Kran

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Geschichtlicher Hintergrund

Ein Kran dient dem Heben und Bewegen schwerer Lasten. Er wird manuell oder von Motoren betrieben. Dabei kann er mehr als zwei Bewegungsrichtungen ausführen, d.h. die Last wird an einem anderen Punkt abgesetzt als sie aufgenommen wurde. Die Lasten werden horizontal und vertikal bewegt, aufwärts bzw. abwärts, nach links und nach rechts.

Die Griechen, die den Kran zum Heben und Fortbewegen schwerer Steinblöcke im 6. Jahrhundert v. Chr. erfanden, gaben der neuen Konstruktion aufgrund der Ähnlichkeit mit dem Vogel, der im Stehen mit seinem langen Hals und seinem Schnabel Ähnlichkeit mit der Hebevorrichtung aus einer senkrechten Säule und einem drehbaren, schräg aufwärts gerichteten Ausleger aufweist, den Namen Kranich (geranós). Im Mittelalter wurde aus Kranich dann die Kurzform Kran.

Die Einführung des Krans, der mit Seilwinden und Flaschenzug arbeitet, löste die Rampe als Haupthilfsmittel für den vertikalen Transport von Lasten ab. Der griechische Trispastos (3-Rollen-Zug) konnte Gewichte bis zu 150 Kg bei Einsatz eines Arbeiters und der Pentapastos (5-Rollen-Zug) Gewichte bis zu 450 Kg heben und bewegen.

Charakteristische Einkerbungen an Steinblöcken, die beim Heben mittels eines Krans entstehen, sind ab 515 v. Chr. An Steinblöcken griechischer Tempel nachgewiesen. Der erste schriftliche Beweis für einen Mehr-Rollen-Zug findet sich in dem Aristoteles (384 – 322 v. Chr.) zugeschriebenen Werk „Mechanika“. Auch im römischen Bauwesen mit seinen vielen monumentalen Bauten wie das Colosseum oder die Aquädukte und zahlreichen Tempel spielten Kräne eine wichtige Rolle. Dabei übernahmen die Römer den Kran von den Griechen und entwickelten ihn weiter. So erfanden sie im 1. Jahrhundert n. Chr. den Polyspastos - eine über 10 Meter große Maschine, an der vier Arbeiter bis zu 3000 kg anheben konnten.

Durch Abhandlungen römischer Ingenieure wie Vitruv in „De Architectura“ oder Heron von Alexandria in „Mechanica“ ist die römische Hebetechnik gut überliefert.

Nach dem Fall des weströmischen Reichs im 5. Bis 6. Jahrhundert n. Chr. Waren die römischen Tretradkrane außer Gebrauch geraten und wurden erst im Hochmittelalter wieder in großem Maßstab eingesetzt. Es wird angenommen, dass der römisch Tretradkran bei der Errichtung der hochaufragenden gotischen Kathedralen unabdingbar war. Gleichzeitig wurden aber im mittelalterlichen Bau und Hafenbetrieb auch arbeitsintensive Methoden eingesetzt.

Die heutigen Kräne sind sehr vielfältig und spezialisiert und je nach Anwendungsgebiet (meist Be- und Entladen sowie Montage und Hochbau) gibt es verschiedene Ausführungen und Bauarten.

Einschub: Flaschenzug

Kran mit Formel.PNG

Flaschenzüge setzten sich aus festen und losen Rollen zusammen.
Eine feste Rolle bewirkt durch Umlenkung des Seils eine Richtungsänderung der angreifenden Kraft, der Weg bleibt jedoch gleich. So ist die Zugkraft F_Z genauso groß wie die Gewichtskraft der Last F_L .
Ebenso gilt: s_Z \text{(Zugweg)} = s_L  \text{(Lastweg)}
Bei einer losen Rolle verteilt sich die Gewichtskraft der Last gleichmäßig auf beide Seile. Der Zugweg verdoppelt sich, jedoch wird so eine Kraftersparnis erreicht.
Es gilt:
F_Z = \frac{1} {2} F_L und  s_Z = 2s_L
Bei einem Flaschenzug kann man also die aufzuwendende Kraft reduzieren, da sich die Gewichtskraft der Last auf die Anzahl der losen Rollen verteilt. Im vorliegenden Beispiel also auf zwei Rollen.

Dies kann beliebig erweitert werden, so gilt ebenfalls: F_Z = \frac{1} {4} F_L aber  s_Z = 4s_L

Der Zugweg ist dementsprechend antiproportional zur aufzuwendenden Kraft. Wird der Zugweg verdoppelt, halbiert sich die aufzuwendende Kraft.

Turmkran

Kran allgemein.PNG

Die mathematisch einfachste Form heutiger Kräne funktioniert im Prinzip wie eine Waage. Hierbei müssen sich der linke Arm (mit der Länge l1 und mit einer Masse, die eine Kraft F1 verursacht) und der rechte Arm (jeweils mit l2 und F2) möglichst genau in einem Gleichgewicht befinden.
Es gilt:
l_1 \cdot F_1 = l_2 \cdot F_2
Da sich in beiden Formeln der Zusammenhang F_n = g \cdot m_n findet, kann man g (Erdbeschleunigung) herauskürzen, so dass man zu folgender Formel kommt:
l_1 \cdot m_1 = l_2 \cdot m_2


Kran generell.PNG


Angenommen links befindet sich das Gegengewicht und rechts das zu hebende Objekt:
In diesem Fall kann der Arm l_1 zum Beispiel um die Hälfte verkürzt werden, jedoch muss dann entsprechend der Formel das Gegengewicht m_1 in seiner Masse verdoppelt werden (die Länge ist also antiproportional zu der Gegengewichtsmasse): \frac{1} {2}l \cdot 2m = l \cdot m

Baustelle mit Kran.PNG

Konkret bedeutet dies: Wenn ein Kran mit 10t Gegengewicht 10m von seiner Hauptachse entfernt ausgestattet ist, dann kann er in 20m Entfernung 5t heben, da gilt:
10t \cdot 10m = 5t \cdot 20m

Der Kran befindet sich also wie eine Waage im Gleichgewicht.










Turmkran Hebestärke in Abhängigkeit von Entfernung

Turmkran.PNG

Die Last, die ein solcher Kran heben kann, wird durch sein Gegengewicht und dessen Entfernung von der Hauptachse bestimmt.

Bei einem einfachen Beispiel hat ein Kran in einem Abstand von 10m ein Gegengewicht von 10t.
Es gilt: l_1 \cdot m_1 = 10m \cdot 10 t

Möchte man nun wissen, wie viel Gewicht an den Haken gehängt werden darf stellt man die Gleichung l_1 \cdot m_1 = l_2 \cdot m_2 nach m_2 um:
\frac{l_1 \cdot m_1}{l_2} = m_2
Somit ergeben sich die in der Grafik angegebenen Maximallasten.






Drehkran mit 2 Lagerpunkten

Drehkran.PNG

Damit der Kran stabil steht, muss zuallererst der Kraft F_g eine Kraft entgegengesetzt werden, so dass der Kran nicht senkrecht nach unten „fällt“. Dies ist allerdings bereits durch den Erdboden gegeben (F_{By}).
Damit der Kran nun aber nicht auf dem Erdboden nach links wegrutscht, muss die Kraft F_{Bx} aufgebracht werden.


Als letztes muss das Drehmoment, dass durch den Hebel an dem Kreuzungspunkt des senkrechten und waagerechten Gestänge des Krans (l_1) durch F_g entsteht, neutralisiert werden. Dies geschieht durch ein weiteres Drehmoment, verursacht durch den Hebel zwischen Punkt A und Punkt B (l_2) durch eine Kraft F_{Ax} .


Baustelle 2.PNG

In der Praxis wirkt diese Kraft F_{Ax} meist durch eine Stangen-/Stahlseil-konstruktion an dem Hebearm, wodurch ein Gewicht am Fuß des Krans sowohl F_{Bx} als auch F_{Ax} aufbringen kann.










Gleichgewichtsbedingungen

Allgemein formuliert bedeutet dies, dass folgende Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein müssen, damit der Kran sich statisch im Gleichgewicht befindet:
I. \sum F_x = 0 = F_{Bx} + F_{Ax}
II. \sum F_y = 0 = F_{By} + F_{g}
III. \sum M_B = 0 = F_{Ax}\cdot l_2 = F_g \cdot l_1

Die erste Bedingung bedeutet, dass sich alle Kräfte in x-Richtung im Gleichgewicht befinden müssen, also 0 ergeben müssen. Die zweite Bedingung bedeutet dasselbe jedoch auf die Y-Richtung bezogen. Dass alle Drehmomente sich aufheben müssen, wird in der dritten Bedingung formuliert.


Anwendung Wanddrehkran

Noch mehr Kran.PNG

Gegeben:

a = 4m

b = 3,2m

m = 2000kg

g = 10 \frac {N}{kg}

\longrightarrow F_g = m \cdot g = 2000kg \cdot 10 \frac {N}{kg} = 20000N


Um stabil zu stehen, muss der Kran alle drei statischen Gleichgewichtsbedingungen erfüllen:
II. \sum F_y = 0 = F_{By} + F_g : F_{By} = -F_g = -2000kg \cdot 10 \frac{N}{kg} = 20000N

III. \sum M_B = 0 = F_{Ax} \cdot a: F_{Ax} = \frac {F_g \cdot b}{a} = \frac { 20000N \cdot 3,2m}{4m} = 16000N

I. \sum F_x = 0 = F_{Bx} + F_{Ax}: F_{Bx} = -F_{Ax}  = -16000N

Bau eines Kranmodells

Kranmodell.PNG

Als erstes nimmt man für das Grundgerüst Holz, da es einfach zu bearbeiten ist. Man braucht eine Holzplatte auf der der Kran stehen kann und 2 Holzbretter die das Gerüst darstellen, das erste Brett wird senkrecht auf die Platte geschraubt und das zweite horizontal auf das erste Brett. Die Bretter kann man so lang oder kurz sägen wie man den Kran bauen möchte. Wenn man das alles befestigt hat, muss man die Gewichte anbringen. Dafür muss man unten an der Platte eine Metallstange befestigen, wo man die runden Gewichte drauf stecken kann. An dieser Metallstange wird ein Seil eingehängt, welches dann durch gebohrte Löcher im oberen Brett bis zu der Stelle gehängt wird an der das Seil das Gewicht halten soll. An das Ende des Seils kommen dann wieder die ringförmigen Gewichte. Nun muss man noch schauen das die Gewichte richtig verteilt sind und der Kran ist fertig.