Maschinen zur Multiplikation von Zahlen

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Heute können wir von Taschenrechnern Rechnungen durchführen lassen. Doch wie war das vor der Zeit der Taschenrechner?

Auch damals gab es Hilfsmittel. Eines davon waren die Multiplizierstäbe von Genaille und Lucas, die 1885 entwickelt wurden.

Das auf dieser Seite vorgestellte Programm soll die Schülerinnen und Schüler (SuS) zum einen in die Verwendung dieser Multiplizierstäbe einführen, sie zum anderen aber auch dazu führen, die Funktionsweise dahinter handlungsorientiert zu entdecken.

Inhaltsverzeichnis

Die Multiplizierstäbe von Genaille und Lucas

Bevor man mit Hilfe der Multiplizierstäbe multipliziert, muss man sich diese zurechtlegen. Ganz links liegt der Indexstab, rechts daneben die Stäbe, deren obere Ziffern den zweiten Faktor bilden. Der erste Faktor steht auf dem Indexstab. Dieser Faktor bestimmt die Zeile, mit der man arbeitet.

Beispiel: Man möchte das Produkt von 6\cdot 4163 bestimmen.

Dafür legt man sich den Indexstab ganz links hin. Rechts daneben legt man dann - man beachte die Reihenfolge - die weiteren Stäbe.

Stabnah.jpg

Das Produkt kann nun abgelesen werden, indem bei dem ganz rechts liegenden Multiplizierstab (für das Beispiel: 3) begonnen wird. Betrachtet wird die Zeile des ersten Faktors (6). Die oben stehende Zahl (8) in dieser Zeile ist die letzte Ziffer des Ergebnisses. Von dieser Ziffer aus geht man entlang des Dreiecks in die linke Richtung. Die Zahl an der Spitze des Dreiecks liefert die vorletzte Ziffer des Ergebnisses (7). Dies führt man fort, bis man am Indexstab angelangt ist. Dort liest man die letzte Ziffer (2) ab. Das Ergebnis 24978 liegt nun vor.

Voraussetzungen

Die SuS sollen in der Lage sein schriftlich Multiplizieren zu können. Zudem sollten sie wissen, was Vielfache natürlicher Zahlen sind und wie diese ermittelt werden.

Aufgaben

Aufgabenstellung

Die Aufgabenstellung ist in folgendem Programm formuliert: Media:Programm_ueberarbeitet.tns

Die SuS sollen anhand der Aufgabe 4\cdot 23 die Multiplikation mit den Multiplizierstäben üben. Dafür dient folgende Nachbildung eines Ausschnitts der Multiplizierstäbe.

Um den Aufbau der Multiplizierstäbe zu verstehen, sollen sie die ersten Zellen der Zeile mit der 4 auf dem Indexstab nachbilden. Dies geschieht durch eine Tabellenkalkulation.

Anschließend sollen die SuS nachfolgende Aufgabe lösen, die das Anwendungsverständnis der Multiplizierstäbe überprüft.

Stift.gif   Aufgabe
  • Was fällt dir auf, wenn du deine erhaltenen Werte mit den Multiplizierstäben vergleichst?
  • Wofür stehen die Ziffern rechts neben den Dreiecken?
  • Wofür stehen die Dreiecke?
  • Warum beginnt man beim Ablesen des Ergebnisses immer bei der obersten Ziffer?

Lösung der Aufgaben

Information icon.svg Lösung

Die von den SuS erarbeiteten Werte in der Tabellenkalkulation stimmen mit den Ziffern der Reihe mit der 4 im Index überein.

Die auf den Multiplizierstäben zu sehende Ziffern sind die Ziffern, aus denen die Ergebnisse zusammengesetzt werden. Demnach sind die Multiplizierstäbe so aufgebaut, dass die obersten Ziffern in einer Zelle die letzte Ziffer des Vielfachen der links im Index stehenden Zahl ist. Darunter stehen die Endziffern der Ergebnisse die entstehen, wenn die Vielfachen um 0,1,2,… vermehrt werden.

Die Dreiecke stehen für die Zehnerüberträge. Eine Dreiecksspitze, die demnach auf die oberste Ziffer einer Zelle zeigt, drückt aus, dass kein Zehnerübertrag aus der vorherigen Multiplikation hervorgegangen ist. Dies ist zum Beispiel bei der Multiplikation von 4\cdot 2 der Fall. Multipliziert man jedoch 4\cdot 3 schriftlich, so addiert man 2+10. Demnach zeigt die Dreiecksspitze von der 2 eine Stufe tiefer.

Man beginnt damit, die Einerziffer des Ergebnisses abzulesen. Deswegen muss immer die oberste Ziffer einer Zelle abgelesen werden.


Rolle der Technologie

Der Einsatz des Taschenrechners ermöglich es, den SuS die Einträge der Multiplizierstäbe schnell zu rekonstruieren. Dabei wird die Modulo-Funktion mod(a\cdot b,c) des Taschenrechners benutzt. Was sich hinter diesem Begriff verbirgt muss den SuS nur soweit bewusst gemacht werden, dass diese wissen, dass man damit den Rest berechnen lassen kann, der bei einer Multiplikation zweier Zahlen a und b zum vorherigen Vielfachen von c besteht.

Bezug zum Lehrplan

In dem Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen für das Fach Mathematik sind Kompetenzen formuliert, die die SuS bis zum Ende der Jahrgangsstufe 6 erworben haben sollten.

Für diese Thematik gilt hierbei, dass die von den SuS der Tabellenkalkulation erzielten Ergebnisse auf die ursprüngliche Fragestellung bezogen und gedeutet werden müssen. Dies ist eine Kompetenz, die in den Lehrplänen unter Problemlösen – Reflektieren formuliert ist. Durch die Beantwortung der abschließenden Fragen wird das „Erläutern mathematischer […] Regeln und Verfahren mit eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen“ geübt, wie es unter dem Punkt Argumentieren/Kommunizieren – Verbalisieren gefordert wird.

Literatur

  • Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Hrsg.): Kernlehrplan für das Gymnasium – Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen. Mathematik. Frechen: Ritterbach Verlag GmbH, 2007.
  • Weiss, Stephan (2004): Die Multiplizierstäbe von Genaille und Lucas. (Stand 15.11.2010)