Der Logarithmus

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Kurzinfo

Inhaltsverzeichnis

Definition

Wir wissen bereits, dass jede Exponentialfunktion f mit f (x) = a*x (a > 0,a \neq 1 ) streng monoton fallend (für a < 1) oder streng monoton steigend (für a > 1) ist.

Also besitzt jede solche Funktion eine Umkehrfunktion f^{-1} (x) . Diese nennt man „Logarithmusfunktion“. Wir bezeichnen die Logarithmusfunktion zu einer Basis a mit "\log_a " (gelesen „Logarithmus zur Basis a) und den zugehörigen Funktionsterm „\log_a   (x) “ (gelesen „Logarithmus von x zur Basis a“).

Somit ist die Logarithmusfunktion zur Basis a mit a > 0,diejenige Funktion \log_a , für die gilt:

y = \log_a  x ↔ x = a^y

Damit ist der Logarithmus einer positiven Zahl zur Basis a, also \log_a x diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten.

Beispiele:

log_2 8 = 3; denn 2^3 = 8

\log_3 9 = 2; denn 3^2 = 9

log_5 125 = 3; denn 5^3 = 125

log_2 (1/4) = -2; denn 2^{-2} = ¼

Häufig wird der Logarithmus zu der Basis e ( = 2,71828...) gesucht, den man als "ln" schreibt (= natürlicher Logarithmus).

Als Zehnerlogarithmus (= dekadischer Logarithmus) bezeichnet man den Logarithmus zur Basis 10 und schreibt ihn "lg".

Beispiele:

ln e = log_e e = 1

ln e^3 = log_e e^3 = 3

lg 100 = log_1_0 (100) = 2

lg 10000 = log_1_0 (10000) = 4

Da es sich bei der Logarithmusfunktion um die Umkehrfunktion zu der Exponentialfunktion handelt, besteht folgender Zusammenhang: a^{\log_a x} = x  \, \,und\,\,  log_a (a^x) = x.

Logarithmieren macht also Potenzieren rückgängig und andersherum.

Hier kannst du die Graphen der Exponentialfunktion und des Logarithmus (mit veränderlicher Basis a) betrachten:

Rechenregeln für Logarithmen

Logarithmus eines Produktes

\log_{a} (u\cdot v)= log_{a} u + log_{a} v

Logarithmus eines Quotienten

\log_a (\frac{u}{v} )= \log_a (u)-\log_a (v)

Logarithmus einer Potenz

\log_{a}(c^{n}) = n \cdot log_{a}c

Logarithmus einer Wurzel

\log_a (\sqrt[n]{c} ) = \frac{1}{n} \log_a (c)

Basiswechselsatz

Um Logarithmen zur Basis b mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis a zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang:

\log_a (c)  = \frac{\log_b (c) }{\log_b (a) }


Die meisten Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen Logarithmen nur zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Kehrwert eines Logarithmus

\log_a (b) = \frac{1}{\log_b (a) }


Ableitung und Stammfunktion

Die Ableitung des allgemeinen Logarithmus lautet wie folgt: (\log_b x)^\prime={1 \over x\ln b}

Daraus ergibt sich für den natürlichen Logarithmus (ln e = 1): (\ln x)^\prime={1 \over x}

Durch partielle Integration erhält man für das unbestimmte Integral: \int \! ln(x) \, dx = x\, ln(x)- x+ C

Kurvendiskussion

Um eine Kurvendiskussion durchzuführen ist es hilfreich und notwendig, sich folgende Eigenschaften der Logarithmusfunktion bewusst zu machen:

  • Definitionsmenge: D=]0,\infty]
  • Wertemenge: alle reelle Zahlen
  • Schnittpunke
    • mit der x-Achse: Nullstelle (1/0)
    • mit der y-Achse: es gibt keinen Schnittpunkt mit der y-Achse ( da immer gilt: x > 0)
  • Grenzwerte
    • \lim_{x \to \infty } log_{b} x=\begin{cases} -\infty , & \mbox{wenn }\mbox{ b}>\mbox{1} \\ \infty, & \mbox{wenn}\mbox{ b}< \mbox{1}\end{cases}
    • \lim_{x \to 0^{+} } log_{b} x=\begin{cases} \infty , & \mbox{wenn }\mbox{ b}>\mbox{1}\\ -\infty, & \mbox{wenn}\mbox{ b}< \mbox{1}\end{cases}
  • Extrempunkte: keine, da (\log_b x)^\prime=-{1 \over x\ln b}\not=0
  • Wendepunkte: keine, da (\log_b x)^{(2)}=-{1 \over x^2}\not=0
  Aufgabe   Stift.gif

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=-\frac{ln(x)}{x^2}

  • Gib den Definitionsbereich von f an.
  • Finde die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
  • Gib die Extrem- und Wendepunkte an.


Anwendungsbezogene Aufgaben zum Logartithmus

  Aufgabe 1  Stift.gif

Faltet man ein Stück Papier im DIN-Format mehrfach längs einer Mittellinie, so liegen erst zwei, dann vier Schichten übereinander. Es wird dabei immer kleiner und dicker. Wie oft müsste man es falten können, um einen Turm zu erhalten, der bis zum Mond reicht? (Entfernung des Mondes:384000 km, Papierdicke 0,2 mm).


  Aufgabe 2  Stift.gif

Am 1.1.1960 lebten a_{0} = 3,01 Milliarden Menschen auf der Erde. In welchem Jahr überschreitet die Erdbevölkerung die 10 Milliardengrenze, wenn der jährliche Zu- wachs 1,9% beträgt? In welchem Jahr erreichte die Menschheit die 2 Milliardengrenze?


  Aufgabe 3  Stift.gif

Die Stärke von Erdbeben wird nach der Richter-Skala angegeben. Die Einteilung ist logarithmisch zur Basis 10. Ein Beben der Stärke 3 ist danach 10-mal so stark wie eines der Stärke 2 und 100-mal so stark wie eines der Stärke 1. Aufgabe: Vergleiche zwei Beben der Stärken 2,4 und 3,6.



Viel Erfolg

Der Logarithmus in Anwendung und Natur

Anwendungen des Logarithmus

  • Richterskala

Die Richterskala (benannt nach Charles Francis Richter), die zur Beschreibung von Erdbebenstärken genutzt wird, basiert auf einer deka-logarithmischen Einteilung. Die Erdbebenstärke steigt daher von Stufe zu Stufe exponentiell.

  • Dezibel (dB)

Messung des Schalldruckpegels, der elektronischen Dämpfung, etc.

  • Sternhelligkeiten

werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.

Die logarithmische Spirale

Eine logarithmische Spirale ist eine Spirale, die mit jeder Umdrehung den Abstand von ihrem Mittelpunkt, dem Pol, um den gleichen Faktor vergrößert. In umgekehrter Drehrichtung schlingt sich die Kurve mit abnehmendem Radius immer enger um den Pol. Jede Gerade um den Pol schneidet die logarithmische Spirale stets unter dem gleichem Winkel. Wegen dieser Eigenschaft spricht man auch von einer gleichwinkligen Spirale.

Logarithmic spiral.svg

In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, wie beispielsweise durch Wachstum entstandene Schneckenhäuser, die Anordnung von Kernen in der Blüte einer Sonnenblume, die Form einer Spiralgalaxie bzw. eines Tiefdruckwirbels:

Beispiele.jpg