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Einsatz eines Abstandmessers in der Analysis

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Im Folgenden ist eine fächerübergreifende Unterrichtseinheit beschrieben, welche die Verbindung zwischen Mathematik und Physik schafft. Der Zusammenhang von Ableitung, Stammfunktion und der eigentlichen Funktion stehen hier im Vordergrund. Mit Hilfe dieser Einheit soll somit verdeutlicht werden, dass Mathematik nicht nur Rechnen ist, sondern auch im Alltag Anwendung findet. Zu diesem Zweck kann der Abstandsmesser eingesetzt werden.

Inhaltsverzeichnis

Motivation

Für den TI-Nspire gibt es diverse anschließbare Sensoren. Derartige Sensoren können direkt an den Taschenrechner über USB angeschlossen werden und ermöglichen somit ein einfaches Erfassen von Messdaten, welche in einer Liste gespeichert werden können. Bei der Verwendung des Abstandsmessers werden die Zeit, die Strecke, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung in der Tabelle dargestellt. Gemessen werden hierbei allerdings nur die Zeit und die Strecke, die restlichen Daten werden rechnerisch ermittelt.

Theoretischer Hintergrund

Man benötigt nur wenige physikalische Vorkenntnisse, außer dem Zusammenhang von Strecke-Zeit-Beschleunigung. Ferner sollten gleichmäßig beschleunigte Bewegungen und ihre Beschreibung bekannt sein. Aus dem Bereich der Mathematik ist die Differentialrechnung essenziell.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Ohne Anfangsgeschwindigkeit

  • Weg - Zeit - Funktion:

s(t)=\frac{1}{2}a_0\cdot t^2

  • Geschwindigkeit - Zeit - Funktion:

v(t)=a_0\cdot t

Mit Anfangsgeschwindigkeit

  • Weg - Zeit - Funktion:

s(t)=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a_0\cdot t^2

  • Geschwindigkeit - Zeit - Funktion:

v(t)=v_0\cdot t+a_0\cdot t

Harmonische Schwingung

  • Weg - Zeit - Funktion:

s(t)=A\cdot \sin(w\cdot t+\varphi_0)

  • Geschwindigkeit - Zeit - Funktion:

v(t)=A\cdot w\cdot \cos(w\cdot t+\varphi_0)

Anwendungen

Schiefe Ebene

Um den Zusammenhang von Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung zu verdeutlichen, eignet sich das Beispiel der "Schiefen Ebene" besonders gut. Fächerübergreifendes Arbeiten steht hierbei im Vordergrund.

Hierzu verwende man eine Fallrinne, welche ein Herunterrollen der Kugel durch das Schrägstellen der Ebene ermöglicht. Am oberen Anfang der Fallrinne wird der Abstandsmesser, also gerade der CBR Sensor so aufgestellt, so dass dieser den zunehmenden Abstand der rollenden Kugel aufzeichnet. Beachte, dass der Abstand zwischen Sensor und Kugel mind. 40cm betragen sollte, da der Sensor über ein Ultraschallsignal arbeitet, welches bei zu wenig Abstand keine vernünftigen Werte aufgrund von Überlagerungen liefert.

Zu beachten ist weiter, dass vor der Messung die Einstellungen kontrolliert werden. Hierzu zählen die Anzahl der Aufnahmen, das Zeitintervall und die Art der Aufnahme. In diesem Fall eignet sich die Abhängigkeit von der Zeit (Timegraph).Gemessen wird der mit fortschreitender Zeit t immer größer werdende Abstand s(t). Ferner berechnet der TI-Nspire die Geschwindigkeit und die Beschleunigung aus den aufgenommenen Werten für den Abstand s(t).

Zu erkennen ist schließlich eine Parabel, die die Streckenzunahme in Abhängigkeit von der Zeit darstellt.

Messergebnisse Fallrinne

Federpendel

Mit Hilfe eines Abstandsmessers kann man das periodische Schwingen eines Federpendels aufnehmen. Hierzu hänge man eine Feder so auf, dass diese frei schwingen kann. Außerdem befestige man an der Feder ein Massestück, so dass sich eine schöne (nahezu ungedämpfte) Schwingung ergibt. Um ein Federpendel mit den Abstandmesser beobachten zu können, muss dieser auf den Boden gelegt werden, damit er den wechselnden Abstand aufzeichnen kann. Auch bei dem Federpendel ist es wieder wichtig, den Abstand zwischen Sensor und Masse von mindestens 40cm einzuhalten und das Zeitintervall, ebenso wie die Versuchsdauer zu kontrollieren und passend einzustellen.

Zu erkennen ist schließlich, dass es sich bei dem aufgenommenen Graphen um eine trigonometrische Funktion handelt, welche den Zusammenhang zwischen dem Abstand und der Zeit darstellt.

Messergebnisse Federpendel

Aufgaben

Stift.gif   Aufgabe

Sie haben nun die aufgenommenen Daten Datei:Versuch1.tns und Datei:Versuch2.tns in Form einer Tabelle geschickt bekommen:

  • Zeichnen Sie alle möglichen (sinnvollen) Funktionen.
  • Fitten Sie die Kurven.
  • Was können Sie erkennen?
  • Berechnen Sie die Funktionen der Steigung und die der Beschleunigung 'per Hand'.
  • Welche Unterschiede gibt es?
    • (versuch1) Sind die Ableitungsregeln zu erkennen? – Wo?
    • (versuch2) Machen hier Integrale einen Sinn? Regeln?
  • Beurteilen Sie die Aufgaben; Änderungen?

Siehe auch