Zahlensysteme

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Jessikas und Jens' Projeks.

Im Folgenden werdet ihr zunächst eine Einführung in die Welt der Zahlensysteme erhalten, danach folgt eine kurze Erläuterung unseres Experiments.


Inhaltsverzeichnis

Zahlensysteme

Zahlensysteme sind von uns Menschen entwickelte Methoden, um Mathematik zu beschreiben. Generell geht man davon aus, dass Mathematik und mathematische Gesetze bereits vor dem Menschen existierte und dass wir, das heißt die Menschheit, gerade dabei sind ihre Rätsel und Zusammenhänge zu entdecken. (Eine weitere Theorie besagt, wir Menschen hätten die Mathematik erfunden und sie würde ohne uns gar nicht existieren – wir gehen hier jedoch von der objektiv logischeren Variante aus.) Dabei ist es von grundlegender Bedeutung, Zahlen benennen zu können. Andererseits wären wir gar nicht in der Lage auszudrücken, was wir denken. So einfach es uns heute auch erscheinen mag, die Erfindung von Begriffen wie „Eins“, „Zwei“ oder „Drei“ bedurfte einer enormen Denkleistung und ohne diesen Schritt wäre die Wissenschaft der Mathematik und somit die komplette Entwicklung des Menschen, zu dem, was wir heute sind, unvorstellbar, denn Mathe ist mittlerweile überall von Nöten. Zahlen ausdrücken zu können war für den Menschen also sichtlich von Vorteil, jedoch kann man mit Begriffen nicht zwangsläufig auch rechnen. Hier kommen nun Zahlensysteme ins Spiel.


Stellenwertsystem


Das Stellenwertsystem, oder auch Positionssystem ist das uns heute geläufigste Zahlensystem. Es basiert auf einer Darstellung, die aus mehreren Ziffern und unterschiedlichen Multiplikatoren, je nach Position verwendet. Dabei sind meist kleine Werte auf der rechten und große Werte auf der linken Seite zu finden, was auf unserer Leserichtung beruht. Ursprünglich stammt das System vermutlich aus Indien. Grundsätzlich finden sich in einem Stellenwertsystem mit x Ziffern repräsentative Symbole für die Zahlen 0 bis x-1. So enthält das Dezimalsystem beispielsweise die zehn Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8 und 9, hingegen das Hexadezimalsystem die 16 Ziffern und Symbole 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E und F. Generell gilt: Stellenwertsysteme mit weniger als 11 Symbolen enthalten die uns bekannten Ziffern von 0 bis 9, Systeme mit 11 oder mehr Symbolen verwenden zunächst Groß-, dann Kleinbuchstaben. Jedes Stellenwertsystem hat mindestens zwei (Binärsystem) aber niemals unendlich viele Symbole, weil ansonsten eine Berücksichtigung der namensgebenden Stellen nicht mehr nötig wäre. Zum umrechnen von einem Stellenwertsystem in ein anderes kann man die Formel
s=⌈n*ln⁡a/ln⁡b⌉
verwenden. s ist dabei die ungefähre Anzahl der benötigten Stellen in einem Zahlensystem mit b Symbolen als Basis, zur Darstellung einer Zahl mit n Stellen in einem Zahlensystem mit der Basis a. Man sollte des weiteren Wissen dass es sich bei den eckigen Klammern um sogenannte Gaußklammern handelt, welche in diesem Fall eine Aufrundung auf die nächstgrößere natürliche Zahl vorschreiben. Will man also z.B. eine vierstellige Zahl aus einem Zahlensystem mit der Basis zwei in einem Zahlensystem der Basis 10 darstellen so braucht man laut der Gleichung höchstens, aber nicht zwangsläufig mindestens ⌈4*ln⁡2/ln⁡10⌉=2 Stellen. Die größtmögliche vierstellige Zahl in einem System der Basis zwei (Binärsystem) ist [1111]2 = [15]10 jedoch lassen sich mit vier Stellen auch zahlen wie [1001]2 = [9]10, welche wie zu sehen in einem System der Basis 10 (Dezimalsystem) nur eine Stelle einnimmt darstellen.

Dezimalsystem

Das Dezimalsystem (lat. decem “zehn“) ist das weltweit am häufigsten verwendete. Hier in Deutschland wachsen wir mit diesem System auf und lernen mit ihm von klein auf Rechnen. Sein Ursprung liegt, wie der aller Stellenwertsysteme in Indien und die exakte Ziffernzahl von 10 lässt sich leicht auf den Bau des menschlichen Körpers, genauer gesagt auf die Tatsache, dass wir genau 10 Finger, welche ideale Rechenhilfen abgeben zurückführen. Hätten wir von Natur aus an jeder Hand nur vier Finger so würden wir heute höchst wahrscheinlich auch nur mit acht Zahlen rechnen. Das Dezimalsystem wird vorwiegend zum Rechnen und im alltäglichen Umgang mit Zahlen verwendet. Wenn wir von Zahlen sprechen, sprechen wir fast immer vom Dezimalsystem.


Quinärsystem

Das Quinärsystem (lat. quinque „fünf“) ist ähnlich wie das Dezimalsystem eine der frühen Zählarten. Der Grund für seine fünf Ziffern ist wie auch hier der anatomische Aufbau unserer fünf-fingrigen Hände. Im gegensatz zum Dezimalsystem benutzte man zum Zählen jedoch nur eine Hand. Als Beleg dafür lautet zum Beispiel bei dem südamerikanischen Stamm der Betoya die wörtliche Übersetzung der Zahl 5 „Hand“. Trotz der Verwandtschaft mit unserem heutigen Zahlensystem setze sich das Quinärsystem, vermutlich aufgrund seiner etwas längeren Schreibweise nicht durch.
Während das Dezimalsystem auf Zehnerpotenzen beruht, entspricht der Schritt von einer Stelle in die Nächste im Quinärsystem lediglich einer Multiplikation mit 5, was unweigerlich zu längeren und somit unpraktischeren Zahlenfolgen führt. Man rechnet mit Einer-, Fünfer-, Fünfundzwanziger-, Einhundertfünfundzwanziger-Stellen usw. Dieser Nachteil wird zum Beispiel bei der Darstellung der Zahl Einhundertzweiunddreißig deutlich, denn im Dezimalsystem nur drei Stellen belegend (132), brauch man im quinärsystem bereits vier: (1012, d.h. Ein Mal Einhundertfünfundzwanzig + Null Mal Fünfundzwanzig + Ein Mal Fünf + Zwei Mal Eins = [1012]5 = [132]10) Heute findet das Quinärsystem kaum noch Anwendung.

Binärsystem

Das Binär- oder auch Dualsystem (lat. duo „zwei“) birgt aufgrund seines minimalistischen Symbolvorrates sowohl Vor-, als auch Nachteile. Im Binärsystem zählt man mit nur zwei Ziffern, nämlich 0 und 1. Dies macht es für den alltäglichen Gebrauch völlig unpraktisch, da um das Fehlen weiterer Ziffern auszugleichen viel mehr Stellen als zum Beispiel im Dezimalsystem verwendet werden müssen. Dagegen eignet es sich bestens für die Anwendung in Computern, da diese tatsächlich nur zwischen zwei Zuständen („Symbolen“), nämlich „Strom an“ und „Strom aus“ unterscheiden. Da im Binärsystem nur zwei Ziffern enthalten sind rechnet man mit Zweierpotenzen. Demnach lauten die einzelnen Stellen: Einer, Zweier, Vierer, Achter, Sechzehner, Zweiunddreißiger, usw.

Hexadezimalsystem

Das Hexadezimalsystem (griech. hexa „sechs“, lat. decim „zehn“) findet ebenso wie das Binärsystem größtenteils ich der Informatik Verwendung. Mit ihm können binäre Zahlen mit mit deutlich weniger Zeichen dargestellt werden. Ein Nibble, also vier Bit (Stellen im Binärsystem) können mit Hilfe des Hexadezimalsystems in nur einer Stelle exakt dargestellt werden, zur Darstellung von einem Byte (acht Bit) benötigt man lediglich eine Stelle mehr.
Da für das 16 Ziffern umfassende Hexadezimalsystem die Zahlensymbole unseres Dezimalsystems (0 bis 9) nicht mehr ausreichen wurde von IBM in den 1950er Jahren die Folgende Schreibweise Eingeführt. Zunächst verwendet man wie gewohnt die Ziffern 0,…,9 danach folgen zunächst Groß-, dann Kleinbuchstaben unseres Alphabets. Die Ziffern im Hexadezimalsystem lauten demnach:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Als Beispiel die Zahl Dreizehn [13]10 = [1101]2 = [D]hex, oder Einhundertacht [108]10 = [1101100]2 = [6C]hex. Hier wird der Vorteil des Hexadezimalsystems gegenüber dem Binärsystem deutlich, trotzdem ist letzteres für die Computertechnik unersetzlich. Dem Benutzer gegenüber bietet es jedoch wesentlich mehr Komfort.

Base62

Base62 ist ein Extrembeispiel der Stellenwertsysteme. Mit einer Basis von 62 Ziffern verwendet es zur Darstellung von Zahlenwerten äußerst wenig Stellen und ist somit wenig anfällig für beispielsweise Tippfehler. Die benötigten 62 Ziffern bestehen aus den Dezimalzahlen (0 bis 9), dem kompletten Alphabet in Großbuchstaben (A bis Z) und dem Alphabet in Kleinbuchstaben (a bis z).
So sind zum Beispiel Elf Millionen [11000000]10 in Base62 mit nur 4 Ziffern darstellbar: [k9bM]62. Die Werte der einzelnen Stellen in Base62 sind 620=1, 621=62, 622=3844, 623= 238328, 624=14776336, usw. 624>11000000 daher benötigen wir zur Darstellung kleinere Potenzen. 11000000/623=46,2 somit schreiben wir in die erste Größte Stelle [46]10 = [k]62. Weiter geht es mit dem Rest, 11000000-623*46=36912. Hier können wir 622 neun Mal restlos unterbringen. Somit ist die Stelle zweite Zahl die wir eintragen [9]10=[9]62. Als Rest bleibt nun 2316, hier bringen wir 621 37 Mal unter. Die nächste Stelle lautet [37]10 = [b]62. Als Rest bleibt 22. Wir tragen die Zahl in die kleinste Stelle ein: [22]10 = [M]62. Somit erhalten wir die zusammengesetzte Zahl k9bM.
Da Base62 offensichtlich sehr unübersichtlich ist findet man dieses System zwar in Geheimcodes und Verschlüsselungtechniken, jedoch wird uns es uns wohl nie im Alltag begegnen.


Additionssystem


Das Additionssystem ist im Vergleich zum Stellenwertsystem wesentlich simpler. Auch hier gibt es verschiedene Ziffern jedoch spielt ihre Positionierung keine große Rolle. Was Zählt ist ihre Anzahl. Um den genauen Wert einer Zahl zu erfahren zählt man einfach sämtliche Ziffern unter Berücksichtigung ihres festgelegten Wertes zusammen. Nehmen wir also an E=[1]10, Z=[10]10 und H=[100]10 so lässt sich z.B. der Wert 213 als HHZEEE oder EEEZHH oder ZEHEHE oder HEZEEH oder … darstellen; Die Reihenfolge spielt absolut keine Rolle solange die Anzahl der einzelnen Ziffern stimmt.

Römische Zahlen

Ein sehr bekanntes Additionssystem ist die Zählweise der Römer. Jedoch haben diese für etwas Ordnung gesorgt indem sie sie durch eine substraktive Regel erweiterten. Die von den Römern Verwendeten Ziffern sind I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Im Grunde erfolgt die Zahlenbildung ähnlich wie beim normalen additiven System, jedoch mit der Sonderregel, dass die Ziffern, beginnend mit der höchstwertigen von links nach rechts aufgeschrieben werden. Seit der Antike gelten folgende Regeln:
Steht rechts neben einer Ziffer eine höchstens gleichwertige Ziffer so werden die Werte zusammenaddiert. Sollte dennoch links von einer Ziffer eine Niederwertigere Ziffer stehen, so wird der Wert der linken Ziffer von der rechten Ziffer abgezogen. Letzterer Regel ist stets Vorrang einzuräumen.
III = 1+1+1=3
VII = 5+1+1=7
IV =5-1=4
IIX = VIII = -(1+1)+10=5+1+1+1=8
XIIV = 10-(1+1)+5=13
MCMXCV = 1000-100+1000-10+100+5=1995


Unser Versuchsaufbau


Unsere Konstruktion soll noch einmal den gelegentlichen Vorteil des Dualsystems aufzeigen. Dazu könnt ihr mit Hilfe einiger verschiedengroßer Bausteine eure Körpergröße abzumessen. Dabei steht jeder Klotz jedoch nur einmal zur Verfügung.
Hier ist es klug sich gegen das Dezimal- und für das Binärsystem zu entscheiden. Der Nachteil des Dezimalsystems liegt nämlich darin, dass zum genauen Bestimmen eines Wertes Zugriff auf mehrere verschiedene Ziffern bestehen muss. Hat man diese Extraziffern nicht, sondern muss allein mit den Stellenwerten arbeiten ist man sehr eingeschränkt. Dieses Problem hat man mit dem Binärsystem nicht, da man mit einer Stelle nur maximal Einen Wert darstellen kann. Dadurch werden Binärzahlen zwar in ihrer Darstellung länger, dafür aber wesentlich genauer.
Versucht man also mit den Blöcken des Dezimalsystems (100, 10 und 1) seine Körpergröße abzumessen wird man schnell merken, dass bei 111cm Schluss ist. Würde man den nächstgrößere Baustein dazu nehmen, so wäre dieser bereits 10m groß und damit für den Versuchsaufbau viel zu sperrig. Verwendet man hingegen die binär zugeschnittenen Blöcke kann man problemlos jeden beliebigen Wert zwischen 0cm und 200cm (theoretisch zwischen 0cm und 255cm – der Aufbau wäre auch hier zu groß und sperrig zum Transport geworden) darstellen.


Quellen