Stationenlernen: Zuordnungen

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Inhaltsverzeichnis

Einführung

Es gibt viele inner- und außermathematische Situationen, in denen eine Größe in Abhängigkeit zu einer anderen Größe steht, z.B. der Bremsweg zur Geschwindigkeit eines Autos. Dahinter steht die Idee der Zuordnung: Eine Zuordnung von einer Menge A in eine Menge B liegt dann vor, wenn jedem Element aus A kein, ein oder mehrere Elemente aus B zugeordnet werden oder umgekehrt (Wittmann, 2008, S. 11).


Darstellungsformen

Häufig werden Zuordnungen in einer Wertetabelle, einem Streudiagramm oder einem Graphen dargestellt.

Wertetabelle

In einer Wertetabelle wird jedem Element der ersten Menge (Definitionsmenge) genau ein Element der zweiten Menge (Wertemenge) zugeordnet.

Beispiel
Wertetabelle Bsp Martina.jpg

Streudiagramm

In einem Streudiagramm werden je zwei einander zugeordnete Elemente der Wertetabelle durch ein Symbol (meistens durch einen Punkt) in einem Koordinatensystem dargestellt. Dabei ist das Element der Definitionsmenge der x-Wert und das Element der Wertemenge der y-Wert.


Beispiel
Streudiagramm Bsp Martina.jpg


Graph

Um eine Zuordnung graphisch darzustellen, wird eine Funktion durch die Punkte eines Streudiagramms gelegt.
Dabei ist zu beachten, dass einzelne Punkte aus der Zuordnungstabelle dann miteinander verbunden werden sollten, sofern auch die Zwischenwerte von Relevanz sind. Es gilt daher zu prüfen, ob das Verbinden der Punkte mit Strecken/Kurven sinnvoll erscheint. Die Zwischenwerte sollten dabei brauchbare Schätzwerte für die tatsächlichen Werte darstellen!
Gibt es keine Zwischenwerte, so können die einzelnen Punkte dennoch mit Strecken verbunden werden, um Veränderungen zu verdeutlichen. Es gilt aber zu beachten, dass die Zwischenwerte dann keinerlei Bedeutung für die Zuordnung implizieren.

Beispiel
Graph Bsp Martina.jpg

Kompetenzen

Alle Informationen zu den Kompetenzen stammen aus dem Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen, der von dem Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 2007 herausgegeben wurde.

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Funktionen - Beziehungen und Veränderung beschreiben und erkunden

Schülerinnen und Schüler:

  • stellen Zuordnungen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, als Grafen und in Termen dar und wechseln zwischen diesen Darstellungen (Darstellen)
  • interpretieren Grafen von Zuordnungen und Terme linearer funktionaler Zusammenhänge (Interpretieren)
  • identifizieren proportionale, antiproportionale und lineare Zuordnungen in Tabellen, Termen und Realsituationen (Anwenden)
  • wenden die Eigenschaft von proportionalen, antiproportionalen und linearen Zuordnungen sowie einfache Dreisatzverfahren zur Lösung außer- und innermathematischer Problemstellungen an (Anwenden)

Prozessbezogene Kompetenzen:

Modellieren - Modelle erstellen und nutzen

Schülerinnen und Schüler:

  • übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren)
  • überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell (Validieren)
  • ordnen einem mathematischen Modell eine passende Realsituation zu (Realisieren)

Werkzeuge - Medien und Werkzeuge verwenden

Schülerinnen und Schüler:

  • nutzen mathematische Werkzeuge (Tabellenkalkulation, Geometriesoftware, Funktionenplotter) zum Erkunden und Lösen mathematischer Probleme (Erkunden)
  • nutzen den Taschenrechner (Berechnen)
  • tragen Daten in elektronischer Form zusammen und stellen sie mithilfe einer Tabellenkalkulation dar (Darstellen)


Stationenlernen

Wie kann man einen Einstieg in das Thema "Zuordnungen" vielfältig gestalten - so vielfältig wie die Situationen, in denen uns Zuordnungen im Alltag und in der Mathematik begegnen? Statt die verschiedenen Darstellungsarten für funktionale Zusammenhänge hintereinander abzuarbeiten, soll hier eine gleichzeitige Erkundung in Form eines Stationenlernens vorgeschlagen werden.

Das Lernen an Stationen bietet Freiraum für selbstständiges und eigenverantwortliches Arbeiten. Die unterschiedlichen Lerntypen und individuellen Neigungen der Schülerinnen und Schüler kann somit entsprochen werden. Stationenlernen schafft unterschiedlichen Zugänge zum Aufnehmen, Verarbeiten, Vernetzen und Speichern neuen Wissens und kann intrinsische Motivation erzeugen.


Chancen

  • direkter Handlungsdruck wird abgebaut
  • mögliche Störungen hindern nicht den kompletten Unterricht
  • Lehrer als distanzierter Beobachter
  • individuelles Eingehen auf Einzelne
  • größerer Gestaltungsraum für produktives Arbeiten
  • SuS können Stationen mitgestalten
  • Förderung sozialer Kompetenzen
  • Arbeitstempi variabel
  • gegenseitige Bereicherung unter den SuS


Risiken

  • großer Vorbereitungsaufwand
  • Leistungsmessung schwieriger
  • Verantwortung wird abgegeben
  • Entstehung von Schwierigkeiten beim Wechsel zum Frontalunterricht
  • Leistungsdifferenzen werden noch größer


Aufgaben

Station 1

Bearbeitungszeit: 15 Minuten! Diese Zeit unbedingt einhalten!

Experimentiergeräte: Ein Beutel mit Gummiband zum Aufhängen, 5 Gewichtssteine, Maßband und ein Stift zum Markieren.

Experiment: Hängt den Beutel zunächst ohne Gewicht auf und markiert eine Nulllinie am Knoten des Gummis auf dem Maßband. Füllt nach und nach die Gewichte ein und markiert jedes Mal die Höhe der Knoten.

Untersuche die Zuordnung: Anzahl der Gewichte --> Ausdehnung des Gummibandes in cm.


Aufgaben

a) Lege eine Tabelle an.
b) Zeichne den Graphen der Zuordnung.


Information icon.svg Lösung

a) Wähle zunächt die Applikation Lists & Spreadsheets aus. Fasse dort die ermittelten Werte in einer Wertetabelle zusammen.

b) Öffne nun im Hauptmenü die Applikation Graphs. Wähle im Menü den Grafiktyp Streudiagramm und trage als x-Variable die Anzahl der Gewichte und als y-Variable die Länge des Gummibands in cm ein .

Zeichne nun den Graphen der Zuordnung, indem du im Menü den Grafiktypen Funktion auswählst und für f1(x) eine Funktion eingibst, die dem Verlauf des Streudiagramms ungefähr entspricht.


Station 2

Bearbeitungszeit: 15 Minuten! Diese Zeit unbedingt einhalten!


Aufgabe

Hier sollt ihr eine möglichst witzige Geschichte erzählen, die zu dem angegebenen Graphen passt.

Station 2 Bild.jpg

Station 3

Bearbeitungszeit: 15 Minuten! Diese Zeit unbedingt einhalten!

Experimentiergeräte: Zwei Glasgefäße mit unterschiedlicher Bodenfläche (Vorsicht beim Umgang mit den Gefäßen!!!), Lineal, Stoppuhr.

Experiment:
Stellt das kleinere der beiden Gefäße unter den tropfenden Wasserhahn und messt nach 20 Sekunden die Höhe des Wasserspiegels im Gefäß. Wiederholt das Experiment mit dem zweiten Gefäß.

Achtung: Die Einstellung des Wasserhahns darf während des Experiments nicht verändert werden!!


Aufgaben

a) Zeichne den Graphen der Zuordnung Zeit --> Höhe des Wasserspiegels in beiden Fällen in ein Koordinatensystem.

b) Bestimme anhand der Graphen, wie viel Mal größer die Bodenfläche des großen Gefäßes ist als die Bodenfläche des kleinen. Wie verändern sich die Graphen aus a), wenn aus dem Wasserhahn die dreifache Wassermenge in der gleichen Zeit tropft?


Information icon.svg Lösung

a) Überlege dir zunächst, wie du mit zwei gegebenen Punkten eine Funktion darstellen kannst. Zeichne die beiden gefundenen Funktionen nacheinander in ein Koordinatensystem in der Applikation Graphs ein. Dafür wählst du im Menü den Grafiktypen Funktion aus und gibst die erste gefundene Funktion ein. Dies wiederholst du mit der zweiten Funktion, die du ins selbe Koordinatensystem eingibst.

b) Um das Verhältnis der beiden Bodenflächen zu berechnen, müssen die beiden Gleichungen ins Verhältnis zueinander gesetzt werden. Dazu teilt man f1(x) durch f2(x) und erhält, dass die große Bodenfläche 1,25mal größer ist als die kleine Bodenfläche. Mit anderen Worten misst die kleine Bodenfläche 80% der großen Bodenfläche.
Wenn die dreifache Wassermenge aus dem Wasserhahn tropft, lauten die Funktionen lauten nun: f1(x)=21/40x und f2(x)=21/50x. Man erkennt, dass zwar die Steigung größer wird, aber das Verhältnis der beiden Graphen zueinander gleich bleibt.


Station 4

Bearbeitungszeit: 15 Minuten! Diese Zeit unbedingt einhalten!

Experimentiergeräte: Ein Lineal, 20-30 cm, 10 gleiche Münzen

Experiment: Das Lineal wird über eine Tischkante geschoben bis es kippt. Es werden nach und nach Münzen auf das übersthende Ende gelegt und die Kipplänge, d.h. die überstehende Länge, gemessen.


Aufgabe
Zeichne den Graphen der Zuordnung Anzahl der Münzen --> Kipplänge in cm


Information icon.svg Lösung

a) Wähle zunächt die Applikation Lists & Spreadsheets aus. Fasse dort die ermittelten Werte in einer Wertetabelle zusammen.

b) Öffne nun im Hauptmenü die Applikation Graphs. Wähle im Menü den Grafiktyp Streudiagramm und trage als x-Variable die Anzahl der Münzen und als y-Variable die Kipplänge in cm ein .

Zeichne nun den Graphen der Zuordnung, indem du im Menü den Grafiktypen Funktion auswählst und für f1(x) eine Funktion eingibst, die dem Verlauf des Streudiagramms ungefähr entspricht.

Die Funktion beschreibt eine antiproportionale Zuordnung.


Links

Literatur

  • Bauer, R. (1997): Schülergerechtes Arbeiten in der Sekundarstufe I. Lernen an Stationen. Berlin, Cornelsen.
  • Richter, K.; Schäfer, A. (2008): Weil nicht alles proportional ist... An Stationen Zuordnungen einführen. In: Mathematik lehren, 148, 2008, S. 24-26.
  • Stachniss-Carp, S. (2004) Zuordnungen. Unterrichtsmaterialien zum Einsatz eines GTR im Mathematikunterricht des Sekundarbereichs I. Münster, T3-Deutschland.
  • Wittmann, G. (2008): Elementare Funktionen und ihren Anwendungen. Heidelberg, Spektrum Akademischer Verlag.