Gerade darstellen

Einführung

Die nachfolgenden Erklärungen und Formeln für die Darstellung von Geraden bietet den Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit, Geraden selbst dar- sowie Geradengleichungen aufzustellen.

Definition einer Geraden

Unter einer geraden Linie oder auch Geraden genannt, stellt man sich eine unendlich lange, unendlich dünne Linie vor. Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt und wird auch lineare Funktion genannt. In der Analytischen Geometrie wird eine Gerade als eine Menge von Punkten realisiert. Genauer: In einem Vektorraum, dessen Elemente Punkte heißen, ist eine Gerade nach Definition eine additive Nebenklasse eines eindimensionalen Unterraumes.

Beispiel

Die beiden reellen Funktionen

$g_1 \ : \ y= -2x+3$
$g_2 \ : \ y= 3x+0$

haben Geraden als zugehörige Graphen.
Die Faktoren -2 bzw. 3 kennzeichnen die Steigung der jeweiligen Geraden. Die Summanden 3 bzw. 0 bestimmen den Punkt, in dem die Gerade die y-Achse schneidet.
Die Gerade $g_1$ fällt mit wachsenden x-Werten, sie hat eine negative Steigung; $g_2$ steigt mit wachsenden x-Werten an, die Steigung wird als positiv bezeichnet.

Definition Eine lineare Funktion ("Geradengleichung") hat allgemein die Zuordnungsvorschrift bzw. Funktionsgleichung: $y=m\cdot x +b$. Jede Funktion von diesem Typ hat als zugehörigen Graphen eine Gerade; aus diesem Grund bezeichnet man eine solche Gleichung auch häufig als "Geradengleichung". Die beiden Konstanten m und b kennzeichnen dabei die Lage der jeweiligen Gerade vollständig. m ist die Steigung der Gerade. Wählt man $x=0$, so ergibt sich als zugehöriger Funktionswert $y=b$; geometrische Deutung: Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0 ; b). b wird daher als "y-Achsenabschnitt" bezeichnet.

Steigungsdreieck

Von einer Geraden g sind 2 Punkte $A(x_A ; y_A), \ B(x_B ; y_B)$ bekannt. Die Steigung m dieser Geraden kann dann über das Verhältnis der Koordinaten-Differenzen $\Delta y=y_B -y_A$ und $\Delta x=x_B -x_A$ berechnet werden. Das in der unteren Abbildung markierte Dreieck an g wird als Steigungsdreieck bezeichnet.

Für die Geradensteigung m gilt:

$m= \frac{y_B -y_A}{x_B -x_A}$

oder auch kürzer geschrieben: $m= \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Beispiel

Die Steigung m der Gerade durch die Punkte A(2 ; 3,75) und B(4 ; 5,25) ist zu berechnen.

$\Delta y= 5,25-3,75=1,5; \ \ \Delta x = 4-2=2 \ \Rightarrow m = \frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{1,5}{2}=0,75$

0,75 ist die gesuchte Steigung m.

Verschiedene Formen der Geradengleichung

Definition Die Gleichung $y=m\cdot x+b$ bezeichnet man als Normalform der Geradengleichung. Die Gleichung $c \cdot x + d \cdot y = e$ mit den beiden variablen Größen x, y und den Konstanten c, d, e, wobei d ungleich 0 sein muss, ist die implizite Form der Geradengleichung. Sie lässt sich stets in die Normalform umrechnen.

Kompetenzerwartungen

Folgende Kenntnisse werden von den Schülerinnen und Schüler laut Lehrplan Mathematik (G8) am Ende der 7 Klasse erwartet:

Erfassen

• verwenden die Grundbegriffe Punkt, Gerade, Strecke, Winkel, Abstand, Radius, parallel, senkrecht, achsensymmetrisch, punktsymmetrisch zur Beschreibung ebener und räumlicher Figuren
• benennen und charakterisieren Figuren und Grundkörper und identifizieren sie in ihrer Umwelt

Konstruieren

• zeichnen grundlegende ebene Figuren (parallele und senkrechte Geraden, Winkel, Rechtecke, Quadrate, Kreise) und Muster auch im ebenen Koordinatensystem (1. Quadrant)
• skizzieren Schrägbilder, entwerfen Netze von Würfeln und Quadern und stellen die Körper her

Voraussetzungen

Um die nachfolgenden Aufgebn zu bearbeiten und um das Thema zu verstehen, sollten bei den Schülerinnen und Schülern folgende Grundkenntnisse vorhanden sein:

• Kenntnis eines 2-dimensionalen Koordinatensystems: Die Schülerinnen und Schüler sollten in der Lage sein, Punkte in einem 2D Koordinatensytem zu lesen. Ebenso sollten die Schülerinnen und Schüler in der Lage sein, gegebene Punkte in ein Koordinatensystem zu übertragen.
• Grundkenntnisse des CAS: Schülerinnen und Schülern sollte die grundlegende Bedienung des CAS bekannt sein. Das explizite Zeichnen und die Darstellung von Punkten sowie Geraden kann bei diesem Thema eingeführt werden.
• Auswertung: Die Schülerinnen und Schüler sollten die Fähigkeit besitzen die Ergebnisse qualitativ auszuwerten.

Aufgaben

Aufgabe Zeichnen Sie folgende Punkte mit Hilfe des CAS in ein Koordinatensystem und verbinden Sie diese Punkte mit Hilfe einer Geraden. Interpretieren Sie anschließend ihr Ergebnis. $a) A_1(2;6) \ B_1(-1;-3) ; \ \ A_2(1;5) \ B_2(0;0); \ \ A_3(3;6) \ B_3(-2;-4)$ $b) A_1(1;5) \ B_1(-1;-1); \ \ A_2(12;14) \ B_2(-2;0); \ \ A_3(3;8) \ B_3(-4;-6)$ $c) A_1(-1;-1) \ B_1(3;7); \ \ A_2(-2;-7) \ B_2(6;9); \ \ A_3(-5;-6) \ B_3(2;8)$

Lösung zu a) Öffnen Sie ein neues Dokument und gehen Sie auf Graphs hinzufügen. Anschließend drücken Sie die Menü-Taste und wählen Ansicht, sowie den Menüpunkt Gitter anzeigen aus, um ein Raster einzufügen, damit die Punkte leichter manuell eingefügt werden können. Dies erfolgt über den Menüpunkt Punkte. Durch Punkte und Geraden werden diese zu einer Geraden verbunden. Dazu werden lediglich die zu verbindenden Punkte mittels des Cursors angeklickt. Das Verbinden wird automatisch vom CAS durchgeführt. Man erkennt, dass alle Geraden durch den Ursprung gehen. Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken zu b) Aufgabenteil b wird analog zu Aufgabenteil a) bearbeitet. Die einzige Änderung bei dieser Aufgabe besteht darin, dass die Achsen des Koordinatensystems zu erweitern sind. Dies geschieht, nachdem die Gitterpunkte erstellt wurden. Dazu wird im Menüpunkt Fenster auf Zoom-heraus, und anschließend auf das Koordinatensystem geklickt. Zu erkennen ist, dass alle Geraden durch den Punkt (2,0) verlaufen. Sie haben denselben y-Achsenabschnitt. Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken zu c) Der letzte Aufgabenteil von Aufgabe 1 kann nun mit den Kenntnissen aus Aufgabenteil a) und b) gelöst werden. Man erkennt, dass sich die Geraden nicht schneiden. Sie liegen parallel zueinander.

Aufgabe Bestimmen Sie mittels CAS die Geradengleichungen für die Geraden der vorigen Aufgabe. Hinweis: Sie dürfen die zuvor erstellten Geraden verwenden.

Lösung Die Vorgehensweise ist bei dieser Aufgabe bei allen Geraden gleich. Nachdem die Datei mit den zuvor erstellten Gleichung geöffnet wurde, wähle im Menü Aktionen und Koordinaten/Gleichungen. Anschließend wird auf die Gerade und danach auf eine beliebige Stelle im Koordinatensystem geklickt. Die Geradengleichung erscheint sofort. Die untenstehenden Abbildungen, zeigen die Geradengleichung für die vorige Aufgabe. Veranschaulichungen anzeigen Veranschaulichungen verstecken

Aufgabe Bestimmen Sie die Gradengleichung aus nachfolgender Wertetabelle. Stellen Sie die Punkte der Wertetabelle anschließend graphisch dar und zeichnen Sie ihre ermittelte Geradengleichung zur Kontrolle in die Grafik mit hinein. Hinweis:Laden Sie sich die fertige Tabelle herunter, die hier ( Media: Vorlage Tabelle.tns ) zur Verfügung steht.

Lösung Nach dem Laden der Datei aus dem Link, erhält man die nachfolgende Wertetabelle. Um nun die Daten für die Geradengleichung zu erhalten, markiere im Menü unter Aktion $\rightarrow$ Auswählen $\rightarrow$ Spalte Auswählen, die beiden Spalten mit den eingetragenen Werten. Anschließend wählt man im Menü Daten $\rightarrow$ Statistische Berechnung $\rightarrow$ Lineare Regression (mx+b). Das sich nun öffnende Fenster kann mit Ok bestätigt werden. Wir erhalten nun folgende Ansicht, in der man die Geradengleichung sofort ablesen kann. Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken Wurden die obigen Schritte richtig durchgeführt, so sehen wir in der Tabelle bereits die fertige Geradengleichung. Hier erhalten wir für m=3,25 und für b=4,15. Insgesamt lautet unsere Geradengleichung also: y=3,25x+4,15. Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken Um die Punkte aus den Werten graphisch darzustellen, werden wieder die beiden ersten Spalten markiert. Anschließend wird im Menü unter Daten$\rightarrow$ SchnellGraph die linke Abbildung erzielt. Veranschaulichung anzeigen Veranschaulichung verstecken Als Letztes wird nun unsere Funktion zur Kontrolle in das rechte Bild hineingeplottet. Dazu wird, um eine bessere Übersicht zu erhalten, das linke Fenster vergrößert. Im nächsten Schritt wird dann im Menü unter Aktionen$\rightarrow$ Funktion zeichnen die ermittelte Funktion geplottet.

Didaktischer Kommentar

Ziel dieses Thema ist es, die Schülerinnen und Schüler den Zusammenhang von Funktiongraph und Funktionsvorschrift entwickeln zu lassen. Es vermittelt die Grundkenntnisse, die später notwendig sind, um Ausgleichgeraden zu erstellen. Dies ist ein typische Methode bei der Auswertung von Experimenten in naturwissenschaftlichen Fächern. Zunächst sollte jedoch eine graphische Aufarbeitung und das Einüben in dieses Thema erfolgen. Die Schülerinnen und Schüler sollten vorab mittels Bleistift und Millimeterpapier lernen wie Punkte von Hand in Koordinatensysteme eingetragen werden. Auch das Bestimmen von Steigungen und Geradengleichungen sollte zunächst ohne CAS erfolgen. Das CAS sollte bei diesem Thema lediglich zur Überprüfung des gelernten Unterrichtsinhaltes eingesetzt werden und dazu dienen eine alternative Methode zur Geradenbestimmung aufzuzeigen. Des Weiteren lässt sich dieses Thema später zum Lösen von Gleichungssystemen und zur Schnittpunkberechnung wieder aufgreifen.