Affine Abbildungen

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Lernpfad
Kaleidoskop.jpg
Im folgenden Lernpfad werden die Eigenschaften von affinen Abbildungen erarbeitet. Durch die Verbindung von Experiment und Berechnung sollen folgende Fragen beantwortet werden:


  • Wie beeinflusst die Abbildungsmatrix die geometrischen Eigenschaften der Bilder?

  • Welche Eigenschaften der Urbilder bleiben unter welchen Bedingungen erhalten?

Was ist eine affine Abbildung?

Maehnrot.jpg
Merke:

Eine affine Abbildung bzw. Affinität \alpha ist eine geradentreue und umkehrbare geometrische Abbildung der Ebene auf sich.
Es gibt verschiedene Darstellungen für Affinitäten:

  • Matrixdarstellung:
{x'_1 \choose x'_2}=\left( \begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ a_2 &b_2 \end{array} \right) {x_1 \choose x_2}+{c_1 \choose c_2}
  • Koordinatendarstellung:
\begin{array}{ccccccc} 
x'_1&=& a_1 x_1& +& b_1 x_2& +& c_1 \\ 
x'_2&= & a_2 x_1 &+& b_2 x_2 &+& c_2 
\end{array}

Wodurch unterscheidet man eine Affinität von anderen Abbildungen?

Affinitäten zeichnen sich durch Matrizen aus, deren Spaltenvektoren {a_1 \choose a_2} und {b_1 \choose b_2} linear unabhängig sind.

  Stift.gif   Aufgabe

Überprüfe, ob es affine Abbildungen mit folgenden Abbildungsmatrizen gibt:

  1. \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 8 \end{array} \right)
  2. \left( \begin{array}{cc} -1 & 4 \\ 3 & -12 \end{array} \right)

Brauchst du einen Tipp? Die Definition für lineare Abhängigkeit im \mathbb{R}^n findest du hier:

Die Vektoren \vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n} sind linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen darstellbar ist, d.h. es gibt Parameter r_1,r_2,...,r_n\epsilon \mathbb{R}^n,so dass r_1\vec{a_1}+r_2\vec{a_2}+...+r_n\vec{a_n}=\vec{0}, wobei mindestens ein Parameter von Null verschieden sein muss.

Noch einen

Im \mathbb{R}^2 reicht es somit zu zeigen, dass es einen Parameter r gibt, so dass r\vec{a_1}= \vec{a_2}.

Weißt du die Lösung? Dann kannst du sie nun überprüfen:

  Stift.gif   Aufgabe
  1. Affine Abbildung, da es kein k\epsilon \mathbb{R} gibt, so dass k{1 \choose 3} ={2 \choose 8}
  2. Keine affine Abbildung, da -4{-1 \choose 3} ={4 \choose -12}

Einfluss von Affinitäten auf geometrische Figuren

Im Folgenden sollen untersucht werden, welche Eigenschaften der Urbilder bei affinen Abbildungen erhalten bleiben.

Parallelität von Geraden
Teilverhältnisse
Seitenlängen
Winkeltreue