Zinseszins

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Begriffsbestimmung Zinseszins

Als Zinseszins wird die Berechnung von Zinsen auf Kapital und bereits fällige Zinsen vergangener Berechnungsperioden verstanden. Das bedeutet, dass bereits fällig gewordene Zinsen zum Kapital addiert werden, so dass die Berechnungsgrundlage einer erneuten Verzinsung aus dem Anfangskapital sowie den kapitalisierten (bereits fälligen) Zinsen besteht. Während die gewöhnliche Zinsrechnung als Anwendung der Prozentrechnung eingeordnet werden kann, ist die Zinseszinsrechnung als Teilgebiet der Finanzmathematik eine wichtige Anwendung von Exponentialfunktionen.

Mathematische Grundlagen

Die Zinseszinsrechnung beschäftigt sich im Wesentlichen mit der Frage, auf welches Endkapital ein anfängliches Kapital nach insgesamt n gleich großen Zeiträumen angewachsen ist, wenn in jedem dieser Zeiträume mit einem festen Zinssatz verzinst wird.

Im Folgenden gehen wir der Einfachheit halber stets von einer jährlichen Verzinsung aus (Zeitraum=Jahr). Als bekannt vorausgesetzt werden kann die folgende Zinsformel, da Zinsrechnung bereits als Anwendung der Prozentrechnung thematisiert wurde: Z_1=K_0 \cdot \frac{p}{100}.

Dabei bezeichnet Z_1 den Zinswert für das Jahr 1, K_0 das Startkapital zum Zeitpunkt 0 sowie p den Zinssatz pro Jahr in Prozent. Das Kapital nach einem Jahr beträgt dann K_1 = K_0+Z_1 = K_0+K_0 \cdot \frac{p}{100}=K_0\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right). Das Kapital nach einem Jahr (K_1) dient nun als Anfangskapital für den zweiten Zeitraum (Jahr 2). Nun wird der Zinswert für das zweite Jahr berechnet und zum Kapital nach einem Jahr addiert, um das Kapital nach zwei Jahren zu erhalten: K_2=K_1+Z_2=K_1+K_1\cdot \frac{p}{100}=K_1\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right) = K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^2.

Durch iterative Fortsetzung dieser Methode erhält man die folgende Zinseszinsformel: K_n = K_0 \cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n mit K_0 = Startkapital, K_n = Endkapital, p = (fester) Zinssatz pro Jahr in Prozent, n = Anzahl der Jahre.

Bezug zu den Kompetenzerwartungen aus dem Kernlehrplan Mathematik (G8) [1]

Bei der Bearbeitung der folgenden Aufgabe ergeben sich verschiedene Bezüge zum geltenden Kernlehrplan für Gymnasien in Nordrhein-Westfalen:

  • Schüler wenden Zinsrechnung an (Bereich Funktionen: Beziehungen und Veränderung beschreiben und erkunden)
  • Schüler übersetzen Realsituationen in mathematische Modelle (z.B. Terme, Gleichungen, Tabellen) (Bereich Modellieren: Modelle erstellen und nutzen)
  • Schüler setzen situationsangemessen Tabellenkalkulation zum Erkunden inner- und außermathematischer Zusammenhänge ein (Bereich Werkzeuge: Medien und Werkzeuge verwenden)

Vorschlag für eine handlungsorientierte Einführung

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Obwohl Tom kein Guthaben mehr auf seinem Sparkonto hat, überzieht er es um 10 €, um sich eine Eintrittskarte für das Kino kaufen zu können. Die Geschäftsbedingungen der Bank sehen einen Zinssatz von 10 Prozent pro Jahr vor, mit dem die Schulden versehen werden. Da Tom zu faul zum Lesen von Kleingedrucktem ist, sind ihm die Geschäftsbedingungen der Bank nicht bekannt. Wir nehmen an, dass Tom keine weiteren Umbuchungen an seinem (selten genutzten) Sparkonto vornimmt.

(a) Berechne den Schuldenstand von Toms Konto nach 1,2,3,4,5 Jahren. Visualisiere die jährlichen Zinserträge der Bank jeweils durch die 1-Cent-Stücke.

(b) Ermittle mit Hilfe einer geeigneten Tabellenkalkulation, wann sich der Schuldenstand von Toms Konto verdoppelt hat.

(c) Bei einer anderen Bank, der Profit-Bank, verfährt man nach folgendem Motto: Die Schulden eines Kunden auf dem Sparkonto sollen sich schon nach drei Jahren verdoppeln. Ermittle durch systematisches Probieren mit Hilfe deiner Tabellenkalkulation, welcher Zinssatz dazu nötig ist.

Lösung

Information icon.svg Lösung


Didaktischer Kommentar

Die Aufgabe ist gedacht als Einstieg in die Zinseszinsrechnung. Es ist keinesfalls notwendig, dass die oben genannte Zinseszinsformel bereits bekannt ist. Vorausgesetzt wird aber, dass die Schüler etwas mit dem Begriff des Wachstumsfaktors (bekannt aus der (normalen) Zins- bzw. Prozentrechnung) verbinden können. Die Handlungsprodukte im Sinne der Handlungsorientierung sind in diesem Fall der Aufgabenzugang über echtes Geld sowie das eigenständige Erstellen einer Tabellenkalkulation. Sinnvoll ist die Aufgabe, weil einerseits eine gut nachvollziehbare Anwendung von Computereinsatz im Mathematikunterricht verdeutlicht wird, andererseits aber auch das Nachdenken der Schüler bei der Erstellung der Tabellenkalkulation nicht zu kurz kommt. Darüber hinaus ist die Anwendung durchaus realistisch, da viele Schüler nicht mit Geld umgehen können, wenngleich manche Annahmen zugegebenermaßen vereinfacht worden sind (so ist es bei vielen Banken für Jugendliche nicht möglich, das Konto zu überziehen). Der haptische Aufgabenzugang mit echtem Geld ist aus ethischen Gründen möglicherweise umstritten; den eher symbolischen Einsatz von 1-Cent-Stücken halte ich jedoch noch für vertretbar.

Die tns-Datei ist unter folgendem Link zu finden: Datei:Zinseszins.tns

Literatur

  1. Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 2007. Kernlehrplan für das Gymnasium – Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen. Mathematik. Frechen: Ritterbach Verlag.