Lights on!

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Das "Lights on!" ist ein Exponat, welches beispielsweise im Mathematikum Gießen ausgestellt ist.

Es ist ein Denkspiel, das die Rechnung mit Vektoren in einer praktischen Anwendung visualisiert.

Inhaltsverzeichnis

Aussehen

Das Exponat beinhaltet sieben Lämpchen und Schalter, welche parallel zueinander kreisförmig angeordnet sind. Sobald man einen Schalter betätigt, ändert das dazugehörige Lämpchen, sowie das links und rechts daneben liegende, seinen Zustand von an zu aus oder umgekehrt.

Ziel des Spiels ist es alle sieben Lämpchen, mit der geringst möglichen Anzahl an Schalterbetätigungen, zeitgleich zum Leuchten zu bringen.

Mathematische Betrachtungsweise des Exponats

Um die geringst mögliche Anzahl der Schalterbetätigungen festzustellen, kann man das Exponat mit Hilfe von Vektoren darstellen.

Zur Vereinfachung, nummeriert man die Lämpchen von a bis g durch und erhält so einen 7x1 Vektor.

A bis g können nur den Zustand „ein" oder „aus" annehmen, also enthält der Vektor nur 0en und 1en.


So ergeben sich folgende Operationen:

0+0=0, 0+1=1, 1+1=0 und 1+0=1


Wenn also im Ausgangszustand beispielsweise alle Lämpchen aus sind und man den Schalter von Lämpchen a betätigt, ändern automatisch auch die danebenliegenden Lämpchen ihren Zustand (Abb.1).


\left(\begin{array}{c}0\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
0\end{array}\right)
\text{Betätigung von Schalter a:}\left(\begin{array}{c}1\\ 
1\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
1\end{array}\right)

Lämpchen a,b und g an


Wenn nun nach der Betätigung von Schalter a auch noch Schalter b gedrückt wird, ändern Lämpchen b, sowie die danebenliegenden Lämpchen ebenfalls ihren Zustand:


\left(\begin{array}{c}1\\ 
1\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
1\end{array}\right)\text{Betätigung von Schalter b:}+\left(\begin{array}{c}1\\ 
1\\ 
1\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 
0\\ 
1\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
1\end{array}\right)

Lämpchen a,b und g an                 Lämpchen c und g an   


Da Lämpchen b, sowie das danebenliegende Lämpchen a, leuchtete, ändert sich ihr Zustand und sie gehen aus. Lämpchen c brannte nicht, daher leuchtet es jetzt auf.

Die Zustände von Lämpchen g (an) und Lämpchen d,e und f (aus) bleiben unverändert, da sie sich nicht neben dem betätigten Lämpchen b befinden.


Um nun herauszufinden, wie oft man welchen Schalter betätigen muss, damit alle Lämpchen leuchten, stellt man alle möglichen Vektorsummen dar:


\left(\begin{array}{c}a\\ 
b\\ 
c\\ 
d\\ 
e\\ 
f\\ 
g\end{array}\right)+\alpha \times \left(\begin{array}{c}1\\ 
1\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
1\end{array}\right)+\beta \times \left(\begin{array}{c}1\\ 
1\\ 
1\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
0\end{array}\right)+\gamma \times \left(\begin{array}{c}0\\ 
1\\ 
1\\ 
1\\ 
0\\ 
0\\ 
0\end{array}\right)+\delta \times \left(\begin{array}{c}0\\ 
0\\ 
1\\ 
1\\ 
1\\ 
0\\ 
0\end{array}\right)+\lambda \times \left(\begin{array}{c}0\\ 
0\\ 
0\\ 
1\\ 
1\\ 
1\\ 
0\end{array}\right)+\mu \times \left(\begin{array}{c}0\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
1\\ 
1\\ 
1\end{array}\right)+\sigma \times \left(\begin{array}{c}1\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
0\\ 
1\\ 
1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 
1\\ 
1\\ 
1\\ 
1\\ 
1\\ 
1\end{array}\right)


Der 1. Vektor (a,b,c,d,e,f,g) beschreibt eine beliebige Ausgangssituation, wohingegen die 7 folgenden Vektoren die Zustände der Lämpchen zum Zeitpunkt der Betätigung des jeweiligen Schalters darstellen (α, β, γ, δ, λ, μ, σ – entsprechen entweder an = 1 oder aus = 0) und welche anderen Lämpchen dann durch das Betätigen die Information 1 oder 0 erhalten.

Der letzte Vektor beschreibt die erwünschte Endsituation, wenn alle Lämpchen des Exponats leuchten.


Man kann diesen Rechenvorgang auch in einem linearen Gleichungssystem zusammenfassen:


α
β
γ
δ
λ
μ
σ
1
+
1
+
0
+
0
+
0
+
0
+
1
=
1 – a
1
+
1
+
1
+
0
+
0
+
0
+
0
=
1 – b
0
+
1
+
1
+
1
+
0
+
0
+
0
=
1 – c
0
+
0
+
1
+
1
+
1
+
0
+
0
=
1 – d
0
+
0
+
0
+
1
+
1
+
1
+
0
=
1 – e
0
+
0
+
0
+
0
+
1
+
1
+
1
=
1 – f
1
+
0
+
0
+
0
+
0
+
1
+
1
=
1 – g


Löst man nun das Gleichungssystem auf, mit dem Ziel, dass alle Lämpchen leuchten, so erhält man folgendes Ergebnis:


α
β
γ
δ
λ
μ
σ
1
+
0
+
0
+
0
+
0
+
0
+
0
=
1 – (a+b+d+e+g)
0
+
1
+
0
+
0
+
0
+
0
+
0
=
1 – (a+b+c+e+f)
0
+
0
+
1
+
0
+
0
+
0
+
0
=
1 – (b+c+d+f+g)
0
+
0
+
0
+
1
+
0
+
0
+
0
=
1 – (a+c+d+e+g)
0
+
0
+
0
+
0
+
1
+
0
+
0
=
1 – (a+b+d+e+f)
0
+
0
+
0
+
0
+
0
+
1
+
0
=
1 – (b+c+e+f+g)
0
+
0
+
0
+
0
+
0
+
0
+
1
=
1 – (a+c+d+f+g)


Um diese allgemeine Lösung noch einmal zu verdeutlichen, soll diese einmal in einem Beispiel veranschaulicht werden:

Man nehme an, dass die Lämpchen b,d und f leuchten und alle anderen nicht (0,1,0,1,0,1,0). Damit man nun alle Lämpchen gleichzeitig einschalten kann müssen jetzt also die jeweilig bestimmten Schalter betätigt werden. Welche das sind, findet man nun folgendermaßen heraus:


Lampe A 1 – (a+b+d+e+g) = 1 – (0,1,1,0,0) = 1
Lampe B 1 – (a+b+c+e+f) = 1 – (0,1,0,0,1) = 1
Lampe C 1 – (b+c+d+f+g) = 1 – (1,0,1,1,0) = 0
Lampe D 1 – (a+c+d+e+g) = 1 – (0,0,1,0,0) = 1
Lampe E 1 – (a+b+d+e+f) = 1 – (0,1,1,0,1) = 0
Lampe F 1 – (b+c+e+f+g) = 1 – (1,0,0,1,0) = 1
Lampe G 1 – (a+c+d+f+g) = 1 – (0,0,1,1,0) = 1


Um in diesem Fall alle Lämpchen zum Leuchten zu bringen muss man also den Schalter des Lämpchen a, b, d, f, und g betätigen.

Dieses Beispiel veranschaulicht ebenfalls, dass man für die richtige Lösung keinen Schalter mehr als einmal drücken muss und damit im höchst-möglichen Fall sieben Mal ein Lämpchen bedätigen muss.

Aufbau des Exponats

Da der elektronische Aufbau des Exponats im Mathematikum nicht bekannt ist, war es nötig einen eigenen Aufbau zu entwerfen. Es ist wahrscheinlich, dass der Aufbau des Originals davon abweicht, da eine Vielzahl von Möglichkeiten existiert. Nun sei eine der Möglichkeiten, die im Rahmen des Projektes realisiert worden ist, vorgestellt.


Wechsel des Zustandes

Ausschnitt aus dem Schaltplan des „Lights on!"

Zu Beginn der Überlegungen stand man vor dem Problem, dass die Betätigung eines Tasters unterschiedliche Befehle geben muss, also je nach Situation bedeutet die Betätigung ein und desselben Tasters für ein Lämpchen mal „ein“ und mal „aus“. Hinzukommt die Schwierigkeit, dass ein Taster für drei Lämpchen zuständig ist. Also benötigt man ein Bauteil, welches eben für diesen fehlerfreien Wechsel der Zustände verantwortlich ist.

Diesen Wechsel des Zustandes übernimmt ein sogenannter IC („Integrated Circuit“) namens JK FF 74HC107, der bei richtiger Beschaltung bei jedem „Knopfdruck“ den Zustand seines Lämpchens umkehrt. Mit anderen Worten, merkt sich der IC die Zustände seiner Lämpchen („an“ oder „aus“) und sobald ein Taster von einem seiner Lämpchen betätigt wird, schaltet er sein Lämpchen, wenn es aus ist, ein und, wenn es schon brennt, wieder aus.

Das grüne Rechteck mit den Buchstaben darin stellt den IC dar. Diese Buchstaben sind die Bezeichnungen der verschiedenen Eingänge, welche für den Namen des Schaltkreises verantwortlich sind: JK FF. J und K stehen für die Eingänge und die beiden F's bedeuten „Flip Flop“. Damit der IC nun die aufgetragene Aufgabe erfüllt, setzt man die beiden Eingänge J und K auf High, das bedeutet, dass sie an den Pluspol angeschlossen werden. Der R(eset)-Eingang hingegen wird auf Low geschaltet, dies muss bedacht werden, da sonst der Ausgang Q immer unverändert auf low, also auf Masse stünde und sein Komplementär dauerhaft auf High, sodass beim Lämpchen kein Strom ankäme. Die Aufgabe des IC's ist es nun, zu togglen, sobald der dazugehörige Taster betätigt wird. Togglen bedeutet, dass der Ausgang genau in den entgegengesetzten vorausgehenden Zustand geschaltet wird. Um dies zu bezwecken wird der Eingang < über den Taster mit dem Pluspol verbunden. Da dieser Eingang der Taktgeber ist und nun jedes mal beim Betätigen des Tasters die Spannung am Eingang < ansteigt und, sobald der Taster losgelassen wird, die Spannung wieder abfällt, ist dieser Vorgang für den IC der Befehl zu Togglen und er schaltet sein Lämpchen in den gewünschten Zustand.

Entprellen des Tasters

Wenn ein Taster nicht von der Hardware aus entprellt ist, dann sieht der Spannungsverlauf leider nicht optimal, sondern eher wie in der unteren Abbildung aus.

Abb. 1

Durch diesen Spannungsverlauf ist es dem Zufall überlassen, wie oft der IC toggled. Dies ist natürlich zu verhindern und um dieses Problem zu lösen, wird zum einen ein Pull-up-Widerstand zwischen Taster und IC geschaltet, wie auch im obigen Schaltplan zu erkennen ist. Dieser Widerstand wird parallel geschaltet und mit dem Minuspol verbunden, was dafür sorgt, dass der IC geerdet ist. Außerdem ist es sinnvoll keinen Pin des IC's unbelegt zu lassen, da dieser sonst nicht richtig funktionieren könnte. Zum anderen ist es von Nöten ebenfalls parallel an den Minuspol einen Kondesator zu schalten, welcher durch seine Kapazität dafür sorgt, dass das Signal glatt und eindeutig wird, wie die folgende Abbildung visualisiert:

Abb. 2

Ein Pull-Up-Widerstand sollte meistens 1kOhm groß sein und für den dazugehörigen Kondensator sollten 100µF ausreichen.

Die lieben Nachbarn

Da jeder IC nur für sein eigenes Lämpchen zuständig ist und bei jedem Knopfdruck auch die benachbarte den Zustand wechseln sollen, muss praktisch jeder IC mit jeder Lampe verbunden sein. Da dadurch jedoch eine Kettenreaktion entstehen würde, welche nicht nur die zwei benachbarten sondern alle Lämpchen beeinflussen würde, benötigt man eine Diodenmatrix, welche eben diese Kettenreaktion verhindert.

Eine mögliche Version der Diodenmatrix ist in der unteren Abbildung dargestellt.
Abb. 3

Die Dioden verhindern, dass, sobald ein Taster gedrückt wird, der Strom an alle IC's fließen kann und so jeder Eingang auf High schaltet.

Wenn man nun beide Teile des Schaltplans kombiniert kommt man zu diesem etwas komplexeren, aber dafür vollständigen Plan:
vollständiger Schaltplan

Benötigte Materialien

  • 7 Lämpchen (Spannungsfestigkeit: 4,5 V) + dazugehörige Fassungen/oder 7 LED's (Tipp: falls irgendjemand das nachbauen will; Nehmen Sie/Nimm Du um Gotteswillen LED's! Mit LED's funktioniert das Ganze so viel leichter)
  • 7 Taster
  • 7 JK FF Typ 74HC107
  • 7 Pull-Up-Widerstände à 1kOhm + 1 weiteren (Ansichtssache)
  • 21 Dioden
  • 1 Holzplatte
  • 1 Batterie (4,5V)
  • verschiedenfarbige Kabel (zur leichteren Auseinanderhaltung)
  • Isolierband
  • Lötzinn
  • 1 Laborkarte für IC's
  • falls Lämpchen verwendet werden: 7 PNP-Bipolartransistoren
  • 7 Kondensatoren à 100µF
  • Schaumstoff zur Stabilisierung und evtl. weitere Holzplatten für die Außenverkleidung


Benötigte Geräte

  • Lötkolben
  • Holzbohrer
  • Heißkleber o.Ä.
  • Farbe nach Wunsch

Zu guter Letzt

Mit viel Zeit und Mühen ist das Projekt entstanden und verwirklicht worden. Nichts hat auf Anhieb funktioniert und manches wollte gegen Ende hin den Geist aufgegeben. Falls irgendjemand aber trotzdem an diesem Gerät interessiert sein sollte und es nachbauen möchte, darf dieser jemand sich nicht wundern, wenn das Endprodukt Ähnlichkeiten mit dem Kabelsalat auf dem unteren Bild aufweist.

Unterseite des Lights on!
Gutes Gelingen!