Zykloidenbahn

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Was ist eine Zykloidenbahn?

Zykloide kommt vom lateinischen „cyclus“: Kreis. Eine Zykloidenbahn ist die Bahn, die ein Punkt auf dem Kreis beschreibt, wenn man den Kreis auf einer Geraden entlangrollt (in diesem Fall auf der X-Achse). Man kann sich das gut an Hand eines Fahrradreifens vorstellen. Wenn man einen Fahrradreifen auf einer geraden Linie entlangrollt, ist die Bahn, die das Ventil beschreibt eine Zykloidenbahn.


Geschichtliche Hintergründe und Anwendung von Zykloiden

Geschichte

Die Zykloide wurde als erstes von Nikolaus von Kues studiert. Im 17. Jahrhundert beschäftigten sich fast alle bedeutenden Mathematiker mit ihr, unter anderem Fermat, Descartes, Leibniz, Newton, die Brüder Bernoulli und de L'Hospital. Getauft wurde sie von Galilei, der sie 1599 untersuchte. Auf Grund ihrer vielen besonderen Eigenschaften rief Blaise Pascal sogar einen Wettbewerb ins Leben, dessen Ziel es war, einige ungelöste Probleme, wie das Bestimmen der Bogenlänge der Zykloide, zu entschlüsseln. Dieser Wettbewerb war der Entstehung der Differentialrechnung sehr zuträglich. Zwei der interessantesten Eigenschaften, die die Zykloide inne hat, sind sind die der Tauchtorone und der Brachistochrone.

Die Brachistochrone beschreibt, auf welchem Weg ein Körper am schnellsten, nur unter dem Einfluss der Schwerkraft, von einem Punkt A zu einem schräg darunterliegenden Punkt B gelangt. (Die Gerade ist zwar die kürzeste Verbindung, aber nicht die schnellste, weil der Körper am Anfang zu langsam beschleunigt wird.).

Ein Körper, der sich entlang einer Tauchtorone bewegt, kommt immer zum gleichen Zeitpunkt an der tiefsten Stelle an. Wie man hier schön erkennen kann:

Tautochrone curve.gif

Anwendungen

Die Zykloide findet teilweise Anwendung bei Pendeluhren, da diese mit einem Zykloidenpendel besonders genau sind. Beispiel für ein Zykloidenpendel: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/tautochr.gif von:[1]

Außerdem werden bei qualitativ hochwertigen Zahnrädern die Zahnflanken Zykloidenbogen. Dadurch rollen die Räder ohne Schlupf ab und es gibt weniger Reibungsverluste und Abnützungserscheinungen. Vor allem bei Uhrwerken wird diese Technik angewendet.

siehe: SchmuckundUhren.de

Herleitung der Bahn

Parameterfunktionen

Parameterfunktionen sind Funktionen, bei denen der y-Wert nicht vom x-Wert abhängt. Der x- und der y- Wert hängen hier von einem unabhängigen Parameter ab. Der Vorteil von solchen Parameterfunktionen ist, dass man mit ihnen Objekte darstellen kann, die man mit einer Funktion f(x) nicht darstellen kann. Das beste Beispiel hierfür ist ein Kreis. Einen Kreis kann man nicht mit einer Funktion f(x) darstellen, da man hier einem x-Wert mehr als einen y-Wert zuordnet. Bei einer Zykloide wird zwar ein x-Wert jeweils nur ein y-Wert zugeordnet, die Einführung eines Parameters erleichtert jedoch die Herleitung.

Ich habe den Parameter t eingeführt. t beschreibt den Wälzwinkel, also wie weit der Kreis schon gerollt ist. Die Zykloidenbahn wird also durch zwei Funktionen dargestellt, x(t) und y(t).

Herleitung der Parameterfunktionen einer Zykloidenbahn

Zunächst soll der x-Wert bestimmt werden, dazu betrachtet man zunächst das Dreieck in der Mitte:

Der Winkel BEC ist ein rechter Winkel. a ist der Kreisradius und gleichzeitig die Hypotenuse des Dreiecks. Daraus ergeben sich dann die Länge der Strecken BE und CE.

BE=a∙cos(t)
CE=a∙sin(t)

Der x-Wert entspricht der Länge der Strecke CF. Die Strecke CE ist bekannt. Das bedeutet, wenn man die Strecke EF weiß, kann man x ermitteln, indem man von EF CE abzieht. Die Strecke EF entspricht der Bogenlänge AC, da die Bogenlänge genau das Stück ist, um das sich der Kreis schon nach vorne bewegt hat.

In Formeln ausgedrückt:

AC=a∙t (t Angabe im Bogenmaß)
x=CF
AC=EF
CF=EF-CE
x=a∙t-a∙sin⁡(t)
x(t)= a(t-sin⁡(t))

Der y-Wert kommt ähnlich zustande: Er entspricht der Länge Strecke AE. Man kennt die Strecke BA, denn sie entspricht dem Radius a. Außerdem kennt man die die Strecke BE. Jetzt geht man nach dem gleichen Verfahren wie gerade eben vor:

BA= a
BE= a∙cos(t)
AE= y(t)
AE= BA-BE

Wenn man einsetzt und umformt erhält man:

y(t)= a(1-cos(t))

Quellen

  • Schupp, Hans/ Dabrock Heinz: Höhere Kurven. Universität des Saarlandes 1995, S.51-54