Achsen- und Punktsymmetrie von Funktionen

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Achsen- und Punktsymmetrie von Funktionsgraphen

Funktionenschar.jpg

Dieser Lernpfad soll einen Einblick in die Symmetrieeigenschaften von Funktionsgraphen vermitteln.

Während man dem Graphen einer Funktion die Symmetrie meistens ansieht, soll im Folgenden geklärt werden, wie man die Symmetrie einer Funktion bereits am Funktionsterm erkennen kann.

Die Begriffe der Achsen- und Punktsymmetrie sind bereits aus den vorhergehenden Jahrgangsstufen bekannt, daher werden sie nun nur noch kurz wiederholt.


Inhaltsverzeichnis

Funktionen mit achsensymmetrischem Graphen

Die Achsensymmetrie (auch: axiale Symmetrie oder Spiegelsymmetrie) ist eine Form der Symmetrie, die bei Figuren auftritt, die entlang einer Symmetrieachse gespiegelt sind.

Ein bekanntes Beispiel für eine achsensymmetrische Figur ist der rote Berliner Ampelmann.

Achsensymmetrie zur y-Achse

Funktionen, deren Graphen symmetrisch zur y-Achse sind, bezeichnet man auch als gerade Funktionen. Sie sind wie folgt definiert:

Definition


Eine Funktion f : x → f(x)mit x ∈ D heißt gerade, wenn gilt

  • x ∈ D ⇒ -x ∈ D und
  • f(x)= f(-x)

Beispiele:

Bereits am Graphen erkennt man die Achsensymmetrie zur y-Achse der Betrags- oder Sinusfunktion sowie der Parabelfunktion  f(x)=x^2. Ein weiteres Beispiel ist die unten abgebildete Funktion  f(x)=x^4-ax^2:

Wie man an diesem Beispiel sieht, ist es egal, welchen Wert der Parameter a annimmt, der Graph dieser Funktion beibt immer achsensymmetrisch zur y-Achse.

Aufgabe:

Welche Werte müssen die Parameter a,b und c annehmen, dass der Graph der Funktion f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 achsensymmetrisch ist?

Anhand der nebenstehenden Graphik kannst du deine Überlegungen überprüfen.

Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse

Definition


Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch bezüglich der Geraden mit der Gleichung x = u, wenn die folgende Bedingung für beliebige Werte von x richtig ist:

  •  f ( u - x ) = f( u + x )

Durch Substitution von x mit u − x erhält man die äquivalente Bedingung:

  • f (x ) = f( 2u-x )


Beispiel:

Um die Verschiebung der Symmetrieachse darzustellen wird die Funktion f(x)=x^4-x^2 wie folgt verändert: g(x)=(x-2)^4-(x-2)^2+0,2. Der Graph zeigt deutlich, dass die Achse um den Vektor u der Länge 2LE nach rechts verschoben wurde. Natürlich wurde die Funktion auch um den Vektor v der Länge 0,2 nach oben verschoben, dies ändert jedoch nichts an der Position Symmetrieachse.

Asym.fkt.2.jpg

Aufgaben: Überlege ob die folgenden Funktionen symmetrisch sind. Gib gegebenenfalls die Symmetrieachse bzw. das -Zentrum an.

Für die Definitionsmenge gilt:

 \ D = \R

  •  f(x) =  x^2
  •  f(x) = |-(x-1)^3 +(x-1)|+5
  •  f(x) = x^2 - |-3x^3 +x|
  •  f(x) = 2^x


Funktionen mit punktsymmetrischem Graphen

Ein geometrisches Objekt heißt (in sich) punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die dieses Objekt auf sich abbildet. Die folgenden Figuren sind jeweils punktsymmetrisch zum roten Punkt.

Datei:PunktsymmetrischeFiguren.jpg

Punktsymmetrie zum Ursprung

Funktionen, deren Graphen symmetrisch zum Ursprung sind, bezeichnet man auch als ungerade Funktionen. Sie sind wie folgt definiert:

Definition


Eine Funktion f : x → f(x) mit x ∈ D heißt ungerade, wenn gilt

  • x ∈ D ⇒ -x ∈ D und
  •  f(x)= -f(-x)


Beispiele:

Die Funktion f(x)=ax^5-bx^3:


Wie man an diesem Beispiel sieht ist es egal welchen Wert der Parameter a und b annehmmen, der Graph dieser Funktion beibt immer punktsymmetrisch zum Ursprung.

Bemerkung:

An den Beispielen zu den geraden und ungeraden Funktionen wird folgender Sachverhalt deutlich:

Die Polynome mit nur geradzahligen Exponenten bilden die Menge der geraden Polynome,

die Polynome mit nur ungeraden Exponenten bilden die Menge der ungeraden Polynome.

(Der Beweis dieser Bemerkung ist sehr leicht: Es genügt, ein Polynom mit nur geraden bzw. nur ungeraden Exponenten in die Definitionsgleichung für gerade bzw. ungerade Funktionen einzusetzen.)

Aufgabe:

Punktsym.jpg

Welcher der drei folgenden Funktionsterme passt zu dem zum Ursprung punktsymmetrischen Graphen?

  • f(x) = x^4-2x^3
  • f(x) = x^3-2x
  • f(x) = x^3-2x^2
Lösung der Aufgabe

Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt

Definition


Eine Funktion f : x → f(x) mit x ∈ D heißt punktsymmetrisch zum Punkt P, wenn gilt (Dabei bezeichnet a die x-Koordinate und b die y-Koordinate von P.)

  • f(a+x) - b =  - f(a-x) + b

Die genannte Bedingung ist durch Substitution von x mit x − a gleichwertig zu

  • f(x) =  2b - f(2a-x)


Um die Verschiebung des Symmetriezentrums zu veranschaulichen wird die Funktion f(x)=5x^5-5x^3 wie folgt verändert: g(x)=5(x-1)^5-5(x-1)^3+0,5. Der Graph zeigt deutlich, dass das Zentrum um den Vektor a der Länge 1LE nach rechts und um den Vektor b der Länge 0,5 nach oben verschoben wurde. Die Summe der Vektoren a und b ist genau der Verbindungsvektor vom ursprünglichen Zentrum, dem Ursprung, zum neuen Zentrum P.

Sym2.jpg

Aufgaben

Überlege ob die folgenden Funktionen symmetrisch sind. Gib gegebenenfalls die Symmetrieachse bzw. das -Zentrum an.

Für die Definitionsmenge gilt:

 \ D = \R

  •  f(x) = -x^3+ x
  •  f(x) = x^2(-x^3+x)
  •  f(x) = x^2 cos x +2x


  •  f(x) = \ -x^3+ x

Diese Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Es gilt: f(-x) = -(-x)^3+(-x)=-(-x^3)-x=-(-x^3+x)=-f(x)

Funktion 2.jpg


  •  f(x) =  \ x^2(-x^3+x)

Diese Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung


Funktion 5.jpg


  •  f(x) = \ x^2 cos x +2x

Diese Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.


Funktion 6.jpg


Entstanden unter Mitwirkung von:


  • Andrea Betz und Hedwig Müller