Winkel: Kongruenz, geometrische Probleme

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Inhaltsverzeichnis

Theoretischer Hintergrund

Theorie der Winkel

Dreht man ein Gerade um einen von 180° verschiedenen Winkel, dann bilden Figur und Bildfigur zusammen eine Geradenkreuzung.

Definition
  • Die an einer Geradenkreuzung gegenüberliegenden Winkel bezeichnet man als Scheitelwinkel.
Scheitelwinkel


  • Die nebeneinander liegenden Winkel bilden ein Nebenwinkelpaar.
Nebenwinkelpaar


  • Die vier Winkel an einer Geradenkreuzung stellen einen Vollwinkel dar.
  • Schneidet eine Gerade h zwei Geraden f und g, so heißen die Winkel, die auf unterschiedlichen Seiten der schneidenden Gerade h und auf entgegengestzten Seiten der geschnittenen Geraden f und g liegen, Wechselwinkel.
Wechselwinkelpaar


  • Die Winkel, die auf derselben Seite der schneidenden Gerade h und auf entsprechenden Seiten der geschnittenen Geraden f und g liegen, sind Stufenwinkel.
Stufenwinkelpaar

Winkelsätze

Dabei unterscheidet man folgende Sätze:

Maehnrot.jpg
Merke:
Wechselwinkelsatz
Wenn zwei Geraden, die von einer dritten geschnitten werden, parallel sind, dann sind Wechselwinkel gleich groß.
Stufenwinkelsatz
Wenn zwei Geraden, die von einer dritten geschnitten werden, parallel sind, dann sind Stufenwinkel gleich groß.

Theorie der Kongruenz

Definition
  • Passen zwei Figuren genau aufeinander, so sagt man auch, sie sind kongruent bzw. deckungsgleich.

Kongruenzsätze

Maehnrot.jpg
Merke:


Kongruenzsatz sss: Stimmen zwei Dreiecke in den Längen dreier Seiten überein, so sind sie zueinander kongruent.

Kongruenzsatz sws: Stimmen zwei Dreiecke in den Längen zweier Seiten und der Größe des eingeschlossenen Winkels überein, so sind sie zueinander kongruent.

Kongruenzsatz sws


Kongruenzsatz wsw: Stimmen zwei Dreiecke in der Länge einer Seite und der Größe der beiden anliegenden Winkel überein, so sind sie zueinander kongruent.

Kongruenzsatz wsw

Hier steht s für eine Seite, w für einen Winkel.

Die Reihenfolge dieser Bezeichnungen zeigt uns auch deren Lage zueinander; z.B. bedeutet sws: einen Winkel, der umgeben von zwei Seiten ist.

In unserer Zeichnung wäre dies der Fall, wenn die Seiten c und a sowie der Winkel \beta gegeben wären.

Alternativ könnten auch Seiten b und c sowie der Winkel \alpha, oder die Seiten b und a sowie der Winkel \gamma gegeben sein.

Dreieck Benennung.svg

Konstruktion eines Dreiecks aus drei Seiten

Stift.gif   Aufgabe

Gegeben sind die drei Seitenlängen eines Dreiecks, z.B. a = 6cm, b = 10cm und c = 9cm.

  • Zeichne eine beliebige der drei Seiten mit den beiden Eckpunkten, z.B. die Seite AB mit der Länge c = 9cm.
  • Zeichne um einen Eckpunkt einen Kreis mit der Länge der angrenzenden Seite als Radius, hier also den Kreis um A mit dem Radius b = 10cm.
  • Zeichne um den anderen Eckpunkt einen Kreis mit der Länge der angrenzenden Seite als Radius, hier also den Kreis um B mit dem Radius a = 6cm.
  • Die beiden Kreise schneiden sich im gesuchten dritten Eckpunkt, hier schneiden sich die beiden Kreise im Punkt C.
  • Zeichne die beiden fehlenden Seiten, hier also die Seiten AC und BC.

Mittelsenkrechte

Ist eine Strecke gegeben, zum Beispiel eine Seite eines Dreiecks, so ist es interessant, welche Senkrechte zu dieser Strecke gerade durch den Mittelpunkt der Strecke geht. Diese Senkrechte nennt man Mittelsenkrechte.

Definition

Eine Mittelsenkrechte (oder auch Streckensymmetrale) ist die Menge aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben.

oder:

Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die eine Strecke halbiert und dabei senkrecht zu ihr verläuft.

Lehrplan

Als Vorlage für diesen Abschnitt wird auf ein schulinternes Curriculum Bezug genommen, welches an den "Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G 8) in NRW - Mathematik" angepasst ist.

Die SuS...

  • nutzen mathematische Werkzeuge zum Erkunden und lösen mathematischer Probleme (Prozessbezogene Kompetenz)
  • planen und beschreiben ihre Vorgehensweise zur Lösung eines Problems und überprüfen die Möglichkeit mehrerer Lösungen oder Lösungswege (Prozessbezogene Kompetenz)
  • wenden die Problemlösestrategien „Zurückführen auf Bekanntes“, „Spezialfälle finden“ und „Verallgemeinern“ an (Prozessbezogene Kompetenz)
  • erläutern die Arbeitsschritte bei mathematischen Verfahren mit eigenen Worten und Fachbegriffen (Prozessbezogene Kompetenz)
  • können eine DGS zur Erkundung (Mittelsenkrechte, Seiten- und Winkelhalbierende, Höhe) und Überprüfung einer Lösungsstrategie sinnvoll einsetzen (Kompetenzerwartungen bzgl. der Kenntnisse, Fähigkeiten u. Fertigkeiten und Reflexionsfähigkeit)

Handlungsorientierter Einstieg

Zielsetzung

Die Schülerinnen und Schüler sollen selbständig erarbeiten, wie man eine Mittelsenkrechte konstruiert und welche Eigenschaften sie hat.

Arbeitsauftrag

Nuvola apps edu miscellaneous.png   Unterrichtsidee

Hermine ist von Draco und seinen Freunden entführt worden und hat den folgenden Brief an Harry und Ron schreiben können:

Lieber Harry, lieber Ron.

Draco und seine Freunde haben mich entführt. Ihr müsst mich finden.

Ich weiß nicht, wo sie mich gefangen haben, aber ich weiß, dass das Versteck gleich weit von Hogwarts und der heulenden Hütte entfernt ist.

Bitte helft mir!

Hermine

Stift.gif   Aufgabe

2 Schülerinnen und Schüler stellen sich in einem ca. 2 m Abstand voneinander entfernt mit einer Wäscheleine auf. Sie stellen Hogwarts und die heulende Hütte dar. Ca. 10 der anderen Schülerinnen und Schüler haben nun die Aufgabe, sich an mögliche (unterschiedliche) Stellen des Verstecks zu stellen.

Stift.gif   Aufgabe

Ladet euch diese Datei auf euren Taschenrechner und löst die Aufgaben.Datei:Hermine-gesucht.tns

Didaktischer Kommentar

Mit der ersten Aufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler herausfinden, dass die gesuchten Punkte alle auf einer Geraden liegen. Das eigene, aktive Teilnehmen an dem Versuch, geeignete Punkte zu finden, soll ihnen helfen, das Gelernte besser zu verstehen und behalten. Mithilfe der 2. Aufgabe haben die Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit, eigenständig die Konstruktion einer Mittelsenkrechte zu erarbeiten. Dadurch fällt es ihnen nachher einfacher, zu verstehen und zu behalten, wie man sie konstruiert und was sie bedeutet.

Aufgaben zu geometrischen Problemen

Aufgabe 1 - Winkelsätze und Kongruenzen

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Geschwindigkeiten stellt man in der Physik durch Pfeile dar; Geschwindigkeiten mit verschiedenen Richtungen setzt man zusammen, indem man aus den Geschwindigkeitspfeilen Dreiecke bildet. Das nebenstehende Bild zeigt, wie die Eigengeschwindigkeit des Bootes \vec{v_e} und die Strömungsgeschwindigkeit \vec{v_w} sich zur Geschwindigkeit \vec{v_b} überlagern, die die Bewegung des Bootes über den Boden angibt. a ist der „Kompasskurs“ des Bootes.

Ein Boot hat die Eigengeschwindigkeit 14km/h , die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers beträgt 12km/h.

Überqueerung.jpg

Bestimme, welchen Kompasskurs der Kapitän steuern muss, damit das Boot das gegenüberliegende Ufer im Punkt B erreicht.

Lösung

Information icon.svg Lösung

Aufgabe 2 - Winkelsätze und Kongruenzen

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Das Passagierschiff Astor und der Schlepper Bugsier sind auf gleicher Höhe 6 Seemeilen (sm) voneinander entfernt. Die Astor steuert den Kurs 10° und hat eine Geschwindigkeit von 20 Knoten, die Bugsier den Kurs 340° und die Geschwindigkeit 22 Knoten.

Kollision.jpg

a) Bestimme, wie weit die beiden Schiffe noch von der möglichen Kollisionsstelle entfernt sind.

Maehnrot.jpg
Merke:

Steuert ein Schiff den Kurs 0°, so fährt es genau Richtung Norden, bei einem Kurs von 90° genau Richtung Osten, bei einem Kurs von 180° genau Richtung Süden und bei einem Kurs von 270° genau Richtung Westen.

b) Untersuche, ob die beiden Schiffe zusammenstoßen.

Maehnrot.jpg
Merke:

Bei einer Geschwindigkeit von einem Knoten legt ein Schiff in einer Stunde eine Seemeile zurück.

Lösung

Information icon.svg Lösung

Die Astor benötigt 33,8 Min bis zum Schnittpunkt, der Schlepper Bugsier 32,2 Min. Deshalb treffen sich die Schiffe nicht.

Aufgabe 3 - Mittelsenkrechte

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe


Boule.jpg

Die obenstehende Abbildung zeigt eine Spielsituation beim Boccia oder Boule. Die Zielkugel lag innerhalb des Dreiecks ABC, ist aber schon weggenommen worden.

a) Wo lag die Zielkugel, wenn kein Sieger ermittelt werden konnte? Lege dazu den Ursprung des Koordinatensystems an die Stelle, an der Kugel A liegt; wähle für eine Einheit 1 dm. Wie weit waren die Kugeln dann von der Zielkugel entfernt?

b) Begründe dein Vorgehen.

c) Verschiebe hiernach die verschiedenen Kugeln beliebig und arbeite so wichtige Eigenschaften der Umkreismittelpunktes heraus.

Lösung

Information icon.svg Lösung


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