Punkte im Gitternetz

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Inhaltsverzeichnis

Einführung in das Thema

Geobrett.png

Ein reales Geobrett besteht aus einem Plastik- oder Holzbrett, in das Nägel so eingeschlagen sind, dass ein quadratisches Gitter entsteht. Mit Hilfe eines Gummibandes können die Schülerinnen und Schüler verschiedene Formen entlang der Nägel spannen. Die Formen sollen folgende Eigenschaften erfüllen:

  • Sie besitzen keinen Start- und Endpunkt, sie sind also geschlossen.
  • Sie besitzen keine Verzweigungspunkte bzw. Kreuzungen, sie sind also einfach. Die rote Form besitzt einen Verzweigungspunkt, die grüne und blaue Form sind einfach.
  • Es sind sowohl konvexe als auch konkave Formen erlaubt.

Mit dem Taschenrechner kann ein Geobrett erzeugt werden, indem die Option Gitterpunkte im Graphikmodus ausgewählt wird und die Achsen ausgeblendet werden. Bei der Wahl des Fensterausschnittes ist darauf zu achten, dass alle Gitterpunkte den gleichen Abstand besitzen, also die Skalierung der x- und y-Achse identisch ist. Sinnvoll ist die Skalierung eins. Für den Auschnitt des Fensters bietet sich die Standarteinstellung (-10 bis 10 auf der x-Achse und -6,67 bis 6,67 auf der y-Achse) an, damit Quadrate auch als solche erscheinen und nicht verzerrt sind. Als Gummiband dient die Funktion (Formen, Polygon), womit die einzelnen Gitterpunkte verbunden werden können, aber der Streckenzug immer geschlossen ist.

Der Flächeninahlt der Formen kann mit dem Taschenrechner über die Option (Messung, Fläche) bestimmt werden. Als Maßeinheit für den Flächeninhalt dient dabei das sogenannte Einheitsquadrat (grüne Form), das aus vier benachbarten Gitterpunkten besteht und den Flächeninahlt 1u² hat. Eine Zerlegung in zwei identische Dreicke liefert ein Teildreieck mit dem Flächeninahlt \frac{1}{2} \cdot u^2. Der Flächeninhalt einer beliebig, erzeugten Figur kann durch eine Zerlegung in diese bekannten Teilformen berechnet bzw. das Ergebniss aus der Messung mit dem Taschenrechner nachvollzogen werden. Die Vorraussetzung dafür, dass man mit dem Taschenrechner den Flächeninhalt messen kann ist, dass die Funktion (Formen, Polygon) verwendet wird und die Formen nicht über das Verbinden einzelner Punkte realisiert wird.

Intention

Die SuS sollen verschiedene Formen mit gleichem Flächeninahlt finden. Als Hilfestellung wird dazu angegeben, welche Anzahl an Nägeln/ Gitterpunkten die SuS nutzen dürfen. Die Anzahl der Nägel auf dem Rand einer Form wird im Folgenden mit r und die Anzahl der Nägel im Inneren mit i betitelt.

Vorkenntnisse

Die Schülerinnen und Schüler sollten über folgende Vorkenntnisse verfügen:

  • Umgang mit dem Taschenrechner
  • Kenntnis der Grundformen (Einheitsquadrat und Teildreieck) und des jeweiligen Flächeninhaltes
  • Grundverständnis der Bruchrechnung (s. Didaktischer Kommentar)

Lehrplan

Dieser Beitrag orientiert sich an dem NRW-Kernlehrplan Mathematik G8 für Gymnasien [1]. Das Thema Punkte im Gitternetz oder das Werkzeug Geobrett wird nicht explizit gefordert, aber es eignet sich zur Erarbeitung der folgenden Kompetenzen.

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

  • Geometrie
    • Zeichnen und ggf. auch Charakterisierung von grundlegenden Figuren (Rechteck, Quadrat, Dreieck, Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck, beliebige Vielecke)
    • Bestimmung des Flächeninhaltes
  • Funktionen
    • Darstellung von Beziehungen zwischen Zahlen und Größen in einer Tabelle
    • Aufstellen einer Gleichung

prozessbezogene Kompetenzen:

  • Werkzeuge
    • Nutzung eines Taschenrechners
    • Dokumentation ihrer Arbeit und ihrer Lernprozesse
  • Argumentieren/Kommunizieren
    • Erläutern mathematische Sachverhalte, Regeln mit eigenen Worten und Fachbegriffen
    • Nutzen verschiedene Arten des Begründens und Überprüfens
  • Problemlösen
    • Aufstellung von Vermutungen
    • Systematisches Probieren und Finden von Beispielen
    • Zurückführen auf Bekanntes
    • Verallgemeinerung

Aufgaben

Stift.gif   Aufgabe

Die Schwestern Hanna und Sabrina möchten das Gehege ihrer Kaninchen so umbauen, dass diese möglichst viel Platz haben. Sie haben für das neue Gehege die nebenstehenden Skizzen entworfen.

Als Maßstab ist das Einheitsquadrat eingezeichnet.

1. Für welches Gehege sollten sich die Schwestern entscheiden? Wie groß ist es? Begründe deine Antwort!

Die Anzahl der Nägel auf dem Rand einer Form wird im Folgenden mit r bezeichnet. Die Anzahl der Nägel im Inneren mit i.

2. Bestimme die Anzahl der Punkte auf dem Rand und im Inneren des Geheges und trage deine Ergebnisse in eine Tabelle ein! Trage zusätzlich den Flächeninahlt F ein!

Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe

Finde weitere Formen mit den folgenden Eigenschaften:

1. r=4 und i=0
2. r=4 und i=1
3. r=4 und i=2
4. r=6 und i=0
5. r=6 und i=1

Bestimme jeweils den Flächeninhalt! Was fällt dir auf? Ergänze deine Tabelle aus der vorherigen Aufgabe!

Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe

Finde eine Formel für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von r und i. Nutze dazu deine angefertige Tabelle.

1. Betrachte zunächst die vier Fälle mit i=0. Wie hängt der Flächeninhalt von r ab? Stelle eine Formel auf!

2. Wie musst du diese Formel verändern, wenn auch innere Punkte in der Form vorhanden sind? Stelle eine Formel auf, die auch die Fälle i  \neq 0 berücksichtigt!

Information icon.svg Lösung


Didaktischer Kommentar

Vor der Bearbeitung der Aufgaben seitens der SuS muss die Lehrkraft überlegen, mit welchen Materialien dies erfolgen soll. Die Entscheidung ist abhängig von der Lerngruppe und ist unter Berücksichtigung der Methodenvielfalt zu treffen. Es bietet sich an, dass die SuS zunächst mit einem realen Geobrett arbeiten und wichtige Eigenschaften (Abstand der Nägel, Gummiband) thematisiert werden, damit die SuS anschließend mit dem Taschenrechner ti-nspire CAS ein Geobrett simulieren können. Die erste Aufgabe stellt einen handlungsorientierten Zugang für die Arbeit mit dem Geobrett dar und erfordert, dass die SuS die Formen in Teilformen zerlegen und zu Einheitsquadraten und bekannten Teildreiecken zusammensetzten, sodass sie darüber den Flächeninhalt berechnen können. Es sollten vorher im Plenum das Einheitsquadrat und das Dreieck sowie deren Flächeninhalt thematisiert werden. Die Zerlegung der Formen kann praxisorientiert mit einem realen Geobrett erfolgen, wo die Teilformen mit weiteren Gummibändern eingeteilt werden. Für die Bearbeitung der weiteren Aufgaben bietet sich der Taschenrechner an, nachdem zuvor mögliche Schwierigkeiten für die Simulation des Geobrettes angesprochen wurden. Hiermit kann nämlich sehr einfach der Flächeninhalt gemessen werden. Außerdem ist insbesondere sinnvoll, dass die Ergebnisse (gefundene Formen) auf dem Taschenrechner abgebildet werden, damit sie gegebenenfalls in Folgestunden aufgerufen und beispielsweise klassifiziert werden können.

Bei der Aufgabenstellung wurden alle Fälle mit einer ungeraden Anzahl an Nägeln bewusst weggelassen (Flächeninhalt ist keine natürliche Zahl), weil die SuS nicht über tiefere Kenntnisse in der Bruchrechnung/Dezimalrechnung verfügen. Es wird lediglich eine vereinfachte Version der Bruchrechnung (ein halbes Quadrat) bei der Zerlegung der Figuren vorausgesetzt, die aber aus der Grundschule bekannt sein sollten. Die Aufgabenstellung (Finde verschiedene Formen mit…) fordert einen kreativen Umgang der SuS mit dem Taschenrechner und kann durch eine Formulierung (Wie viele Formen findest du ...?) einen Wettkampf unter den SuS entfachen. Es sollte darauf geachtet werden, dass sich die SuS nicht zu lange an einer Teilaufgabe aufhalten, damit sie in einer Tabelle die Ergebnisse aller Teilaufgaben festhalten, da die Ergbnisse aus der Tabelle die Grundlage für die letzte Aufgabe sind. Hier soll eine Gesetzmäßigkeit zwischen dem Flächeninhalt und der Anzahl der äußeren und inneren Nägel gefunden werden. Dies ist eine anspruchsvolle Aufgabe. Dabei ist nicht das Resultat (die Formel selbst), sondern der Weg zu der Formel für den Lerngewinn entscheidend, weil die Formel nicht lehrplanrelevant ist. Die SuS sollen somit Strategien für das Lösen von Problemen und das Aufstellen von Gesetzmäßigkeiten gewinnen. Als Hilfestellung sind die Teilaufgaben angegeben. Es ist aber denkbar, dass sich die SuS bei Bedarf durch Hilfekärtchen weitere Tipps abholen, um möglichst selbstständig die Lösung zu erarbeiten.

Literatur

Steibel, Horst: Geobrett im Unterricht, Georg Kallmeyer Verlag, Göttingen 1976.

Einzelnachweise

  1. Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 2007. Kernlehrplan für das Gymnasium – Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen. Mathematik. Frechen: Ritterbach Verlag.