Eine kleine Einführung in die Integralrechnung

Lernpfad Der folgende Lernpfad gibt eine kurze, nicht vollständige Einführung in die Integralrechnung in der Jahrgangsstufe 12, sowohl für den Grund- als auch für den LeistungskursMathematik. Kurzinfo Diese Seite gehört zu mathematik-digital. zur Linkdatenbank Der Lernpfad wurde im Zuge der Unterrichtspraktischen Prüfung für das zweite Staatsexamen entwickelt und wird im Unterricht der Jahrgangsstufe 12 eingesetzt werden.

Bearbeite den Lernpfad in der vorgesehenen Reihenfolge. Du kannst Dir jederzeit die Lösungen der Aufgaben anzeigen lassen. Ich empfehle Dir aber dies erst nach der Bearbeitung der Aufgaben zu tun.
Alle Aufgaben sind in schriftlicher Form im Heft festzu halten, damit Du jederzeit darauf zugreifen kannst!

So jetzt geht es endlich los!

Erst einmal etwas zum Aufwärmen.

Aufgabe 1 Eine Rangierlok steht 100 Meter hinter dem Bahnhof "Hasenweide" am Mittleren Haltesignal. Zeichne ein Diagramm, dass die Geschwindigkeit $v$ der Lok wiedergibt, wobei positives $v$ die Bewegung "vorwärts", negatives $v$ die Bewegung "rückwärts" bedeutet. Die Geschwindigkeit $v$ wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s), die Zeit $t$ in Sekunden (s) gemessen. Sie beschleungt in der ersten 4 Sekunden auf ihre Höchstgeschwindigkeit von 10 m/s, um in den nächsten 3 Sekunden wieder bis zum Stillstand abzubremsen. (...) Die untenstehende Tabelle gibt die Geschwindigkeiten der Lok an.

Tabelle zur Geschwindigkeit der Rangierlok

	Geschwindigkeit [in m/s]	Zeitpunkt [in s]
	0	0
	10	4
	0	7
	0	9
	-6	12
	-7	14
	-6	16
	0	18
	0	20
	5	22
	5	24
	0	25
	0	26
	-3	28
	0	30

a) Nutze sie um den Graph der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion zu skizzieren!
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b) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich die Lok vorwärts bzw. rückwärts?
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Lösung Bewegung vorwärts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für   $0 \leq t \leq 7$   und   $20 \leq t \leq 25.$ Bewegung rückwärts wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für   $9 \leq t \leq 18$   und   $26 \leq t \leq 30.$

b) Wann hat die Lok die größte Geschwindigkeit vorwärts bzw. rückwärts erreicht?
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Lösung Größte Geschwindigkeit vorwärts am Hochpunkt des Graphen für $t = 4.$ Größte Geschwindigkeit rückwärts am Tiefpunkt des Graphen für $t = 14.$

c) Wann wird die Rangierlok schneller, wann wird sie langsamer?
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Lösung Bewegung nach rechts: Lok wird schneller bei positiver Steigung des Graphen: $0 \leq t \leq 4 \ ; \ 20 \leq t \leq 22$ Lok wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen: $4 \leq t \leq 7 \ ; \ 24 \leq t \leq 25$ Bewegung nach links: Lok wird schneller bei negativer Steigung des Graphen: $9 \leq t \leq 14 \ ; \ 26 \leq t \leq 28$ Lok wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen: $14 \leq t \leq 18 \ ; \ 28 \leq t \leq 30$

d) Gib eine Schätzung für die Breite des Rangierbahnhofes an unter der Voraussetzung, dass die Lok zum Zeitpunkt t = 7 die Bahnhofsgrenze erreicht hat.
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Lösung Strecke vom mittleren Signal bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 35m. Somit ergibt sich eine Bahnhofsbreitebreite von ca. 70m.

e) Im letzten Aufgabenteil hast Du ausgehend von der von der Lok zurückgelegten Strecke die Grundstücksbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?
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Lösung Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. Dabei ist die zurückgelegte Strecke vorwärts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse oberhalb der x-Achse und die zurückgelegte Strecke rückwärts ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse unterhalb der x-Achse!

f) Befindet sich die Lok nach 30 Sekunden vor oder hinter dem Mittleren Signal?
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Lösung Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse oberhalb der x-Achse etwas größer ist als derjenige unterhalb der x-Achse, befindet sich die Lok vor von dem mittleren Signal.

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