Exponentialfunktionen

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Inhaltsverzeichnis

Fachlicher Hintergrund

Definition

Beispiele für Exponentialfunktionen.jpg

Sei a \in \R_+ und b \in \R, b \not =0. Eine Funktion der Form f(x)=b \cdot a^x, x\in \R, heißt Exponentialfunktion mit D(f)=\R.

Eigenschaften

Im Falle b=1 hat eine Exponentialfunktion die folgenden Eigenschaften

  • Für alle x\in \R verläuft der Graph oberhalb der X-Achse und geht durch den Punkt P(0|1).
  • Für a>1 ist die Funktion streng monoton steigend und für 0<a<1 streng monoton fallend auf ganz \R.
  • Die Funktionen f(x)=a^x und g(x)=(1/a)^x verlaufen spiegelbildlich bezüglich der Y-Achse.
  • Die X-Achse ist Asymptote.

Wachstums- und Zerfallsprozesse

Viele Vorgänge in der Natur oder in der Wirtschaft lassen sich mit Hilfe von Exponentialfunktionen beschreiben. Eine Größe besitzt ein exponentielles Wachstum oder einen exponentiellen Zerfall, wenn sich der Entwicklungsprozess (meistens abhängig von der Zeit) mit Hilfe einer Exponentialfunktion beschreiben lässt. Dabei vervielfacht sich die Größe in gleichen Zeitspannen jeweils um denselben Faktor a. Dieser wird als Wachstumsfaktor (a>1) oder Zerfallsfaktor (0<a<1) bezeichnet. Außerdem gilt: f(0)=b. Die Variable b steht somit für den Wert der betrachteten Größe zu Beginn des Entwicklungsprozesses (z.B. Startkapital, Anfangspopulation).

Kompetenzerwartungen aus dem Kernlehrplan Mathematik G8 NRW [1]

Die Schülerinnen und Schüler

  • können Realsituationen in mathematische Modelle übersetzen.
  • können Exponentialfunktionen zur Lösung von Problemstellungen anwenden.
  • können mathematische Werkzeuge zum Erkunden und Lösen mathematischer Probleme verwenden.
  • können zu Messwerten eine Ausgleichsfunktion finden.

Vorschläge für eine Handlungsorientierte Einführung

Die folgenden Aufgaben stellen Möglichkeiten dar, das Thema handlungsorientiert im Unterricht zu behandeln. Bei der ersten Aufgabe handelt es sich um einen Wachstumsprozess. Diese ist insbesondere für die Einführung in das Thema Exponentialfunktionen geeignet. In der zweiten Aufgabe geht es um eine typische Anwendung exponentiellen Zerfalls. Diese kann auch als weiterführende Aufgabe verwendet werden, um Exponentialfunktionen für die Modellierung realer Situationen zu verwenden.

Papierfalten

Der im Folgenden betrachtete Vorschlag für eine handlungsorientierte Einführung bietet sich insbesondere deshalb an, da das benötigte Material (ein Blatt Papier) allen Lernenden vorliegt und zum Ausprobieren anregt. Auf diese Weise lässt sich das Problem veranschaulichen. Für die Lösung der Aufgabe ist der Umstieg auf ein digitales Medium jedoch empfehlenswert.

Ich gehe im Folgenden davon aus, dass die Lernenden sich in Grundzügen bereits mit dynamischer Geometriesoftware auskennen (steht im Lehrplan NRW zurzeit in Jahrgangsstufe 7/8) und auch Interesse haben, Aufgaben mithilfe des Computers zu lösen.

Mit Hilfe der Lernumgebung sollen die Schülerinnen und Schüler exemplarisch einen exponentiellen Wachstumsprozess kennenlernen und wesentliche Eigenschaften derartiger Prozesse erkennen. Selbstverständlich ist im Anschluss eine Verallgemeinerung durch die Lehrkraft erforderlich, bei der das gegebene Wachstum als exponentielles Wachstum identifiziert und die Exponentialfunktionen eingeführt werden.

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Der Burdsch Chalifa ist ein Wolkenkratzer in Dubai und gilt seit seiner offiziellen Einweihung im Januar 2010 als das höchste Bauwerk der Welt. Bis zur Spitze erreicht das Gebäude eine Höhe von 830 m.

Burdsch Chalifa .jpg

Faltet man ein Blatt Papier im DIN-A4-Format mehrfach entlang der Mittellinie, so wird es immer kleiner und dicker. Wie oft müsste man es falten können, um einen Turm zu erhalten, der die Höhe des Burdsch Chalifa erreicht (Papierdicke: 0,2 mm)? Gib zunächst eine Schätzung ab und vergleiche diese anschließend mit deinem Ergebnis.

Lösung

Information icon.svg Lösung

Im Folgenden werde ich mögliche Lösungswege mit Hilfe des TI-Nspire aufzeigen.

Zunächst sollte erkannt werden, wie sich die Dicke des "Papierturms" zur Anzahl der Faltungen verhält. Dieser Zusammenhang kann bereits durch das Ausprobieren mit einem vorliegenden Blatt Papier herausgefunden werden. Mit Hilfe des Rechners könnte anschließend in der Applikation Lists&Spreadheet eine Wertetabelle erstellt werden. Es sei angemerkt, dass die Einheit der Dicke (ausgehend von einer Papierdicke von 0,2 mm) noch in mm angegeben ist.

Die Abbildung zeigt, wie eine solche Wertetabelle aussehen könnte. Haben die Schülerinnen und Schüler den Zusammenhang bereits durchschaut, so können sie die Dicke mit Hilfe einer Formel bestimmen und die im Taschenrechner integrierte Funktion verwenden. Andernfalls ist es jedoch auch möglich, die Werte manuell einzugeben. Die Wertetabelle kann nun so weit fortgesetzt werden, bis die erforderliche Dicke von 830m erreicht wird. Dies ist bereits nach nur 22 Faltungen der Fall.

Möglicherweise haben die Lernenden den Zusammenhang nicht direkt erkannt. Außerdem erscheint es ihnen sehr aufwendig, die Wertetabelle manuell fortzusetzen, da sie von wesentlich mehr Faltungen ausgehen, als letztlich benötigt werden. Dann bietet sich mit dem TI-Nspire eine weitere Herangehensweise an. Wie zuvor, kann zunächst in der Applikation Lists&Spreadheet eine Wertetabelle erstellt werden. In diesem Fall genügt es jedoch, wenige Werte zu bestimmen und einzutragen. Anschließend können die Wertepaare über die mit einem SchnellGraph in ein Koordinatensystem übertragen werden. Mit Hilfe des Taschenrechners ist es nun möglich, eine Regression durchzuführen. Da die Lernenden nicht wissen, welche Regression am besten geeignet ist, können verschiedene ausprobiert werden. Dabei werden sie feststellen, dass eine Exponential-Regression sehr gut geeignet ist, um den Zusammenhang zu beschreiben.

Wie in der Abbildung zu sehen ist, wird dabei sogar automatisch die Funktionsvorschrift hinzugefügt. Die Lösung kann nun rechnerisch oder mit Hilfe des Regressionsgraphen bestimmt werden.

Viele Schülerinnen und Schüler rechnen womöglich einfach drauf los. In der Applikation Calculator können einzelne Rechnungen eingegeben werden. Die folgende Abbildung zeigt, wie eine solche Rechnung zu dieser Aufgabe aussehen könnte.

Auch auf diese Weise werden die Lernenden schnell den vorhandenen Zusammenhang erkennen. Mit Potenzen im Allgemeinen sind die Schülerinnen und Schüler bereits vertraut. Durch Ausprobieren verschiedener Potenzen können sie sich der Lösung annähern. Wie die anderen Wege, führt auch dieser zu einem Handlungsprodukt in Form einer Formel bzw. Funktionsvorschrift, die den gegebenen Sachverhalt beschreibt und mit der die Lösung bestimmt werden kann.

Es ist nun ohne Weiteres möglich, das Produkt auf ähnliche Sachverhalte anzuwenden. Denkbar wäre beispielsweise eine Veränderung der Papierdicke oder der erforderlichen Höhe.


Didaktischer Kommentar

Alternativ zu einem Blatt Papier können auch andere Materialien, wie beispielsweise ein Stück Folie, verwendet werden. Außerdem ist es nicht zwangsläufig erforderlich die Dicke des Materials vorzugeben. Mit Hilfe eines geeigneten Geräts können die Schülerinnen und Schüler diese selbst ermitteln.

Bierschaumzerfall [2]

Ähnlich wie bei der zuvor erläuterten Aufgabe werden bei den Schülern Grundkenntnisse im Umgang mit dem TI-Nspire (Tabellenkalkulation, Graphen zeichnen) vorausgesetzt. Dieser soll dazu dienen, die Messwerte zu visualisieren (Tabelle, Graph) und eine Regressionsfunktion zu berechnen. Außerdem ermöglicht der Taschenrechner verschiedene Zugänge:

  • Numerisch: Auflisten der gemessenen Werte in einer Tabelle
  • Algebraisch: Variieren des Funktionsterms
  • Graphisch: Anpassen eines Graphen an die Punkte eines Streudiagramms

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Sicherlich hast du schonmal beobachtet, dass Bierschaum mit der Zeit zerfällt. Dieser Prozess soll nun modelliert werden. Plane dazu ein Experiment, mit dem du die Schaumhöhe in Abhängigkeit von der Zeit ermitteln kannst und miss die Schaumhöhe etwa alle 20 Sekunden. Halte die Ergebnisse in einer Tabelle fest. Modelliere die Messwerte anschließend durch eine geeignete Funktion. Begründe die Wahl des Funktionstyps.

Hinweis: Beachte, dass der Schaum von oben und von unten zerfällt. Da mit fortschreitendem Zerfall auch Schaumreste am Glas hängen bleiben, wähle für deine Messung den jeweils tiefsten Punkt am oberen Rand der Schaumkrone.

Zerfall1.jpg Zerfall2.jpg Zerfall3.jpg

Lösung

Information icon.svg Lösung

Die folgende Datei enthält neben der Aufgabenstellung bereits eine vorgefertigte Tabelle, in der die Schülerinnen und Schüler die Messwerte eintragen können, um diese anschließend auszuwerten: Datei:Zerfall von Bierschaum.tns

Ähnlich wie bei der zuvor dargestellten Aufgabe "Papierfalten" gibt es eine Reihe von Vorgehensmöglichkeiten, die erfassten Messwerte mit Hilfe einer Funktion zu modellieren. Eine ausführliche Beschreibung von zwei möglichen Lösungswegen findet man hier:

Schmidt, Ulla 2010. Zerfall von Bierschaum. In: Pallack, Andreas/Barzel, Bärbel (Hrsg.). ...aller Anfang ist leicht. Aufgaben mit dem TI-Nspire/TI-Nspire CAS.

Eine Möglichkeit ist die Darstellung der Messwerte als Streudiagramm. Da die Schülerinnen und Schüler bereits Erfahrungen mit Exponentialfunktionen gemacht haben, besteht die Möglichkeit, eine solche vom Typ  f(x)=b \cdot a^x von Hand an die Punkte anzupassen. Alternativ kann zu den Messwerten ein Schnellgraph gezeichnet werden. Neben der Anpassung von Hand ist es auch möglich, eine Regression mit Hilfe des Taschenrechners durchzuführen.


Didaktischer Kommentar

Für das Experiment eignet sich Altbier oder Malzbier besser als Pils. Außerdem sollte kein gewöhnliches Glas, sondern ein Messzylinder verwendet werden. Dieser hat möglicherweise bereits eine Skala. Ansonsten kann ein Lineal daneben gestellt werden. Die Höhe der Bierschaumkrone sollte in Abständen von 15 bis 20 Sekunden abgelesen werden. Gemessen wird also die Höhe der Bierschaumkrone in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei soll der offensichtlich stattfindende Zerfallsprozess dahingehend untersucht werden, ob in einer bestimmten Zeiteinheit ein konstanter Prozentsatz der noch vorhandenen Bierschaumkrone zerfällt. Dieser Fall wäre gleichbedeutend mit einer Modellierung durch eine Exponentialfunktion. Folgende Vorgehensweisen bei den Messungen sind denkbar:

  • Zusammenarbeit in 3er bis 4er Gruppen: Einer list die Höhe des oberen und einer des unteren Schaumrandes ab. Eine weitere Person achtet auf die Zeit und gibt das Kommando.
  • Verwendung einer Digitalkamera: Der Versuchsaufbau wird alle 10 bis 15 Sekunden fotografiert. Die jeweilige Höhe der Schaumkrone kann anschließend in Ruhe abgelesen werden.
  • Aufnahme mit einer Videokamera: Durch die Projektion des Films und die Erstellung von Standbildern (in regelmäßigen Abständen) werden die Ergebnisse ausgewertet.

Je nach Vorwissen werden bei der Auswertung und Modellierung der Messwerte möglicherweise quadratische Funktionen oder bereits Exponentialfunktionen verwendet. Um die Parameter der Exponentialfunktion besser zu verstehen, erscheint es sinnvoll zunächst eine Funktionsanpassung von Hand vorzunehmen und anschließend mit Hilfe des TI-Nspire eine Regression durchzuführen. Es sei angemerkt, dass die letzten Werte durch das Hängenbleiben des Bierschaums am Glas mit Fehlern belastet sein können.

Weitere interessante Beispiele


Literatur

  1. Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 2007. Kernlehrplan für das Gymnasium – Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen. Mathematik. Frechen: Ritterbach Verlag.
  2. Schmidt, Ulla 2010. Zerfall von Bierschaum. In: Pallack, Andreas/Barzel, Bärbel (Hrsg.). ...aller Anfang ist leicht. Aufgaben mit dem TI-Nspire/TI-Nspire CAS.