Umkreis

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Umkreis (mit Euler-Gerade e)

Der Umkreismittelpunkt zählt zu den ausgezeichneten Punkten im Dreieck. Zusammen mit dem Schwerpunkt und dem Höhenschnittpunkt liegt er auf der eulerschen Geraden. Allgemein kann ein Umkreis für jedes Polygon definiert werden, das die Schnitteigenschaft der Mittelsenkrechten erfüllt. Wir wollen uns in dieser Heranführung jedoch zunächst auf das Dreieck als Figur beschränken.

Inhaltsverzeichnis

Voraussetzungen

  • Es ist hilfreich und sinnvoll, zuvor die Mittelsenkrechte als Gerade eingeführt zu haben, die in jedem Punkt denselben Abstand zu zwei Eckpunkten des Dreiecks hat.
  • Kenntnisse im Umgang mit dynamischer Geometriesoftware (DGS) wie GeoGebra oder dem TI-Nspire sind für den zweiten Lösungsweg erforderlich oder können über diese einfachen Konstruktionen eingeführt werden.

Heranführung zum Umkreis

Es soll im Folgenden ein Zweischritt vollzogen werden, der einen grundlegenden Prozess in der Entwicklung der Mathematik widerspiegelt: Zunächst wird eine leicht nachvollziehbare Implikation betrachtet. Sodann schließt sich die Frage an, ob auch die Rückrichtung sinnvoll ist.

Stift.gif   Aufgabe

Vom Kreis zum Dreieck

Material: Pappe, Schere, Zirkel, Stift und Lineal

Arbeitsauftrag: Schneide zunächst einen Kreis aus der Pappe aus und zeichne dann ein Dreieck ein, dessen Ecken auf dem Rand des Kreises liegen. Untersuche dann die Lage des Kreismittelpunkts zum Dreieck.

Gewünschte Lösung: Es ist zu erwarten, dass in der Bastelphase viele verschiedene Kreise und Dreiecke entstehen. Wurde in der Stunde zuvor die Mittelsenkrechte behandelt, so können die SuS, evtl. nach zusätzlichem Impuls ("Erinnert euch noch einmal, was wir letzte Stunde gemacht hatten"), selbstständig herausfinden, dass der Mittelpunkt des Kreises auf den Mittelsenkrechten liegt. Wenn bereits die Definition des Kreises bekannt ist, kann auch schon die Idee entstehen, dass der Mittelpunkt des Kreises von allen Ecken gleich weit entfernt ist. Wurde der Kreis noch nicht so definiert, bietet sich dies im Anschluss an die Konstruktion des Umkreises an; etwa durch drehen des eingezeichneten Dreiecks in DGS.

Und wieder zurück?

Material: Zirkel, Lineal und Stift und/oder DGS

Fragestellung: Wenn ich in jeden Kreis ein Dreieck so [wie oben] einzeichnen kann, kann ich auch zu jedem Dreieck einen Kreis konstruieren?

Information icon.svg Lösung


Schülerlösungen mit Hilfe von DGS könnten etwa so aussehen (siehe auch Miniatur oben):


Stift.gif   Aufgabe

Das neue Café

Blick über Gamla Stan

In der schwedischen Hauptstadt Stockholm gibt es neben vielen Museen hauptsächlich drei Ziele, die jeder Tourist besucht haben sollte: das königliche Schloss in Gamla Stan, das Vasa-Museum mit dem geborgenen Wrack eines alten Kriegsschiffs und der Skärengarten, eine Anhäufung kleiner Inseln in der Ostsee. Die Orte findet ihr unten im Stadtplan markiert.
Die Kette Moonbucks möchte ein neues Café in der Hauptstadt der Kaffee-vernarrten Schweden eröffnen und hat euch als Berater engagiert. Um möglichst viel Kundschaft zu ziehen, haben sie die Idee, ihr neues Café in möglichst gleichem Abstand zu allen drei touristischen Hauptattraktionen zu bauen.


Könnt ihr diesen Ort für Moonbucks ausfindig machen? Holt euch dafür drei Nadeln und zwei Fäden und markiert zunächst die Standorte und ihre Verbindungen via Luftlinie. Versucht nun den Punkt zu konstruieren, der von allen drei Zielen denselben Abstand hat (Tipp: aus dem zweiten Faden lässt sich ein provisorischer Zirkel bauen).

Stadtplan von Stockholm
  • Haltet ihr den gefundenen Standort auch für sinnvoll?
  • In einem Customer-Panel wurde festgestellt, dass sich die Hauptzielgruppe der Jugendlichen lieber in dem modernen Shopping-Viertel um Sergels Torg aufhält als in den Skären vor Stockholm. Wie verändert sich die "optimale" Lage des neuen Cafés, wenn man dieser Erkenntnis bei der Planung vorrang gibt?
  • Wovon machen globale Unternehmen heute sonst noch die Lage ihrer Filialen abhängig? Sucht und diskutiert weitere Faktoren, die bei solchen Entscheidungen berücksichtigt werden.


Erweiterung: Eine andere, dynamischere Möglichkeit zur Bearbeitung obiger Aufgabe bietet die Option "Bild einfügen" in GeoGebra, wodurch man den Stadtplan direkt als Hintergrund in das Geometriefenster importieren kann, um darauf zu konstruieren.

Didaktischer Kommentar / Rolle der Technologie

Die Vorteile der Technologie, nämlich dynamischer Geometriesoftware, sind in diesem Bereich des Mathematikunterrichts evident. Wenn auch nicht zwingend erforderlich zum Bearbeiten der oben beschriebenen Aufgaben, so bietet sich der Einsatz doch an. Mit Hilfe der Software ist es möglich dynamische Figuren zu konstruieren, die durch Vielfalt Allgemeingültigkeit implizieren können. Wenn es auch schwierig, oder in universitären Kreisen verpöhnt, ist, mittels Zeichnungen exakte Beweise zu führen, so ist es für den normalen Mathematikunterricht der Sekundarstufe I wohl angemessen, bei den Schülern die Ideen und die Faszination der Allgemeingültigkeit mathematischer Grundsätze zu wecken und für sie erlebbar zu machen.

Im Kernlehrplan gehört der vorliegende Ansatz inhaltlich zum Kompetenzbereich Geometrie ( Mebeling geokomp.gif ). Prozessbezogene Kompetenzen, die in diesem Bereich erworben werden können, sind in erster Linie der Umgang mit dem Werkzeug ( Mebeling werkkomp.gif ) DGS, ferner können darauf argumentative Strukturen ( Mebeling kommkomp.gif ) aufbauen und die Kommunikation der Vermutungen und Ergebnisse in mathematischen Fachbegriffen eingeübt werden.

Links und Literatur