Die Parabel: geometrisch konstruiert

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Wie eine Parabel aussieht und wie die Funktionsvorschrift einer Parabel aussieht, ist den Schülerinnen und Schülern einer elften Klasse ziemlich gut bekannt. Es gibt aber noch eine andere Möglichkeit eine Parabel zu erstellen und zwar kann eine Parabel geometrisch konstruiert werden.

Inhaltsverzeichnis

Fachlicher Hintergrund

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, deren Abstand von einem festen Punkt F, oft Brennpunkt genannt, und einer Geraden, Leitlinie genannt, gleich lang ist.

Parabel.jpg

Voraussetzungen der Schülerinnen und Schüler

Schülerinnen und Schüler (SuS)

  • verfügen über gute geometrische Kenntnisse (Parabel, Tangente, Lot (Senkrechte), Punkte und Geraden
  • kennen quadratische Funktionen

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe
  1. Versucht nachzuvollziehen, wie die Parabeln konstruiert worden sind. Was fällt euch auf? Stellt anhand eurer Beobachtungen eine geometrische Definition der Parabel auf. Tipp: Bewegt B, L und S. (Begriffe: B heißt „Brennpunkt“ und L heißt „Leitlinie“)
  2. Im „physikalischen“ Brennpunkt eines Parabolspiegels werden die Sonnenstrahlen durch die spezielle Form des Spiegels gebündelt. Überprüft, ob der „geometrische“ Brennpunkt auch der „physikalische“ Brennpunkt ist. Geht dabei davon aus, dass die Sonnenstrahlen im Dokument 1.1 parallel zur y-Achse auf den Spiegel scheinen.
Information icon.svg Lösung 1


Zuerst wird die Datei:Parabel Seminar.tns auf die Handhelds der SuS übertragen. In dieser Datei befinden sich drei jeweils unterschiedlich konstruierte Parabeln. Wichtig ist bei den Lösungen der Aufgaben darauf zu achten, dass die Fenstereinstellung in der Applikation Graphs & Geometry immer auf Standard eingestellt ist. Durch das Experimentieren mit den Parabeln (Bewegen des Brennpunktes B und der Leitlinie L) sollen sich die SuS die geometrische Definition der Parabel herleiten.

Geometrische Definition einer Parabel: Eine Parabel besteht defintionsgemäß aus genau allen Punkten P, deren Abstand von einem festen Punkt B (Brennpunkt) und einer festen Geraden L (Leitlinie) gleich ist. Der Punkt, der in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitgerade liegt, heißt Scheitelpunkt der Parabel. Die Verbindungsgerade von Brennpunkt und Scheitel ist die einzige Symmetrieachse der Parabel.


Information icon.svg Lösung 2

Um die Aufgabe etwas zu vereinfachen, wird die Aufgabe an der Parabel gelöst, die ihren Scheitelpunkt auf dem Punkt (0/0) hat und die achsensymmetrisch zur y-Achse ist. In der vorliegenden Lösung wird zunächst angenommen, dass der „physikalische“ Brennpunkt auch der geometrische ist und dann überprüft, ob der Einfallswinkel und der Reflexionswinkel gleich groß sind. Dazu wird zuerst ein Sonnenstrahl durch einen beliebigen Punkt auf der Parabel durch eine Gerade parallel zur y-Achse dargestellt.

Anschließend wird die angenommene Reflexionsgerade durch den eben erzeugten Punkt P und den Brennpunkt B erzeugt.

Anschließend werden die Tangente der Parabel in dem Punkt P und das Lot der Tangente im Punkt P konstruiert. Falls die Tangente nicht „richtig“ angezeigt wird, muss wie oben beschrieben die Fenstereinstellung auf Standard gesetzt werden.

Jetzt können wir den Einfalls- und Reflexionswinkel messen. Da der Einfallswinkel und der Reflexionswinkel gleich groß sind, stimmen der „geometrische“ und „physikalische“ Brennpunkt überein.

Über die Konstruktion Geometrischer Ort können beliebig viele „Sonnenstrahlen“ und „Reflexionsstrahlen“ angezeigt werden.


Einordnung in die Kernlehrpläne

Die Parabel geometrisch zu konstruieren oder zu verstehen, wie eine Parabel geometrisch konstruiert werden kann, kann im Rahmen der Behandlung der Koordinatengeometrie (Einführungsphase der gymnasialen Oberstufe) behandelt werden. Besonders betont werden können dabei die folgenden zentralen Ideen:

  • „Idee des funktionalen Zusammenhangs“
  • „Idee des Messens“
  • „Idee des mathematischen Modellierens“

Dabei können insbesondere die folgenden Kompetenzen gefördert werden: Schülerinnen und Schüler

  • Argumentieren
  • Kommunizieren
  • Präsentieren

Ein wichtiges Ziel des Mathematikunterrichts ist die Begriffsbildung. Durch das Konstruieren der Parabel wird der (funktionale) Parabelbegriff um eine (geometrische) Vorstellung erweitert.

Didaktischer Kommentar

Dieses Unterrichtsbeispiel bietet den SuS die Möglichkeit, die Parabel auf eine neue, geometrische Weise zu verstehen. Der bisher bekannte Begriff „Parabel“ wird weiter ergänzt, so dass die SuS sich unter einer Parabel anschließend „mehr“ vorstellen können.

Hierbei werden ein geeignetes Einsetzen der technologischen Hilfsmittel und die kritische Auseinandersetzung mit den so gefundenen Lösungen gefördert. Wie die SuS die Aufgaben lösen, ist ihnen selbst überlassen, somit können sie den Zugang wählen, der ihnen am besten liegt.

Zunächst sollen die SuS nachvollziehen, wie eine Parabel geometrisch konstruiert werden kann und in diesem Prozess eine geometrische Definition der Parabel aufstellen. Es wäre genauso gut möglich, die Aufgabe umgekehrt zu stellen, indem die Definition angegeben wird und die SuS eine Parabel konstruieren sollen. Allerdings würde diese Aufgabe eine sehr gute Bedienung des TI-Nspire CAS und recht viel Zeit voraussetzen.

In Aufgabe 2) sollen die SuS irgendwie überprüfen, ob der geometrische Brennpunkt auch der physikalische Brennpunkt ist, in dem sich parallel einfallende Strahlen bündeln. Eine Schwierigkeit könnte bei dieser Aufgabe das Reflexionsgesetz bilden. Wenn dieses Gesetz noch nicht bekannt ist, könnten manche SuS schon beim Lesen des Gesetzes aufgeben. Andererseits bietet das Reflexionsgesetz Möglichkeiten zum fächerübergreifenden Unterricht (Physik). Vielleicht müsste man bei dieser Aufgabe noch den Tipp geben, dass die SuS mit der Tangente arbeiten sollen. An dieser Stelle liegt meiner Meinung nach die Schwierigkeit der Aufgabe.