Stochastische Matrizen

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Inhaltsverzeichnis

Einführung in das Thema

Stochastische Matrizen sind quadratische Matrizen, deren Elemente nicht negativ sind und bei denen entweder alle Spaltensummen (oder alle Zeilensummen) gleich 1 sind.


Mit stochastische Matrizen lassen sich diskrete, endliche Markow-Ketten erster Ordnung beschreiben. Hierbei handelt es sich um stochastische Prozesse.

Der i, j-te Eintrag der Matrix U=(u_{ij})_{ij} gibt dabei die Wahrscheinlichkeit für den Übergang von j nach i an.


Stochastische Matrizen haben die Eigenschaft, dass sie eine stationäre Verteilung besitzen:

Gegeben seien eine stochastische (m,m)-Matrix U und eine Anfangsverteilung. Weiter gebe es eine Matrix U^k (Übergangsmatrix zur k-ten Stufe), mit mindestens einer Zeile, in der alle Elemente strikt positiv sind.

  • Dann existiert eine, von der Anfangsverteilung unabhängige, Grenzverteilung v (stationäre Verteilung)
  • Diese Grenzverteilung ist die einzige Lösung des Gleichungssystems U \cdot v=v unter der Nebenbedingung v_1 + v_2 + ... + v_m = 1.
  • Außerdem gilt \underbrace{lim}_{n \rightarrow \infty}U^n=\left(v,v,...,v\right).

Einen Beweis dazu findet man zum Beispiel in Rényi, Alfréd, Wahrscheinlichkeitsrechnung, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1979.

Aufgabenstellung für die Schülerinnen und Schüler

Stift.gif   Aufgabe

1) Die Mathematiklehrerin bemüht sich stets pünktlich mit dem Unterricht zu beginnen. Ihre Schülerinnen und Schüler haben dabei folgendes festgestellt: verspätet sich die Lehrerin ein mal, so kommt sie zur nächsten Stunde mit 90% Wahrscheinlichkeit pünktlich. Ist sie pünktlich, so besteht eine Wahrscheinlichkeit von 30% dafür, daß sie sich das nächste Mal verspätet.


a) Zur letzten Stunde hatte sich die Mathematiklehrerin leider ein wenig verspätet. Wie schätzen die Schülerinnen und Schüler die Chance ein, ihre Lehrerin zur Klassenarbeit pünktlich begrüßen zu können, wenn sie vorher noch einmal (zweimal, dreimal ....) bei ihr Unterricht haben? Wie stehen die Chancen nach 10 oder 15 Tagen?


b) Kämen die Schülerinnen und Schüler zu einem anderen Ergebnis, wenn die Lehrerin zur letzten Stunde pünktlich erschienen wäre?


c) Öffne diesen Aufgabenteil erst nach der Bearbeitung von a) und b)

Die Verteilung nach mehr als 10 Tagen ändert sich offensichtlich nicht mehr. Das heißt also, dass

v_s=\begin{pmatrix}0,75 \\ 0,25\end{pmatrix} die Gleichung A\cdot v_s=v_s erfüllt. Kontrolliere dein Ergebniss durch Das Lösen eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe des solve() Befehls des TI-Nspire. Dabei belässt du v_s als unbekannten Vektor.



Stift.gif   Aufgabe

2) Lässt sich eine Aussage für das Grenzverhalten von Vektoren, deren Betrag ungleich 1 ist, treffen. Betrachte dazu das folgende Java-Applet: [Link zum Java-Applet]


Berechne dazu auch den Eigenraum zum Eigenwert 1 der im Java-Applet angegebenen Matrix. Nutze dazu den Befehl linalgcas\eigenvects(A,\lambda) im TI-Nspire, wobei A die Matrix ist und \lambda der Eigenwert.


Stochastische Matrizen als Werkzeug der Modellierung

Ein weiteres Anwendungsgebiet der stochastischen Matrizen ist die Verwendung zur Modellierung von erhaltenen Messdaten. Hierbei können Schüler ein weiteres Werkzeug zur Beschreibung Alltäglicher Ereignisse kennenlernen. In diesem Abschnitt soll dies an Hand einer Beispielaufgabe vorgestellt werden:


Stift.gif   Aufgabe

1) Auf in die Pause

Der Weg von Schülerinnen und Schülern eines Mathematikkurses (23 Schüler) vom Klassenraum (K) zum Pausenhof (P) soll mit Hilfe von stochastischen Matrizen modelliert werden. Die Schülerinnen und Schüler können entweder im Klassenraum, auf der Toilette (T) oder auf dem Pausenhof (P) aufhalten. Das Modell soll die folgende Beobachtung beschreiben:

SMTabelle.jpg

Entwickeln und testen Sie ein solches Modell. Beschreibt es die Messdaten hinreichend gut?


Der folgende Teil ist noch nicht vollendet!


Notwendige Voraussetzungen

  • Geübter Umgang mit dem TI-Nspire - insbesondere im Bezug auf Matrizen.
  • Das Konzept der Stochastischen Matrizen und die Idee der Wahrscheinlichkeit sollte bekannt sein.



Lehrplanbezug und geförderte Kompetenzen

Das Thema der stochastischen Matrizen bietet eine gute Gelegenheit um die lineare Algebra mit der Stochastik zu verknüpfen.

In den Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II - Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen von 1999 ist das Thema stochastische Matrizen eine von zwei möglichen Alternativen zum Thema Matrizen in der 12. und 13. Jahrgangstufe.


Folgende Zentrale Ideen werden in diesem Themengebiet aufgegriffen:

  • Idee des Algorithmus
  • Idee des funktionalen Zusammenhangs
  • Idee der Wahrscheinlichkeit
  • Idee des mathematischen Modellierens

Rolle der Technologie TI-Nspire CAS

Der TI-Nspire CAS tritt hier in erster Linie als Werkzeug auf, um schnell und einfach sonst langwierige Rechnungen mit verschiedenen Parametern durchführen zu können. Bei 2x2-Matrizen ist der Einsatz des TI-Nspire CAS nicht zwingend notwendig. Man könnte allerdings auch Aufgaben mit 4x4- oder 5x5-Matrizen erstellen, bei denen der Zeitaufwand für Rechnungen per Hand in keinem guten Verhältnis zum Nutzen stehen würde. Dies sieht man ebenfalls in dem Abschnitt zur Modellierung mit stochastischen Matrizen. Hier werden Themengebiete des Mathematikunterrichtes mit Matrizen verknüpft. So übernimmt der Taschenrechner die sonst langwierigen Rechnungen und hilft dem Schüler so seinen Gedankengang ohne große Unterbrechung verfolgen zu können. Der TI-Nspire wird also nicht nur zur schlichten Potenzierung von Matrizen benutzt sondern kann vielseitiger eingesetzt werden.

Mögliche Umsetzung der Lösung

1) Für diesen Stochastische Prozess betrachtet man die Zustände p für pünktlich und v für verspätet. Der stochastische Vektor hat also zum Beispiel die Form: 	\begin{pmatrix} p \\ v \end{pmatrix}


Dann sollte man sich klar machen, wie die stochastische Matrix ausieht:

Nach Aufgabenstellung liegt die Wahrscheinlichkeit für den Übergang von p nach v bei 30% und die für den Übergang von v nach p bei 90%. mit der Voraussetzung, dass die Spaltensummen einer stochastischen Matrix gleich 1 sein muss, ergibt sich für diesen Prozess die folgende stochastische Matrix:

 A=\begin{pmatrix} 0,7 & 0.9 \\ 0,3 & 0,1 \end{pmatrix}


Um nun empirisch eine stationäre Verteilung zu bestimmen, kann man  A^k \cdot \begin{pmatrix} p \\ v \end{pmatrix} für größer werdende k bestimmen.


Im nächsten Schritt kann der Eigenvektor zum Eigenwert 1 mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems gelöst werden.


Die Umsetzung mit Hilfe des TI-Nspire kann wie folgt aussehen:

Zunächst definiert man sich eine Matrix a mit dem Befehl A:= /b7 Aus den mathematischen Vorlagen kann man sich nun eine 2x2-Matrix auswählen und die Zellen ausfüllen. Genauso können Startvektoren definiert werden. Um sich Tipparbeit zu sparen kann man sich eine Funktion definieren, die A^k\cdot \begin{pmatrix} p \\ v \end{pmatrix} berechnet:

Stochastische Matrizen1.jpg


Nun wird geprüft, wie sich g1(k) verhält. Man sieht, dass sich \begin{pmatrix} 0,75 \\ 0,25 \end{pmatrix} als stationäre Verteilung einstellt.

Stochastische Matrizen2.jpg


Stochastische Matrizen3.jpg


Mi Hilfe eines zwei geteilten Bildschirms lassen sich die Entwicklungen von A^k\cdot \begin{pmatrix} p \\ v \end{pmatrix} zu zwei unterschiedlichen Startverteilungen vergleichen:

Stochastische Matrizen4.jpg


c) Der Betrag des stationären Vektors muss in dieser Aufgabe gleich 1 sein. Somit erhält man eine zusätzliche Gleichung für das Gleichungssystem.

Stochastische Matrizen5.jpg



2) Man sieht dass alle Punkte gegen einen Eigenvektor des Eigenraums zum Eigenwert 1 konvergieren.

Eig(A,1)=\left\{\mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}|\mu \in \mathbb{R}\right\}

Didaktischer Kommentar

Inwieweit der Einsatz des TI-Nspire hier sinnvoll ist, kann durchaus in Frage gestellt werden, das Rechnungen mit 2x2-Matrizen auch noch recht schnell von Hand erledigt werden können. Bei 4x4- oder 5x5-Matrizen stellt der TI-Nspire aber durchaus eine Bereicherung dar. Ich habe bewusst eine 2x2-Matrix gewählt um zu zeigen, dass diese Thema nicht zwangsläufig von dem Einsatz eines graphikfähigen Taschenrechners profitiert.

Das Java-Applet ist ein durchaus gelungenes Medium um den Grenzprozess zur stationären Verteilung zu veranschaulichen. Der Nachteil liegt in der eventuell etwas aufwendigen Art der Präsentation am Computer.