Formeln darstellen und binomische Formeln darstellen

Einführung über algebraische Herleitung

Im Fokus stehen die bekannten binomischen Formeln, die sich aus dem Distributivgesetz der Multiplikation herleiten lassen:

• 1. Binomische Formel: $(a + b)^2 = a^2 + 2\cdot a \cdot b + b^2$

• 2. Binomische Formel: $(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$

• 3. Binomische Formel: $(a+b)\cdot(a-b)= a^2 - b^2$

Der Herleitung der Binomischen Formel liegt das Distributivgesetz der Multiplikation zu Grunde:

$(a+b)\cdot(c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$

$(a-b) \cdot (c-d) = a \cdot c - a \cdot d - b \cdot c + b \cdot d$

Aus dem Sonderfall $(a+b)\cdot(a+b)$ des Distributivgesetzes lässt sich die 1. Binomische Formel herleiten:

1. Binomische Formel

Geometrische Darstellung der 1. Binomischen Formel

Formaler Beweis

$(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + a \cdot b + a \cdot b + b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$

Analog lassen sich auch die übrigen zwei binomischen Formeln herleiten:

2. Binomische Formel

Geometrische Darstellung der 2. Binomischen Formel

Formaler Beweis

$(a-b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = a^2 - a \cdot b - a \cdot b + b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$

3. Binomische Formel

Geometrische Darstellung der 3. Binomischen Formel

Formaler Beweis

$(a+b) \cdot (a-b) = a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = a^2 - a \cdot b + a \cdot b - b^2 = a^2 - b^2$

Dieses Vorgehen ist zwar sehr logisch und mathematisch begründet, besitzt jedoch auch Nachteile. Zum einen bietet diese Herangehensweise keinerlei Realitätsbezug, zum anderen bietet sie keinerlei Verständnishilfen mittels einer bildhaften Darstellungsweise. Hieraus können bei weiterer Anwendung der Formeln Fehler resultieren, da die Schüler nur den Satz kennen, nicht jedoch seine inhaltliche Aussage.

Vorschlag für eine Handlungsorientierte Einführung

Aufgabenstellung

Aufgabe Die folgende Aufgabe könnte im Unterricht verwendet werden, um Lernende ein verbessertes Verständnis für die Inhalte der binomischen Formeln zu vermitteln. Bestimme die Zusammenhänge der einzelnen Flächen der Quadrate.

Handlungsprodukt

An dieser Stelle wird der Fokus auf ein Handlungsprodukt gerichtet, das mit dem Rechner realisiert wurde. Sie können hier die Lehrerversion mit einigen Hinweisen herunterladen:

Datei:Binomischer Würfel.tns

Besonders naheliegend erscheint, dass Lernende selbst einen binomischen Würfel, z.B. aus Schaumstoff, herstellen und dabei dann die jeweiligen Längen der Teilstrecken a und b variieren. Durch die Visualisierung der binomischen Formeln wird dem typischen Schülerfehler, dem Weglassen des doppelten Produkts, anschaulich entgegengewirkt.

Didaktischer Kommentar

Für das Verständnis der binomischen Formeln bieten sich vor allem Figuren aus Papier/Pappe an, da diese besser 'begriffen' werden können. Aber auch entsprechende Figuren in digitaler Form bieten sich zur Veranschaulichung der geometrischen Bedeutung der Formeln an. Digitale Figuren regen zum quasiexperimentellen Arbeiten an.