Parabeln stehen Modell

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Einführung

Quadratische Funktionen und ihre Graphen, die Parabeln, kommen für die Schülerinnen und Schüler erfahrbar in ihrem Alltag vor. Sämtliche Wurf- und Sprungbewegungen aus dem Sportunterricht folgen dem Weg-Zeit-Gesetz einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus der Physik. Auch in der Architektur finden sich parabelförmige Elemente, zum Beispiel in Kirchenbögen oder Brücken. Daher bietet es sich an, dies für (taschenrechnergestützte) Modellierungsprozesse im Mathematikunterricht zu nutzen.

Fachlicher Hintergrund

Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades der Form  f (x)=ax^2+bx+c mit  x \in \mathbb{R} und den Parametern a,b,c \in \mathbb{R}  mit a \neq  Null wird auch quadratische Funktion genannt. Der Graph dieser Funktion heißt Parabel.

Die Parameter a,b,c beeinflussen die Form der Parabel:

a>0 Parabel nach oben geöffnet
a<0 Parabel nach unten geöffnet
a|>1 Parabel gestreckt
a|<1 Parabel gestaucht
b Verschiebung in beide Achsenrichtungen
c Verscheibung auf der y-Achse

Wichtige Punkte

Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ist der Extrempunkt. Anhand der so genannten Scheitelpunkform kann man die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt ablesen. Sie hat die Gestalt:  f (x)=a(x-x_s)^2+y_s Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(x_s|y_s).

Brennpunkt

Der Brennpunkt spielt in der Regel im Mathematikunterricht eine untergeordnete Rolle. Die Eigenschaften des Brennpunktes werden aber beispielsweise bei Parabolspiegeln und -scheinwerfern genutzt.
Zur y-Achse parallel einfallenden Strahlen werden an der Parabel so abgelenkt, dass sie alle durch einen einzigen Punkt, den Brennpunkt verlaufen.

Schnittpunkt mit der x-Achse: Nullstellen

Eine quadratische Funktion kann entweder zwei, eine doppelte oder keine Nullstelle aufweisen.
Man erhält sie durch die Lösung der quadratischen Gleichung  ax^2+bx+c =0 .


Kompetenzen

Alle Informationen zu den Kompetenzen stammen aus dem Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen, der von dem Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen herausgegeben wird. Im Folgenden werden nur diejenigen Kompetenzerwartungen für Schülerinnen und Schüler nach Beendigung der neunten Klasse herausgegriffen, welche sich auf den nachstehenden Aufgabentyp beziehen.

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Funktionen - Beziehungen und Veränderung beschreiben und erkunden

Schülerinnen und Schüler:

  • stellen lineare und quadratische Funktionen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, Graphen und in Termen dar, wechseln zwischen diesen Darstellungen und benennen ihre Vor- und Nachteile
  • wenden lineare und quadratische Funktionen zur Lösung außer- und innermathematischer Problemstellungen an

Prozessbezogene Kompetenzen:

Argumentieren/Kommunizieren - kommunizieren, präsentieren und argumentieren

Schülerinnen und Schüler:

  • überprüfen und bewerten Problembearbeitungen

Problemlösen - Probleme erfassen, erkunden und lösen

Schülerinnen und Schüler:

  • zerlegen Probleme in Teilprobleme
  • vergleichen Lösungswege und Problemlösestrategien und bewerten sie

Modellieren - Modelle erstellen und nutzen

Schülerinnen und Schüler:

  • übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle (Tabellen, Graphen, Terme)
  • überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell

Werkzeuge - Medien und Werkzeuge verwenden

Schülerinnen und Schüler:

  • wählen ein geeignetes Werkzeug aus und nutzen es (u.a. Taschenrechner, Tabellenkalkulation, Funktionenplotter)


Aufgabe

Bild1 Brücke.jpg

Beim Bau einer Bogenbrücke wird von beiden Talseiten begonnen. Nach etwa 15m lässt der Bauleiter die bereits erbauten Brückenstücke ausmessen, da er Zweifel an der Herstellergenauigkeit bekommen hat. Die Ergebnisse der Messung befinden sich in der folgenden Tabelle:

Bild2 Tabelle.jpg

Arbeitsanweisungen

a) Stelle die Messwerte graphisch dar und zeichne die Problematik.
b) Es soll eine Korrektur der Baurichtungen vorgenommen werden, damit der geplante Scheitelpunkt S(70|30) durchlaufen wird. Bestimme eine geeignete Funktion.


Information icon.svg Lösung



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