Von der lokalen Änderungsrate zur Ableitungsfunktion (2009)

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Inhaltsverzeichnis

Differenzialrechnung

Das Themengebiet Differenzialrechnung wird in den meisten Fällen über den Differenzenquotienten und dann dem Differentialquotienten eingeführt, obwohl dieser Zugang nicht immer sinnvoll ist. Unter der Tatsache, dass dieses Thema für die gesamte Oberstufe wichtig ist, sollen hier zwei weitere Zugangsmöglichkeiten gezeigt werden. Die erste Möglichkeit ist uns bereits aus dem Seminar bekannt und wird hier nochmal erläutert, die zweite Möglichkeit sollt ihr selber ausprobieren.

Erstes Beispiel

Zur Einführung der Stammfunktion hatten wir bereits dieses Verfahren verwendet. Es lässt sich genauso gut verwenden, um die Abeitung einer Funktion zu bestimmen. Hier am Beispiel der Funktion f(x)=x^3:

Zuerst fügen wir die Funktion in Graph&Geometry ein (f(x)=x^3 und ·). Dann erzeugen wir eine Senkrechte zur x-Achse (b91 und auf die Achse klicken) und lassen uns den Schnittpunkt mir den Graphen rausgeben (b63 und auf Senkrechte und Graph klicken).

Bild3.jpg

An den entstandenen Schnittpunkt legen wir eine Tangente an (b67 und auf den Graph fahren, bis "Punkt" erscheint) und lassen deren Steigung messen (b73, auf die Tangente klicken und danach die Steigung positionieren). Um uns die Steigung auf der y-Achse sichtbar zu machen benutzten wir "Massübertragung"(b98 und erst auf die Steigung (Zahl) und dann auf die y-Achse klicken).

Bild6.jpg

Durch den entstandenen Punkt legen wir eine Senkrechte zur y-Achse(b91 und wieder auf den Punkt und die y-Achse klicken) und lassen uns den Schnittpunkt mit der "alten" Tangente ausgeben (b63 und auf beide Senkrechten klicken). Um die Grafik übersichtlicher zu gestallten blenden wir beide Tangenten aus (auf die Senkrechte fahren und /b3).

Bild9.jpg

Über die Funktion "Geometrischer Ort" lassen wir uns nun die Steigung der Tangente in Abhängigkeit zum x-Wert der ersten Senkrechten ausgeben (b96 und erst auf den Punkt der esten Senkrechten mit der x-Achse klicken und dann auf den Schnittpunkt der beiden Senkrechten). Da wir die Ableitungsfunktion bestimmen wollen und die eben über "Geometrischer Ort" erstellte Funktion parabelförmig ist, legen wir zuerst f(x)=x^2 in die Grafik.

Bild11.jpg

Die Parabel verschieben wir nun so lange, bis sie auf der Funktion liegt und lesen die Ableitungsfunktion ab.

Bild12.jpg

Zweites Beispiel / Eure Aufgabe

Stift.gif   Aufgabe

Betrachte die Funktion f(x)=x^3. Ziel dieser Aufgabe ist es eine Funktion zu finden, die die Steigung dieser Funktion in jedem Punkt angibt.

Erstelle zunächst über "Automatische Datenerfassung" eine Tabelle mit vielen verschiedenen Steigungen und gib sie über Streuplot in deiner Grafik wieder.

Notwendige Voraussetzungen

Die Schülerinnen und Schüler

  • sollten gut mit dem TI-Nspire umgehen können
  • kennen den Differenzenquotient und den Begriff Steigung
  • kennen die Eigenschaften der Tangente und verschiedene Funktionen
  • haben geometrische Kenntnisse

Rolle der Technologie

Der TI-Nspire hat folgende Vorteile

  • besseres graphisches Vorstellungsvermögen
  • bessere Visualisierung
  • besseres Grundverständniss des Themas
  • Schüler müssen nicht den Raum nicht wechseln

Bezug zum Lehrplan

Im Bereich der Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen wird in der Jahrgangsstufe 11 behandelt (siehe Lehrplan NRW Mathematik für die gymnasiale Oberstufe)

  • Mittlere Änderungsrate, durchschnittliche Steigung, Sekante, Differenzenquotienten
  • Momentane Änderungsrate, lokale Steigung, Tangente, Grenzprozess des Differentialquotienten
  • Ableitung und Ableitungsfunktion, Tangentengleichung
  • Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen
  • Untersuchung ganzrationaler Funktion bzgl. Nullstellen, Symmetrie, Steigungsverhalten/Hoch- und Tiefpunkte, Krümmungsverhalten/Wendepunkte.

Desweitern wird im Lehrplan explizit darauf hingewiesen Hilfsmittel, wie etwas Tabellenkalkulation und Funktionenplotter zu verwenden, da diese Schüler in die Lage versetzten mit einfachen Vorstellungen weit reichende Erfahrungen sammeln zu können, auf denen die Begriffsbildungen der Differentialrechnung aufbauen können.

Vorschlag zur Umsetzung/Lösungsskizze

Zunächst muss die Funktion in die Grafik eingegeben werden (f(x)=x^3·).Danach wird eine Tangente an den Graphen gelegt (b67 und auf den Graphen klicken).

Beipiel2.jpg

Nun lassen wir uns vom Berührpunkt von Graphen und Tangenten die Koordinaten anzeigen (auf den Punkt fahren /b) und geben dem x-Wert dieses Punktes einen Namen (auf den Punkt fahren /b5, zum Beispiel pt für Punkt der Tangente). Da wir hier die Steigung betrachten, lassen wir uns zunächst die Steigung der Tangente angeben (b73 und auf die Tangente klicken und Steigung positionieren) und geben auch dieser einen Namen (auf die Steigung (Zahl) fahren /b5, zum Beispiel mt für Steigung der Tangente).

Beispiel4.jpg

Nun öffnen wir List & Spreadsheet und geben Spalte A und B einen Namen (zum Beispiel "Punkt" und "Steigung"). Über "Automatische Datenerfassung" könnt ihr beiden Spalten eine Variable zur Datenerfassung zuordnen (b321 und als Variable die Bezeichnung des Berührpunktes von Graphen und Tangente; das gleiche nochmal für Spalte B mit der Bezeichnung der Steigung der Tangente).

Beispiel5.jpg

Schlieslich müsst ihr den Berührpunkt von Graph und Tangente festhalten und damit über den Graphen lang fahren. Öffnet ihr nun wieder die Tabelle sollte sie voller neuer Werte sein (eure Werte weichen natürlich von denen im Bild ab, da sie davon abhängen, wie schnell man den Punkt bewegt hat).

Beispiel6.jpg

Diese Werte fügt ihr nun über "Streuplot" in eure Grafik ein (b34 und wählt als Varible x die Bezeichnung der Spalte A und als Variable die Bezeichnung der Spalte B).

Beispiel7.jpg

Da die Werte sehr parabelförmig liegen könnt ihr wieder die Funktion f(x)=x^2 erzeugen und so lange verschieben, bis sie passt.

Beispiel8.jpg

Didaktischer Kommentar

Für die Schüler ist es oft sehr schwer zu verstehen, wie man von einer Zahl (Steigung) zu einer Funktion (Ableitungsfunktion) kommt. Der typische Zugang über den Differenzenquotient und den Differentialquotient macht dieses in den meisten Fällen sogar noch schwieriger, da der kaum anschaulich ist. Im Lehrplan steht dazu, dass ein anschaulich geprägter und nicht formaler Grenzwertbegriff in der Jahrgangsstufe 11 ausreicht. Beide vorgestellten Beispiele bieten die Möglichkeit die Ableitungsfunktion einzuführen, ohne dabei den formalen Weg über den Grenzwert gehen zu müssen. Beide sind sehr anschaulich gestaltet und bieten den Schülern die Möglichkeit mit der Ableitungsfunktion vertraut zu werden.

Wenn die Schüler bereits sehr gut mit dem TI-Nspire CAS umgehen können, gibt es die Möglichkeit, den Schülern nur die Aufgabe zu stellen eine Funktion zu finden, die die Steigung unserer Funktion in jeden Punkt angibt; die Aufgabenstellung also ganz offen lassen. Die Schüler werden wahrscheinlich verschiedene Lösungen finden. Diese können dann im Unterricht besprochen und verglichen werden und bieten dadurch einen noch tiefgreiferenden Zugang zur Ableitungsfunktion. Dies ist allerdings wirklich nur möglich, wenn die Schüler schon länger mit dem TI-Nspire CAS arbeiten und schon viele Funktionen des Taschenrechners ausprobiert haben.

Außerdem sollte festgehalten werden, dass beide Wege sehr schnell zu einer Lösung kommen. Dies kann genutzt werden, um die Schüler viele verschiedene Funktionen austesten zu lassen. Die Schüler haben dadurch die Möglichkeit, Zusammenhänge zwischen der Funktion und ihrer Ableitungsfunktion zu erkennen (Ableitungsregeln).


Siehe auch