Galtonbrett

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Galton projekt 4

Das Galtonbrett, benannt nach seinem Erfinder Francis Galton, ist ein mechanisches Modell, mit dem man die Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung sehr gut veranschaulichen und erklären kann.

Inhaltsverzeichnis

Aufbau

Das Galtonbrett besteht aus einer Reihe regelmäßigen, dreiecksförmig angeordneten Hindernissen auf einem Brett. Der mathematische Aspekt und der eigentliche Sinn zeigt sich, wenn man von oben eine Kugel auf die Hindernisse fallen lässt. An jedem Hindernis entscheidet sich durch Zufall, ob die Kugel nach rechts oder links fällt. Bei jedem Hindernis gibt es also für die Kugel nur die zwei Möglichkeiten nach r=rechts oder l=links zu fallen. Die Wahrscheinlichkeit für jede Fallrichtung ist folglich je p=50%. An der Unterseite werden die Kugeln in mehreren Behältern aufgefangen.

Galtonbrett mathe

Mathematische Erklärung

Auf der Graphik kann man sehen, dass beim ersten Hindernis "A" die Hälfte aller Kugeln nach rechts, die andere Hälfte nach links fällt.Dieses Muster, dass sich die Kugeln zur Hälfte teilen, setzt sich für jede Ebene weiter fort. In unserem Modell also bis zur 10.Ebene. Am nächsten Hindernis, also dem auf der 2. Ebene, kommt nur noch die Hälfte der gesamten Kugeln an und halbiert sich erneut. Also ein Viertel der gesamten Kugeln fällt wieder nach rechts, das andere Viertel nach links. Wichtig: Wie du auf der Graphik sehen kannst, kommen zwischen den Hindernissen B und C zwei Viertel der Kugeln weiter. Das erklärt sich so: In die Lücke zwischen Hinderniss B und C fällt je ein Viertel der Kugeln von B und dazu das Viertel der Kugeln von C, zusammengerechnet also zwei Viertel der Kugeln. Eben diese zwei Viertel sind die Wahrscheinlichkeit, mit der die Kugeln diesen Weg nehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugeln also zwischen B und C fallen ist 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 = 50%.Die Warscheinlichkeit für jedes Fach lässt sich leicht errechnen, wenn man die Zahl der Ebenen und das pascalsche Dreieck kennt.In unserem Modell haben wir 10 Ebenen von Hindernissen.

   Reihe:          Zähler:                     Nenner:
     0:               1                      2^0  = 1     
     1:              1+1                     2^1  = 2         
     2:             1+2+1                    2^2  = 4        
     3:            1+3+3+1                   2^3  = 8 
     4:           1+4+6+4+1                  2^4  = 16
     5:         1+5+10+10+5+1                2^5  = 32
     6:        1+6+15+20+15+6+1              2^6  = 64
     7:       1+7+21+35+35+21+7+1            2^7  = 128 
     8:     1+8+28+56+70+56+28+8+1           2^8  = 256
     9:     1+9+36+84+126+84+36+9+1          2^9  = 512
    10: 1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1  2^10 = 1024

Die Zähler ergeben sich, wenn man die Zähler addiert, die gemeinsam in einen Zwischenraum fallen.Die Zähler enstehen aus dem Schema des pascalschen Dreieck.Die Nenner sind die Potenzen von 2. Das ist daraus zu erklären, dass sich die Warscheinlichkeit an jedem Hinderniss halbiert wird. Am Anfang steht die 1 für die vollen 100%, weil die Kugeln keine andere Wahl haben als durch den ersten Schacht auf das erste Hinderniss zu prallen. Dann wird die Warscheinlichkeit für jede Schicht halbiert --> durch 1/2 oder x2. Vereinfacht sind das die Potenzen von 2.

Beobachtungsauftrag

Lass die Kugeln durch das Modell fallen und beobachte, wie sich die Kugeln im Auffangbehälter verteilen. Was fällt dir auf? Wie erklärst du dir das?

Tipp: An der Graphik kannst du es auch schon erkennen.

Zum Aufbau

Material:

  • Glasmurmeln
  • leicht bearbeitbares Holz
  • Leisten zur Begrenzung
  • Nägel als Hindernisse

Als erstes haben wir ein Gitter auf kariertes Papier gezeichnet.Der Abstand der Parallelen muss dabei zwei mm breiter sein als der Kugeldurchmesser. Schließlich muss die Kugel gut durchpassen. Achtung ! Die Nägel, die ihr benutzt, haben auch noch einmal einen Durchmesser, der miteinberechnet werden muss. Durch Ausprobieren sind wir zu dem Schluss gekommen ,dass es mit den Winkeln 90° an der Spitze und jeweils 45° an den Seiten am besten funktioniert. Dies ist aber von der Kugel abhängig! An alle Kreuzungspunkte der Parallelen haben wir Nägel geschlagen,die als Hindernisse dienen. Achtung! Die Nägel müssen exakt und möglichst gerade eingeschlagen werden, da ansonsten die spätere Verteilung der Kugeln somit manipuliert wird. Klötze als Hindernisse verändern die Flugbahnen der Kugeln. Dafür muss ein eigenes Gitter berechnet werden. Mit den Leisten haben wir das pyramidenförmige Modell umgrenzt und Auffangbehälter für die Kugeln gebaut.