Inkreis

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Inhaltsverzeichnis

Motivation - theoretischer Hintergrund

Dem Inkreis kommt in der Dreiecksgeometrie eine besondere Bedeutung zu, denn jedes Dreieck besitzt einen Inkreis. Alle Punkte der Winkelhalbierenden des Innenwinkels α haben den gleichen Abstand von den Seiten c und b. Ebenso haben die Punkte der Winkelhalbierenden wβ die gleiche Entfernung von den Seiten a und c. Der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden hat also von alle Seiten (a, b und c) den gleichen Abstand. Bei Konstruktion der Winkelhalbierenden wγ ist festzustellen, dass sich alle Winkelhalbierenden eines Dreiecks in diesem Punkt schneiden. Der Schnittpunkt wird als Mittelpunkt W des Inkreises bezeichnet. Der Inkreis berührt die drei Seiten des Dreiecks und ist damit der größte Kreis, der vollständig im Dreieck liegt. Außerdem gehört der Inkreismittelpunkt zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks.

Lehrplan

Die Schülerinnen und Schüler sollten…

  • die Winkelhalbierende eines Winkels als die Ortslinie aller Punkte, die von beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben bzw. als Symmetrieachse des Winkels, benennen.
  • Winkelhalbierende konstruieren können.
  • über Kenntnisse im Umgang mit dynamischer Geometriesoftware (DGS) oder dem TI-Nspire verfügen.

Handlungsorientierter Hintergrund

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Ein braver Bursche, der des Königs Tochter gerettet hat, darf sich zur Belohnung aus einer dreieckigen Goldplatte eine kreisrunde Scheibe ausschneiden. Wie erhält er ein möglichst großes Stück? Nutze hierzu die vor dir liegende Goldplatte.

Tipp: Animation zur Konstruktion

Lösung

Information icon.svg Lösung

Weiterführende Problemstellungen

Aufgabe 1

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Der brave Bursche vergrub seinen Schatz, so dass niemand ihn nach seinem Ableben für sich beanspruchen konnte. 500 Jahre später wurde der Schatz dennoch von Inga in ihrem Garten entdeckt. Sie beschließt daraufhin anlässlich ihres Geburtstages eine Schatzsuche zu veranstalten und vergräbt den Schatz erneut. Die folgende Schatzkarte soll dir bei der Suche helfen.

Schatkarte1.jpg

a) Fange an, den Schatz zu suchen. Was stellst du fest?

b) Versuche, deinen Einwand graphisch auf der nachfolgenden Seite darzustellen.

Lösung

Information icon.svg Lösung

a) Die SuS kennen bereits die Definition der Winkelhalbierenden und können auf dieser Grundlage zu der folgenden Erkenntnis kommen: Die Informationen reichen nicht aus, um den Schatz zu finden. Der Schatz kann an jedem Punkt auf der Winkelhalbierenden vergraben sein. b) Mit der Funktion „ Winkelhalbierende konstruieren“ kann diese Aussage graphisch visualisiert werden.

Aufgabe 2

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Inga sieht ein, dass ihre Beschreibung nicht ausreicht, um den Schatz zu finden. Sie sagt: "Ich gebe dir noch einen Tipp! Der Schatz ist auch gleichweit von der Verbindungsstrecke AC entfernt." Weißt du jetzt, wo du suchen musst? Vervollständige die Skizze und markiere den Punkt, an dem der Schatz liegt.

Lösung

Information icon.svg Lösung

Zunächst muss die Verbindungsstrecke AC konstruiert werden (über den Befehl "Punkte" und "Strecke"). Der Schatz hat vom Weg, vom Zaun und von der Verbindungslinie AC die gleiche Entfernung. Die SuS sollen zu der Schlussfolgerung kommen, dass dies bedeutet, dass der Abstand von Zaun und Weg, von Zaun und AC und von Weg und AC gleich sein muss. Die zwei fehlenden Winkelhalbierenden können, wie oben angegeben, konstruiert werden. Hieraus folgt wiederum, dass sich der Schatz unter dem Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden befinden muss.

Aufgabe 3

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

a) Bezeichne den so eben konstruierten Punkt mit W. Wie weit liegt der Schatz von allen drei Seiten des Dreiecks entfernt? Welchem Abstand entspricht dies in der Realität?

b) Zeichne um die Fundstelle den Kreis der alle drei Seiten berührt. Den Radius hast du in Teil a) bereits abgemessen. Diesen Kreis nennt man den Inkreis eines Dreiecks.

Lösung

Information icon.svg Lösung

a) Der Abstand des Schatzes von den drei Seiten ist durch die kürzeste Entfernung des Punktes W zur jeweiligen Seite des Dreiecks definiert. Es muss somit zunächst das Lot vom Punkt W auf die Seite gefällt werden. Mit der Funktion „Winkel messen“ kann ein 90° abgetragen und somit der Lotfußpunkt gefunden werden. Die Funktion „Länge messen“ ermittelt anschließend denn Abstand des Lotfußpunktes zum Punkt W. Demnach entspricht de Entfernung einer Länge von 4,36 cm. In der Realität liegt der Schatz 8,72 m von jeder Seite entfernt vergraben.

b) Mit der Funktion „ Kreis formen“ kann der Inkreis durch den Mittelpunkt W konstruiert werden.

Didaktischer Kommentar

Zum Lösen der obigen Aufgaben ist der Einsatz von dynamischer Geometriesoftware nicht zwingend notwendig. Allerdings findet in der Jahrgangsstufe 7 zumeist die Einführung in die neuen Medien, wie die DGS, statt, so dass diese Aufgaben als einfache Konstruktionsaufgaben für den ersten Umgang mit dieser Technologie betrachtet werden können. Außerdem wird den Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit geboten, den speziell in der Aufgabe bearbeiteten Fall auch für andere Dreiecke nachzubilden und die Existenz des Inkreises für jedes beliebige Dreieck zu untersuchen.

Beim Einsatz der hier dargestellten Aufgaben sollte beachtet werden, dass die Formulierung der Aufgabenstellungen für eine offene Unterrichtsgestaltung zu kleinschrittig sein könnte und daher eher dem Anspruch eines etwas geschlosseneren Rahmen genügen.

In den Kernlehrplänen wird die Behandlung des Inkreises nicht gefordert. Dennoch können unter diesem Aspekt prozessbezogene Kompetenzen, wie der Einsatz von Werkzeugen (DGS) oder inhaltsbezogene Kompetenzen, im Bereich Geometrie geschult werden.

Quellen

  • Genoveva-Gymnasium Köln und Gymnasium Odenthal, Material zum Mathematikunterricht; Link: www.go-mathe.de/dateien
  • Regierungspräsidium Stuttgart, Achim Olpp, Markus Vogel, Weiterentwicklung der "Unterrichtskultur im Fach Mathematik, „Aufgaben, die weitergehen“ - Impulse für den Mathematikunterricht"; Link: www.rps-schule.de/ghrs/archiv/NeueAufgaben.pdf
  • Schroedel, Neue Wege 7
  • Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen Mathematik, Hrsg. Ministerium für Schule und Weiterbildung der Landes Nordrhein-Westfalen, Ritterbach Verlage, Ferchen, 1. Auflage 2007