Parabolspiegel

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Parabol fertig.png

Inhaltsverzeichnis

Was ist ein Parabolspiegel?

Ein Parabolspiegel ist eine verspiegelte Schüssel mit der Krümmung einer Parabel. Wenn Lichtstrahlen parallel zur Symmetrieachse auf den Parabolspiegel treffen, werden diese so reflektiert, dass sich alle Strahlen im Brennpunkt des Parabolspiegels treffen.

Verwendung von Parabolspiegeln

Am häufigsten werden Parabolspiegel zum Senden und Empfangen von Wellen eingesetzt, z.B. Satellitenempfang, Radargeräte oder Spiegelteleskope. Man kann einen Parabolspiegel, aber auch wie in unserem Fall dazu nutzen, Lichtstrahlen auf einen Punkt zu konzentrieren und somit die Energie in Form von Wärme nutzen zu können.

Mathematischer Hintergrund

Da der Querschnitt eines Parabolspiegels parabelförmig ist, können Strecken, Punkte etc. innerhalb eines Parabolspiegels mit Hilfe einer Parabel berechnet werden.

Berechnung des Brennpunkt

Berechnung Brennpunkt.PNG
Brennpunkt Parabol.PNG

Angenommen wir haben eine beliebige Krümmung des Parabols und somit auch eine beliebige Parabel für die gilt f(x)=ax2, so ergibt sich für die Tagente t(x)=2ax1·x - ax12. Zwischen dem einfallenden Lichtstrahl und der Tangente an dieser Stelle ist der Einfallswinkel α. Da der Einfallswinkel genauso groß ist wie der Ausfallswinkel des Lichts, können wir auch den reflektierten Lichtstrahl und somit den Brennpunkt konstruieren. Nun ergibt sich ein gleichschenkliges Dreieck APB, also gilt PB=AB. Durch den Satz des Pythagoras lässt sich PB berechnen:

PB=\sqrt{(x_1) ^2 + (y_1-y_B)^2} = \sqrt{(x_1)^2 + (y_1)^2 - 2y_1y_B + (y_B)^2}

AB=y_B + \vert b \vert= y_B + (ax_1)^2 \text{                }b \text{=Y-Achsenabschnitt der Tangente}

Nun stellen wir die Funktionsgleichung der Parabel nach x1² um:

f(x_1) = y_1 = ax_1^2     \longrightarrow      (x_1)^2 = \frac {y_1}{a}

Durch Einsetzen in PB und AB und Gleichsetzen der beiden Strecken ergibt sich:

PB = AB     \longrightarrow      y_B + y_1 = \sqrt{ \frac {y_1}{a}+ (y_1)^2 - 2y_1y_B + (y_B)^2}

Durch Vereinfachen erhalten wir schließlich :

y_B = \frac {1}{4a}

Der Brennpunkt liegt also 1/4a vom Ursprung entfernt.

Berechnungen des Bogens

Bogen Parabol.PNG

Für die Strecke AB gilt nach Satz des Pythagoras:

AB = \sqrt{(f(x+dx) - f(x))^2 +((x+dx) - x)^2}

Vereinfacht:

AB = \sqrt{1+(f '(x))^2}\text{          } dx

Da der Bogen des Parabolspiegels aus unendlich vielen kleinen Geraden besteht gilt:

l = \int\limits_{0}^r   \sqrt{1+(f '(x))^2}\text{          } dx
r ist der gewünschte Radius des Parabols.



Bauplan

Unser Parabolspiegel soll aus 18 gleichen Segmenten bestehen, ähnlich wie bei einem Regenschirm. Dazu erstellen wir erst eine Schablone für die Segmente.

Material

  • Spanholz 2mm für 18 Segmente (ca.4-5m²)
  • Rettungsdecke
  • Sprühkleber
  • Gaffer Tape


Schablone

Eines der Segmente


Die Länge des Segments erhalten wir durch die Formel l = \int\limits_{0}^r   \sqrt{1+(f '(x))^2}\text{          } dx
Hierbei ist r der Radius den unser Parabolspiegel haben soll und f '(x) ergibt sich aus der Parabelformel die abhängig von der gewünschten Lage des Brennpunkts ist.


Für die Breite der Segmente berechnen wir für mehrere x-Werte den Umfang des Parabols an der jeweiligen Stelle und teilen diesen durch 18, da wir ja 18 Segmente haben. Diesen Wert können wir dann an der entsprechenden Stelle auf unserer Schablone einzeichnen. Dabei müssen wir beachten, dass 1cm auf der X-Achse nicht 1cm auf der Schablone entspricht, sondern mit der Formel l = \int\limits_{0}^r   \sqrt{1+(f '(x))^2}\text{          } dx  umgerechnet werden muss.

An der spitzen Seite der Schablone lassen wir 3-4 cm weg, damit später in der Mitte des Parabolspiegels ein Loch entsteht.




Bau des Parabolspiegels

Als erstes bekleben wir die Spanholzplatte mit einer Rettungsdecke, sodass die silberne Seite nach oben zeigt. Anschließend sägen wir die 18 Segmente aus und kleben diese zu einem Parabolspiegel zusammen.


Jona mit Parabol