Parabeln stehen Modell

Einführung

Quadratische Funktionen und ihre Graphen, die Parabeln, kommen für die Schülerinnen und Schüler erfahrbar in ihrem Alltag vor. Sämtliche Wurf- und Sprungbewegungen aus dem Sportunterricht folgen dem Weg-Zeit-Gesetz einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus der Physik. Auch in der Architektur finden sich parabelförmige Elemente, zum Beispiel in Kirchenbögen oder Brücken. Daher bietet es sich an, dies für (taschenrechnergestützte) Modellierungsprozesse im Mathematikunterricht zu nutzen.

Fachlicher Hintergrund

Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades der Form $f (x)=ax^2+bx+c$ mit $x \in \mathbb{R}$ und den Parametern a,b,c $\in \mathbb{R} mit a \neq Null$ wird auch quadratische Funktion genannt. Der Graph dieser Funktion heißt Parabel.

Die Parameter a,b,c beeinflussen die Form der Parabel:

a>0	Parabel nach oben geöffnet
a<0	Parabel nach unten geöffnet
a|>1	Parabel gestreckt
a|<1	Parabel gestaucht
b	Verschiebung in beide Achsenrichtungen
c	Verscheibung auf der y-Achse

Wichtige Punkte

Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ist der Extrempunkt. Anhand der so genannten Scheitelpunkform kann man die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt ablesen. Sie hat die Gestalt: $f (x)=a(x-x_s)^2+y_s$ Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(x_s|y_s)$.

Brennpunkt

Der Brennpunkt spielt in der Regel im Mathematikunterricht eine untergeordnete Rolle. Die Eigenschaften des Brennpunktes werden aber beispielsweise bei Parabolspiegeln und -scheinwerfern genutzt.
Zur y-Achse parallel einfallenden Strahlen werden an der Parabel so abgelenkt, dass sie alle durch einen einzigen Punkt, den Brennpunkt verlaufen.

Schnittpunkt mit der x-Achse: Nullstellen

Eine quadratische Funktion kann entweder zwei, eine doppelte oder keine Nullstelle aufweisen.
Man erhält sie durch die Lösung der quadratischen Gleichung $ax^2+bx+c =0$ .

Kompetenzen

Alle Informationen zu den Kompetenzen stammen aus dem Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen, der von dem Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen herausgegeben wird. Im Folgenden werden nur diejenigen Kompetenzerwartungen für Schülerinnen und Schüler nach Beendigung der neunten Klasse herausgegriffen, welche sich auf den nachstehenden Aufgabentyp beziehen.

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Funktionen - Beziehungen und Veränderung beschreiben und erkunden

Schülerinnen und Schüler:

• stellen lineare und quadratische Funktionen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, Graphen und in Termen dar, wechseln zwischen diesen Darstellungen und benennen ihre Vor- und Nachteile
• wenden lineare und quadratische Funktionen zur Lösung außer- und innermathematischer Problemstellungen an

Prozessbezogene Kompetenzen:

Argumentieren/Kommunizieren - kommunizieren, präsentieren und argumentieren

Schülerinnen und Schüler:

• überprüfen und bewerten Problembearbeitungen

Problemlösen - Probleme erfassen, erkunden und lösen

Schülerinnen und Schüler:

• zerlegen Probleme in Teilprobleme
• vergleichen Lösungswege und Problemlösestrategien und bewerten sie

Modellieren - Modelle erstellen und nutzen

Schülerinnen und Schüler:

• übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle (Tabellen, Graphen, Terme)
• überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell

Werkzeuge - Medien und Werkzeuge verwenden

Schülerinnen und Schüler:

• wählen ein geeignetes Werkzeug aus und nutzen es (u.a. Taschenrechner, Tabellenkalkulation, Funktionenplotter)

Aufgabe

Beim Bau einer Bogenbrücke wird von beiden Talseiten begonnen. Nach etwa 15m lässt der Bauleiter die bereits erbauten Brückenstücke ausmessen, da er Zweifel an der Herstellergenauigkeit bekommen hat. Die Ergebnisse der Messung befinden sich in der folgenden Tabelle:

Arbeitsanweisungen

a) Stelle die Messwerte graphisch dar und zeichne die Problematik.
b) Es soll eine Korrektur der Baurichtungen vorgenommen werden, damit der geplante Scheitelpunkt S(70|30) durchlaufen wird. Bestimme eine geeignete Funktion.

Lösung Lösung anzeigen Lösung verstecken a) Wähle zunächst die Applikation Lists & Spreadsheets aus und trage die Wertepaare ein. Öffne nun im Hauptmenü die Applikation Graphs. Wähle im Menü den Grafiktyp Streudiagramm und trage als x-Variable die Länge vom Ursprung in m und als y-Variable die Höhe der Bauteile in m ein. Nun müssen die Funktionsgleichungen für die beiden Parabelarme ermittelt werden. Dazu wählt man im Menü Calculator. Unter dem Menüpunkt 3: Algebra wählt man zunächst Funktion Gleichungssystem lösen. Es handelt sich um ein System mit drei Gleichungen und drei Variablen. Dasselbe wird für den zweiten Parabelarm wiederholt. Ergebnisse: $f_l (x)=-0,0121x^2+1,694x-29,04$ $f_r (x)=-0,0119x^2+1,666x-28,56$ Man stellt fest, dass die beiden Funktionsgleichungen nicht übereinstimmen. Um das Problem zu veranschaulichen werden die ermittelten Parabelfunktionen in Graphs gezeichnet. Dort können auch Extrempunkt und Nullstellen ermittelt werden. Dazu wählt man im Menü 6: Graph analysieren die gewünschten Aktionen aus. Man stellt hier nun fest, dass sich im Maximum der Parabeln ein Höhenunterschied von 50cm ergibt. Alternativ besteht auch die Möglichkeit die Funktionsgleichung durch eine quadratische Regression zu bestimmen. Dazu wählt man in Lists & Spreadsheets in der Werkzeugpalette den Menüpunkt 4: Statistik im Unterpunkt 1:Statistische Berechnung die Aktion 6: Quadratische Regression aus. Im nun erscheinenden Fenster werden zunächst die x- und y-Spalte eingetragen und dann die Spalte in welcher das Ergebnis erscheinen soll, ausgewählt. Weitere Analysen der Funktionen können wie oben beschrieben in Graphs ausgeführt werden. b) Um den Bauvorgang zu korrigieren und Keines der bestehenden Teile abreißen zu müssen, wird eine neue Funktionsgleichung bestimmt, nach der sich der weitere Bau richten soll. Als ein Punkt der Gleichung wird der geplante Scheitelpunkt S(70|30) in der Aufgabenstellung angegeben. Des Weiteren nutzt man sinnvollerweise die oberen Punkte der bestehenden Bauteile, also $P_1 (35|15,4275)$ und $P_2 (106|14,3276)$. Nach oben genanntem Prinzip (Gleichungssystem oder quadratische Regression) ergibt sich der neue Funktionsterm zu $f_n (x)=-0,011996x^2+1,67592x-28,5347$

Links

• Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen

• TI Unterrichtsmaterialien