Explorieren von Zusammenhängen

Mit den folgenden Aufgaben sollen Schüler_innen einfache Zusammenhänge bzw. Abhängigkeiten zwischen Zahlen mit Hilfe von Tabellenkalkulation systematisch durch Probiern explorieren. Da für Schüler_innen der Klasse 8 die gängige Termdastellung solcher Probleme nicht sofort sichtbar erscheint, bereitet das Arbeiten mit Listen auf diese Termdarstellung vor.

Aufgaben

Aufgabe 1 Untersuche die nachfolgende Behauptung: „Die Summe zweier beliebiger aufeinanderfolgender ungerader natürliche Zahlen ist immer durch vier teilbar.“ a) Zeige zunächst mit Hilfe deines GTR, dass die Aussage sinnvoll ist, indem du zehn selbstgewählte Beispiele überprüfst. b) Beweise die Aussage anschließend, indem du eine geeignete Termdarstellung ... c) ... oder ein geeignete bildliche Darstellung benutzt.

Hinweis anzeigen

Hinweis verstecken

Für die Arbeit mit dem GTR bietet es sich an, in den Listen zu arbeiten. In L1 kannst du deine erste ungerade Zahl frei wählen. Der GTR berechnet dann in L2 die jeweils nachfolgende ungerade Zahl und prüft anschließend, ob die Summe durch vier teilbar ist.

Lösung Lösung a anzeigen Lösung a verstecken Benutze Lists&Spreadsheats: In der ersten Spalte ist eine beliebige (ungerade) Zahl dargestellt. Die zweite Spalte gibt dann die nachfolgende (ungerade) Zahl an. In der dritten Spallte werden die beiden Zahlen aufsummiert, um dann in der vierten Spalte durch 4 geteilt zu werden. Eine ganze Zahl in der vierten Spalte bedeutet, dass die Summe durch 4 teilbar ist. Lösung b anzeigen Lösung b verstecken $(2 \cdot n-1)+(2 \cdot n+1) = 4 \cdot n$ Dabei ist $n$ eine beliebige Zahl. Lösung c anzeigen Lösung c verstecken Denkt euch mal was aus! :-P

Aufgabe 2 Untersuche die nachfolgende Behauptung: "Es gibt genau zwei ganze Zahlen, deren Quadrat genauso groß ist wie das Neunfache der Zahlen vermindert um 14." Löse die Aufgabe, indem du mit deinem GTR zunächst systematisch probierst. Begründe anschließend, warum sich aus den benutzten Termen die Behauptung ergibt.

Hinweis anzeigen

Hinweis verstecken

Für die Arbeit mit deinem GTR bietet es sich an, in den Listen und im Plot die beiden Bedingungen zu untersuchen und zu vergleichen.

Lösung Lösung anzeigen Lösung verstecken Benutze Lists&Spreadsheats: In der zweiten Spalte wird zur ganzen Zahl aus Spalte A das Quadrat gebildet. Spalte C berechnet das "Neunfache vermindert um 14" und Spalte D vergleicht Quadrat und "9faches-14". Ist die Differenz in der zweiten Spalte null, so erfüllt die Zahl die Bedingung. Benutze Data&Statistics: Trage die Differenz aus der vierten Spalte gegen die ganzen Zahlen (Spalte A) auf. Die Nullstellen des Graphen gegen die Lösungen an. Somit sind 2 und 7 die ganzen Zahlen, die die obige Bedingung erfüllen.

Kompetenzerwartungen

Prozessbezogene Kompetenzen

• Explorieren:
  • Abhängigkeiten
  • systematisches Probieren zur Vorbereitung eines allgemeingültigen Beweises
• Untersuchen von Zahlen und Figuren
• Anwendung von Schleifen und Listen
• Präsentieren durch die graphische Darstellung der Ergebnisse

Inhaltsbezogene Kompetenzen

• Systematische Analyse von Beispielen mit Tabellenkalkulation
• erkennen von Abhängigkeiten und Zusammenhängen

Didaktischer Kommentar

Da eine vollständige algebraische Termlösung für Schüler_innen der Klasse 7/8 noch nicht möglich sind, kann mit Hilfe von Tabellenkalkulation schrittweise ein solcher Lösungsterm entwickelt werden. Daber können Vermutungen mit Hilfe des GTR schnell überprüft werden, aber es können ebenfalls Rückschlüsse durch Ausprobieren gelingen. Durch graphische Veranschaulichung gelingt es, eine brauchbare und tragbare lösung zu entwickeln.

Chancen:

• geht schnell
• Tabellenkalkulation vereinfacht ausprobieren

Probleme:

• algebraische Darstellung von ungeraden Zahlen muss für Termdarstellung bekannt sein (2n+1)

Quelle

Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen, 2009. [1] , 30.01.13