Zykloide

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Schneller, optimaler, besser!!!

Wenn man am Anfang der Kugelbahn in der Grafik oben und an einem anderen Punkt der Bahn (z.B. in der Mitte) eine Kugel losrollen lässt, kann man sich verschiedenes fragen:

  1. Welche Kugel kommt zuerst an?
  2. Erklärung der Begriffe.
  3. Wieso ist dies der Fall?(Für Mathe/Physik-Experten)

Der Versuch

Lässt man zwei Kugeln mit gleichem Volumen von verschiedenen Startpunkten auf der Kugelbahn herunterrollen, kann beobachtet werden, dass die Kugeln gleichzeitig ankommen. Probiert man dasselbe mit einer geraden Strecke der gleichen Höhe und Weite ist auf den ersten Blick zu erkennen: Von unterschiedlichen Startpositionen auf der Gerade kommen die Kugeln auch zu unterschiedlichen Zeiten an. Außerdem ist die Zeit, die die Kugel auf der gekrümmten Bahn benötigt kürzer als die auf der geraden Bahn. Dies erscheint zunächst seltsam, da die Gerade die kürzeste Verbindung zwischen Start- und Zielpunkt ist.

Begriffserklärungen

Brachistochrone

Die Tatsache, dass die Kugel auf der gekrümmten Bahn schneller am Ziel ankommt als auf der geraden, lässt sich dadurch erklären, dass diese Bahn am Anfang steiler fällt als die lineare Bahn. Dadurch wird die eine Kugel stärker beschleunigt und erhält einen „Vorsprung“ gegenüber der anderen. Zwar hat die gekrümmte Bahn am Ende eine kleinere Steigung als die Gerade, jedoch hat die Kugel auf der „Kurve“ durch den steileren Beginn im flacheren Abschnitt eine höhere „Startgeschwindigkeit“ und kann damit auch am Schluss nicht mehr von der anderen Kugel eingeholt werden. Die gekrümmte Bahn ist in unserem Beispiel eine umgedrehte Zykloide (Siehe Vermerk „Zykloide“ unten). Eine solche „Zykloidenbahn“ ist für die Kugel die schnellste Verbindung von Start- zu Zielpunkt und wird daher auch als „Brachistochrone“ (von gr. „βράχιστος“- „kürzest“ und „χρόνος”- „Zeit“) bezeichnet.


Tautochrone

Bemerkenswert ist vor allem, dass die Kugeln auf der Kurve zur selben Zeit ankommen, auch wenn die eine Kugel am Anfang der Kugelbahn startet und die andere 1 mm vor ende losgelassen wird.


Die Tatsache, dass beide Kugeln auf der gekrümmten Kugelbahn gleichzeitig unten ankommen, lässt sich dadurch erklären, dass die Bahn am Anfang steil fällt. Dadurch wird die hintere Kugel stärker beschleunigt und erreicht somit eine höhere Geschwindigkeit als die vordere, die auf einem flacheren Abschnitt der Bahn startet und nicht so viel Geschwindigkeit aufnehmen kann. Somit kann die hintere Kugel den längeren Weg in der gleichen Zeit zurücklegen wie die vordere Kugel den kürzeren Weg. Dieses Phänomen, dass eine Kugel von jedem Startpunkt aus die gleiche Zeit benötigt, um unten anzukommen, tritt bei allen umgedrehten „Zykloidenbahnen“ auf. Daher bezeichnet man diese auch als „Tautochrone“ (von gr. „ταυτός“- „gleich“ und „χρόνος“- „Zeit“)

Zwischenfazit

Unsere Bahn ist also optimal: Sie ist die schnellste Verbindung zwischen den beiden Punkten und braucht von jedem Punkt der Bahn genausolange bis zum Ende wie von irgendeinem anderen.

Das liegt daran, dass sie eine Zykloide ist.

Zykloide

Eine Zykloide ist die Kurve, den ein bestimmter Punkt auf einer Kreislinie zurücklegt, wenn der Kreis auf einer Geraden „abgerollt“ wird.
Es ist dabei egal, welchen Radius die Kugel hat, oder welchen Punkt man auf dem Kreis wählt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Cycloid_f.gif

Jetzt zu dem mathematischen Erklärungsversuch

Weiterführende Links

Siehe auch