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Das Vektorprodukt ... geht das auch anschaulich?

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Inhaltsverzeichnis

Motivation

Mit Hilfe des Vektorproduktes lässt sich ein zu zwei vorgegebenen Vektoren orthogonaler Vektor bestimmen, die gemeinsam ein Rechtssystem aufspannen. Bei Abstandsberechnungen ist das Vektorprodukt ein hilfreiches Instrument. Das Vektorprodukt hat vor allem in der Physik viele Anwendungen. Im folgenden Beitrag soll eine Anwendung beispielhaft näher vorgestellt werden.

Fachlicher Hintergrund

Physikalischer Hintergrund

Eine Kraft \vec{F}, die auf ein Teilchen am Ort \vec{r} bezüglich des Ursprungs wirkt, verursacht ein Drehmoment \vec{M} (die Kraft, die die Drehbewegung bewirkt). Das Drehmoment ist ein Vektor mit Betrag |\vec{r}|* |\vec{F}|* sin(\alpha) und steht senkrecht auf \vec{r} und \vec{F}, hierbei ist \alpha der Winkel zwischen \vec{r} und \vec{F}. Folglich gilt für das Drehmoment: |\vec{M}|= |\vec{r}\times \vec{F}|=|\vec{r}| *|\vec{F}|* sin(\alpha).

Mathematischer Hintergrund

Die Schüler verfügen über grundlegende Kenntnisse von Vektoren.

Die Schüler kennen die grundlegenden Funktionen von Archimedes 3D.

Die Aufgabe kann zur Einführung der Formel |\vec{r}\times \vec{F}|=|\vec{r}|* |\vec{F}| *sin(\alpha) verwendet werden. Hierbei muss nicht zwingend die Formel zur Berechnung des Vektorproduktes \vec{r} \times \vec{F} = \begin{pmatrix} r_2 F_3 - r_3  F_2 \\ r_3  F_1 - r_1 F_3 \\ r_1 F_2 - r_2 F_1 \end{pmatrix}  bekannt sein.

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Ein Fahrradpedal ist im Abstand \vec{r} vom Mittelpunkt des Zahnrades angebracht. Stelle die Pedale (als Teilchen am Punkt \vec{r}) und die Kraft \vec{F}, die auf den Punkt wirkt, in Archimedes 3D mit Hilfe von Vektoren dar. Konstruiere die Fläche des von \vec{r} und \vec{F} aufgespannten Parallelogramms und bestimme so für verschiedene \vec{r} und \vec{F} den Betrag des Drehmomentes \vec{M}. Für welchen Winkel zwischen \vec{r} und \vec{F} gilt

(i) |\vec{M}|=0?

(ii) |\vec{M}| maximal?

Bezug zum Lehrplan

Die Behandlung des Vektorproduktes ist nach dem Lehrplan kein obligatorisches Thema. Für die Behandlung im Leistungskurs wird es jedoch explizit als ergänzendes Thema genannt, denn besonders Abstandsberechnungen lassen sich mit Hilfe des Kreuzproduktes besonders elegant lösen.

Didaktischer Kommentar

Die Behandlung des Vektorproduktes ist im Unterricht der Jahrgangsstufen 12 und 13 nicht verpflichtend, jedoch ein oft gewähltes ergänzendes Thema. Dieser Beitrag zeigt eine Anwendung des Vektorproduktes, für die das Kalkül zur Berechnung des Vektorproduktes nicht benötigt wird. Durch die Behandlung des Zusammenhangs zwischen der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten und dem Betrag des Vektorproduktes können sich die Schüler eine geometrische Vorstellung des Vektorproduktes machen. Es ist wichtig diese geometrische Vorstellung bei Schülern zu schaffen, da das Kreuzprodukt sonst zu einem sinnentleerten Kalkül wird, das die Schüler benutzen ohne zu verstehen warum.

Quellen

  1. Hans Bock, Werner Walsch: Mathematik: entdecken, verstehen, anwenden. Analytische Geometrie/ Lineare Algebra. München: R. Oldenbourg Verlag GmbH, 1994. ISBN 3-637-13027-0
  2. Ministerium für Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen: Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II – Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen, Mathematik. Frechen: Ritterbach Verlag GmbH, 1999
  3. Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure. Zweite deutsche Auflage herausgegeben von Dietrich Pelte. Berlin, Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 2007. ISBN 978-3827411648 (Pdf20.gif Vorwort zur deutschen 6. Auflage)