Anwendungen der e-Funktion: Exponentielles Wachstum

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die e-Funktion ist in nahezu allen Teilgebieten der Mathematik und allgemein in den Naturwissenschaften wieder zu finden. In diesem Kontext ist es wichtig, dass Schüler und Schülerinnen in der Lage sind, sich mit Modellen, in denen die e-Funktion angewendet wird bzw. ein Wachstum mit ihr verglichen wird, kritisch auseinander zu setzen.

Inhaltsverzeichnis

Anwendungsaufgabe

Bevölkerungswachstum

Während für die Vergangenheit und Gegenwart reichlich Datensätze vorhanden sind, aus denen das Bevölkerungswachstum mathematisch interpretiert werden kann, ist es schon wesentlich schwieriger, für die Zukunft Aussagen zu treffen oder langfristige Prognosen bzw. Trends zu erstellen. Derartigen Voraussagen liegen in der Regel Annahmen oder Abschätzungen über künftige Ereignisse bzw. Entwicklungen mit mehr oder minder komplexen Szenarien zugrunde.

Stift.gif   Aufgabe
  1. Untersuchen Sie, ob es sich bei diesem Wachstum tatsächlich um einen Wachstum exponentieller Art handelt.
  2. Begründen Sie mögliche Abweichungen: Wieso könnte es sich nicht um ein exponentielles Wachstum handeln?
Zeit Bevölkerung (in Mrd)
[1000 v. Chr.] 0.1
[1] 0.2
[1500] 0.5
[1800] 1
[1927] 2
[1960] 3
[1974] 4
[1987] 5
[1999] 6
[2050] 8.9 Prognose
[2150] 11.5 Prognose
Information icon.svg Lösung

Im ersten Schritt öffnen Sie eine Applikation Lists & Spreadsheet.

Geben Sie dort die angegebenen Daten aus der Tabelle ein.

Lassen Sie sich nun die Daten über den "Streu-Plott" in der Applikation Graphs & Geometry ausgeben.

Lassen Sie sich nun eine e-Funktion angeben und passen Sie diese entsprechend den Punkten an.


Notwendige Voraussetzungen

Schüler und Schülerinnen

  • haben Grundkenntnisse zur e-Funktion (Formel Verhalten im Unendlichen)
  • nutzen Tabellenkalkulation, Taschenrechner und Funktionsplotter


Bezug zum Lehrplan

Die e-Funktion ist nach dem Kernlehrplan der Sekundarstufe 2 im Zusammenhang mit der Fortführung der Differenzialrechnung im Bereich Analysis, im Speziellen der Untersuchung weitere Funktionsklassen, in der 12. Jahrgangsstufe sowohl im Grund- als auch im Leistungskurs zu behandeln. Hierbei muss natürlich berücksichtigt werden, dass die Intensität der Stoffbehandlung im Grundkurs geringer ist und somit bestimmte Kompetenzen und Ideen in unterschiedlichen Umfängen gefördert werden. Dabei werden einige Bereiche besonders gefördert, wie

  • Erkenntnis von Unterschieden bei gebrochen rationalen, rationalen und anderen Funktionen,
  • die Idee des Wachstumsverhalten von Funktionen.


Dabei werden auch folgende Kompetenzen gefördert:

  • Innermathematische Vernetzung
  • Modellierung
  • Plausibilitätsbetrachtung
  • Fachsprache
  • Umgang mit mathematischen Begriffen und Symbolen

Didaktischer Kommentar

Die Kernlehrpläne für Mathematik von Nordrhein-Westfalen weisen explizit darauf hin, dass das Arbeiten mit grafikfähigen Taschenrechnern im Unterricht gewünscht ist und zur Veranschaulichung und besserem Verständnis der Schüler und Schülerinnen beiträgt.

Des Weiteren sollte man in dem Zusammenhang aber beachten, dass die Schüler und Schülerinnen trotz des Taschenrechners selber in der Lage sein sollten, Funktionen auszuwerten und zu zeichnen. Der Taschenrechner sollte hierbei lediglich später als Hilfsmittel dienen, um benötige Sachverhalte schnell darstellen und berechnen zu können, welche für das Weiterkommen im Unterricht von elementarer Bedeutung sind.

Das Problem beim Verständnis der e-Funktion ist, dass im Alltag viele Modelle (wie unter anderem Bevölkerungswachstum) damit ungenau beschrieben werden, wodurch sich Verständnisschwierigkeiten ergeben. Schülerinnen und Schüler müssen dabei allerdings den Umschwung erkennen, der von der rein mathematischen e-Funktion und ihrem Verhalten (besonders im Unendlichen) und dem Verhalten der e-Funktion in z.B. biologischen Modellen ausgeht. Hierbei sollte erkannt werden, dass es sich nicht um die typische e-Funktion handelt. Daher gibt es weitere Formeln der e-Funktion, die beeinflussende Faktoren berücksichtigen (Räuber-Beute-Beziehungen, Platzfaktoren).

Quellen