen und Schüler die Achsen- und Punktsymmetrie erkunden können. Selbstverständlich muss man für eine tiefere Unterrichtsgestaltung auch weiterentwickelte Aufgaben nehmen.

In der Aufgabe (b) sollen die SuS die wahrscheinlich einfachste Form einer Spiegelung kennenlernen, nämlich die Achsenspiegelung. Im zweiten Teil müssen Sie ein Dreieck so spiegeln, dass man als Resultat ein Quadrat erhält. Hier werden zusätzliche Kenntnisse über geometrische Figuren getestet: Wer zuerst überlegt und dann konstruiert, kann sogar auf die Lösung kommen, dass man im Prinzip nur ein Mal spiegeln muss.

Die Aufgabe (a) führt in die Punktsymmetrie ein. Die Punktspiegelung ist in vielen Fällen den Schülerinnen und Schülern nicht klar. Ein sofortiges Verständnis ist deswegen nicht zu erwarten, da diese Art von Spiegelung sich deutlich von der Achsenspiegelung unterscheidet und förmlich das Vorstellungsvermögen beansprucht. Der erste Teil der Aufgabe sieht daher zwar einfach aus, kann jedoch jegliche SuS herausfordern. Folglich sollte man eine einfachere Figur zur Einführung nehmen, z.B. einen Punkt. Der zweite Teil der Aufgabe erfordert weitergehende Überlegungen. Hier können die SuS erkennen, dass auch bewegte Objekte im zweidimensionalen "Raum" existieren. Eine tiefer gehende Erklärung ist jedoch im Rahmen des Themas in der Sekundarstufe I kaum möglich.

Die Aufgabe (c) stellt den Anforderungsbereich III dar. Es handelt sich bei dieser Aufgabe um eine offene Aufgabe, bei der alle Schülerinnen und Schüler erst überlegen müssen, bevor sie mit der Konstruktion beginnen. Sie sollten eine derartige Aufgabe jedoch erst bekommen, wenn sie im Thema fortgeschritten sind.

Quellen