Malen nach Funktionen

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Idee

Zu Beginn unseres Projekts kam uns die Idee, Mathematik auf unsere eigene Weise mit Kunst in Verbindung zu bringen, sozusagen als "Malen nach Zahlen". Wir überlegten uns zwei unterschiedliche Herangehensweisen, wie man Funktionen als mathematische "Sprache" in Bildsprache umsetzen bzw. Bilder errechnen könnte. In Anlehnung an konkrete Kunst, die ja versucht Bilder zu schaffen, die auf mathematischen Grundformen frei von Gegenständlichkeit und Symbolismus basieren, überlegten wir uns eigene Verfahrenweisen.

Polynommalerei

Zielsetzung der einen Umsetzung war es, Bilder nur durch mathematische Grundlagen zu berechnen bzw. ein System zu finden, Mathematik in Bilder zu fassen. Statt als Graph werden hier Funktionen als Malerei dargestellt.

Dafür überlegten wir uns ein Schema, nach dem man Funktionen in Bilder "übersetzen" kann. Jedes Polynomglied ergibt dabei einen Farbton. Diesen mischt man nach einem festgelegten Prinzip so, wie die Funktion es vorgibt. Jede Variable bedeutet eine Grundfarbe. Um verschiedene Töne mischen zu können, benötigt man also mindestens 2 Variablen.

Beispiel

Gegeben ist die ganzrationale Funktion f dritten Grades f(b;g)=2b^3g^2+3bg^2-gb

b="2 Anteile blau" g="2Anteile gelb" (Um den Wert auch potenzieren zu können empfielt es sich g>1 bzw. b>1 zu wählen)
b^3bedeutet also 8 Anteile blau, g^2 bedeutet 4 Anteile gelb. Die Menge des so entstandenen Farbtons wird mit 2 multipliziert. Für den nächsten ton braucht man 1 Anteil blau b und 4 Anteile gelb g^2, diese werden mit 3 multipliziert. Als letztes mischt man je 2 Anteile gelb und blau.

So erhält man in diesem Fall 3 verschiedene Farbtöne in unterschiedlichen Mengen. Diese werden auf dem Papier kombiniert, also "addiert" bzw. "subtrahiert". Dafür zieht man zunächst eine Achse als "Nullline" Der Reihe nach werden die positiven Ergebnisse rechts und die negativen links davon angeordnet. Die Breite ist abhängig von der Farbmenge.

Hier wird der letzte Frabton links, die anderen beiden rechts der Nulllinie aufgetragen.

Am Ende entsteht so ein Bild, das die Funktion aufgeteilt in ihre Polynomglieder darstellt.

Erste Versuche ohne ganz ausgereiftes System:

ErsteVersuche.jpg

Bild zu dem oben genannten Beispiel:

Erstes Bild zum Beispiel.jpg

Farbfunktion

Die andere Umsetzung konzentriert sich auf die Beschreibung der Farbe eines Bildes. Hilfsmittel dafür ist eine Farbvorlage, die in das Koordinatensystem integriert ist. Wichtig ist, dass die Formen der Bilder mit Umrissen angegeben sind und die Farbvorlage nicht verrutscht wird. Durch einen Graphen und X- oder Y-Werte, die in der jeweiligen Form angegeben sind, werden die Farben den verschiedenen Bildformen zugeordnet.

Wir sind durch das Zuordnen von Farben nach Zahlen bei "Malen nach Zahlen" auf die Idee gekommen dieses Grunprinzip weiter fortzuführen. Bestimmten Zahlen in Feldern werden bestimmte Farben zugeordnet, die man in das Feld einsetzt, um das Bild vollständig auszumalen. Bei den Farbfunktionen ist es ähnlich. Man hat eine Funktion die mithilfe einer Farbvorlage den Farbverlauf beschreibt. Man setzt so den Graphen direkt auf die Vorlage um die jeweilige Farbe direkt abzulesen. Die Formenvorgabe für das eigentliche Bild gibt den jeweiligen X- oder Y-Wert an, den man dann in der Funktion ablesen kann, und somit die Farbe, die sich bei dem Punkt befindet. Die Farbe kann man mithilfe eines einfachen Moduls eins Programmes am Computer kopieren und einsetzen.

Wir haben zwei verschieden artige Aufgaben zu diesem Prinzip erstellt. Die soeben beschriebene Vorgehensweise ist die erste Art von Aufgabe die wir entwickelt haben. Man hat die Funktion vorgegeben, liest die X-Werte von der Formvorlage ab und setzt die jeweilige Farbe von diesem Punkt ein. Die zweite Variante wäre also man hat mit den Werten die Farbe angegeben und findet so die Funktion heraus, die diesen Fabrverlauf beschreibt. Als erste Aufgabe dient die lineare Funktion f(x)= 0,75x. Die Farbvorlage im Koordinatensystem folgt dem Graphen und die Farbpalette ist sehr bunt, sodass das Bild mehr Möglichkeiten zur Farbe hat. In der Formvorlage ,die natürlich schwarz weiß abgebildet ist, finden wir ganzzahlige X-Werte. Eingesetzt in die Funktion, können wir die Farbe bestimmen und einsetzten. Das entstehende Bild ist eine Eigenkreation, entstehend aus der Farbvorlage. Aufgabe zwei funktionniert ähnlich. Die Funktion ist schwieriger und wenn man die Werte richtig einsetzt stoßt man auch ein modernes Wert von Edeltraut Kloepfer. In Aufgabe drei sind die Farbvorlage und ein Bild von Camille Graeser aus den späten Sechzigern mit den entsprechenden Werten gegeben. Man muss hier die ganzzahligen Werte durch den Farbvergleich schätzen und kann so eine Parabel ausrechnen, die dem Farbverlauf des Bildes recht kommt.


Gegeben ist die Funktion f(x)= 0,75x. Bestimmen Sie die Gesamtfarbigkeit des vorgegebenen Bildes, indem Sie die Funktion auf die Farbvorlage plotten und die angegebenen X-Werte auf der Farbvorlage benutzen, um die passende Farbe auf dem Graphen abzulesen und in die Fläche einzusetzen.

Ausfüllformat.png

Lösung1.jpg


Aufgabe2: Gegeben ist die Funktion Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): 2\sqrt{x} -\left( 1/50 )x^2



und das Bild
Formvorlage2.png
Bestimmen sie die Gesamtfarbigkeit


Bildvorlage1.7.png


Aufgabe 3: Gegeben sind die Farbvorlage und das Bild. Beschreiben sie den Farbverlauf mit einer Parabel. Die Y-Werte sind mit der gelben Ausnahme (0,7) ganze Zahlen. Welche Parabel mit dem Ursprung(0/0) liegt vor?

Farbvorlage.png