Exponential- und Logarithmusfunktionen

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Herzlich willkommen zum Lernpfad zu Exponential- und Logarithmusfunktionen!

In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von verschiedenen Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem verschoben, gestreckt bzw. gestaucht und gespiegelt werden können. In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit den Exponential- und Logarithmusfunktionen auseinandersetzen.

Kompetenzen

Du kennst bereits:

  • verschiedene Begriffe / Eigenschaften im Zusammenhang mit Funktionen allgemein (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, ...),
  • lineare Funktionen allgemein und abschnittsweise definierte (lineare) Funktionen sowie
  • Transformationen im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (Verschiebung auf der x- und auf der y-Achse, Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x- und y-Achse sowie Spiegelungen an der x- und y-Achse).

Nach Bearbeitung dieses Pfades:

  • kannst du wichtige Eigenschaften der Exponential- und Logarithmusfunktionen erläutern.
  • weißt du, wie du diese Funktionen auf der x- und y-Achse verschieben kannst.
  • weißt du, wie du diese Funktionen in Richtung der x- und der y-Achse strecken bzw. stauchen sowie an der x- und y-Achse spiegeln kannst.
  Und nun ....


Viel Spaß beim Bearbeiten!!


Kurzinfo
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Inhaltsverzeichnis

Infos vor Beginn

1) Lerntagebuch:
Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein Lerntagebuch führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen.

Folgende Bestandteile sollte das Tagebuch haben:
1) Standortbestimmung: Was weiß ich bereits über Funktionstransformationen im Allgemeinen? Weiß ich bereits etwas über die zu bearbeitenden Funktionsarten?
2) Ein Eintrag nach jeder Stunde während der gesamten Unterrichtseinheit - mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:

  • Was habe ich gelernt? Was habe ich gut verstanden, welche Fragen sind noch offen? Welche Schwierigkeiten sind bei der Lösung aufgetreten?
  • An welchen Stellen habe ich etwas für mich Neues gelernt? Hatte ich Aha-Erlebnisse?
  • Bin ich mit meiner Arbeit zufrieden? Habe ich mein Arbeitsziel in dieser Stunde erreicht? Wenn nicht, woran lag es?
  • Wie habe ich mich in dieser Stunde im Unterricht oder in der Gruppenarbeit beteiligt? Welche Note würde ich mir geben?

3) Abschlusskommentar zu jeder Phase der Unterrichtseinheit:
4) Allgemeine Beurteilung der Einheit: Waren Aufbau und Material sinnvoll (speziell die Lernpfade)?
5) Abschlussprodukt: Funktionenbild mit Erläuterung


2) Allgemeine Hinweise:

  • Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
  • Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du allein bzw. ihr zu zweit bei der Aufgabe nicht mehr weiter kommt - versucht es zuerst ohne Hilfe!
  • Für die versteckten Lösungen gilt: Schau sie dir erst an, wenn du die Aufgabe gelöst hast - sie dienen nur der Kontrolle!
  • Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.



Exponentialfunktionen

Definition der Exponentialfunktionen

Bevor es richtig losgeht, zuerst einmal eine allgemeine Definition der Exponentialfunktion, damit du überhaupt weißt, worum es im Folgenden gehen soll:

Definition


Eine Funktion der Form f(x) = b^x mit b\in R für b > 0 und b \neq 1 heißt Exponentialfunktion.


Falls du in der Klasse 9 noch keine Exponentialfunktionen untersucht hast, eine kurze Info: Im Unterschied zu allen anderen Funktionen, die du bisher kennen gelernt hast, steht das x bei Exponentialfunktionen im Exponenten. Solche Funktionen dienen der Beschreibung von Prozessen in der Natur und der Gesellschaft, wie z. B. dem Wachstum von Bakterienkulturen, zur Beschreibung des Bevölkerungswachstums oder auch zur Beschreibung von radioaktivem Zerfall. Eine bestimmte Ausgangsgröße wächst oder fällt dabei pro Zeitabschnitt jeweils um den gleichen Faktor a - ein Beispiel: Eine Bakterienkultur mit anfangs 50 Bakterien wächst stündlich um den Faktor 2 (= verdoppelt sich stündlich), d. h. nach einer Stunde hat sich die Bakterienmenge auf 100 Bakterien, nach 2 Stunden auf 200, nach 3 Stunden auf 400 und nach 4 Stunden auf 800 Bakterien vergrößert.

Wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktionen

Zuerst einmal kannst du dich im Folgenden mit verschiedenen Exponentialfunktionen vertraut machen:

  Aufgabe 1  Stift.gif

Untersuche den Einfluss der Basis b auf den Verlauf des Graphen:

  • Welche Fälle lassen sich für b unterscheiden? Beschreibe jeweils, wie der Graph verläuft und gib an, welche Art von Prozess damit beschrieben werden kann.
  • Welche Eigenschaften kannst du den Graphen ansonsten über Exponentialfunktionen im Allgemeinen entnehmen? Falls du Hilfe brauchst, nutze den versteckten Hinweis.

Untersuche die Graphen hinsichtlich ihrer Definitions- und Wertemenge. Existieren Nullstellen oder weitere besondere Punkte? Stelle Vermutungen zu möglichen Symmetrien bzw. zum Verhalten für sehr große und sehr kleine x auf.


Alle Fragen beantwortet? Dann noch eine kleine Begriffsdefinition:

Wie du bei der Bestimmung der Definitions- und Wertemenge (hoffentlich) herausgefunden hast, sind die Exponentialfunktionen definiert auf R, die Wertemenge beschränkt sich allerdings auf positive Zahlen. Für kleiner werdende x nähert sich der Graph sozusagen von oben immer mehr der x-Achse an, aber er erreicht sie nie.

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Geraden, der sich Exponentialfunktionen immer weiter annähern (hier also die x-Achse) haben einen speziellen Namen: Sie heißen Asymptoten. Bei der Asymptote einer Funktion handelt es sich aber nicht unbedingt um eine der beiden Achsen. Verschiebst du den Graphen im Koordinatensystem, verschiebt sich dementsprechend auch die Asymptote.
Im weiteren Verlauf der Oberstufe wirst du noch weitere Funktionen kennenlernen, die Asymptoten besitzen, deshalb solltest du dir diesen Begriff gut merken.


Nun sollst du einmal selbst Exponentialfunktionen zeichnen:

  Aufgabe 2  Stift.gif

Betrachte die Funktionen f(x) = 1,5^x, g(x) = 2^x und h(x) = 3^x auf dem Intervall -4 \le  x \le 4.

  • Zeichne die zugehörigen Graphen mithilfe einer Wertetabelle in dein Lerntagebuch.

Hier findest du ein Bild mit den drei Funktionen - bevor du weiterarbeitest, überprüfe, ob du richtig gezeichnet hast.

Bilder zur Überprüfung.jpg
  • Gib an, für welche x-Werte folgende Beziehungen gelten:
    • f(x) = g(x) = h(x)
    • f(x) < g(x) < h(x)
    • f(x) > g(x) < h(x)
  • Vergleiche die Graphen der Funktionen: Wie hängt das Steigungsverhalten einer Exponentialfunktion von der Basis ab?


Hier nun eine kleine Übung zum Erkennen von Exponentialfunktionen


  Aufgabe 3  Stift.gif

Untersuche die folgenden 4 Bilder: Vergleiche jeweils die Graphen der Funktionen. Was stellst du fest? Überprüfe deine Erkenntnisse an selbstgewählten Beispielen mit GeoGebra. Unter den Bildern findest du auch noch einen Hinweis, falls du allein nicht weiter kommst.


Exp Bild 1.jpg Exp Bild 2.jpg
Exp Bild 3.jpg Exp Bild 4.jpg

In welcher Beziehung müssen die Basen bzw. die Exponenten zweier Funktionen stehen, damit ihre Graphen symmetrisch zur y-Achse sind? In welcher Beziehung stehen beispielsweise f(x) = 3^{-x} und g(x) = (\frac {1}{3})^x zueinander?



Ein kleines Quiz zur Überprüfung: Kreuze an, welche Aussagen jeweils auf die Funktion zutreffen.

1. f(x) = (\frac{3}{5})^x

Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / 1).
Alle Funktionswerte sind positiv.
Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.

2. g(x) = (\frac{5}{3})^x

Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / 1).
Alle Funktionswerte sind positiv.
Der Graph stellt die Spiegelung von f(x) an der y-Achse dar.

3. h(x) = (\frac{3}{5})^{-x}

Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Alle Funktionswerte sind positiv.
Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
Der Graph entspricht dem Graphen zu f(x).
Der Graph entspricht dem Graphen zu g(x).

4. i(x) = -(\frac{3}{5})^x

Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / 1).
Alle Funktionswerte sind positiv.
Der Graph ist eine Spiegelung von f(x) an der x-Achse.

5. j(x) = 3^x

Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / 1).
Alle Funktionswerte sind positiv.
Die Steigung des Graphen ist geringer als bei f(x).

6. k(x) = -3^x

Die Funktion ist exponentiell wachsend.
Die Funktion ist exponentiell fallend.
Der Graph geht durch den Punkt (0 / -1).
Alle Funktionswerte sind negativ.
Der Graph ist eine Spiegelung von j an der x-Achse.

Punkte: 0 / 0


Zusammenfassung

  Aufgabe 4  Stift.gif

Stelle zusammenfassend eine tabellarische Übersicht auf, die die Eigenschaften aller möglichen Exponentialfunktionen der Form f(x) = b^x (also die sogenannte Grundfunktion) gegenüberstellt. Nutze dazu die Pdf20.gif Tabelle. Nach Bearbeitung des zweiten Kapitels - also den Logarithmusfunktionen - kannst du diese Eigenschaften auch noch in der Tabelle ergänzen.



Transformationen

Bislang hast du dich lediglich mit der sogenannten Grundfunktion der Exponentialfunktionen beschäftigt. Nun sollst du dich näher mit möglichen Transformationen, d. h. Verschiebungen, Streckungen und Stauchungen sowie Spiegelungen von Exponentialfunktionen beschäftigen.


Erinnere dich zurück an die quadratischen Funktionen: Dort hast du mit der Normalparabel als "Grundfunktion" gearbeitet und inzwischen weißt du, wie diese Grundfunktion transformiert werden kann.

  Aufgabe 5  Stift.gif

Beantworte folgende Fragen in deinem Lerntagebuch. Versuche erst, die Fragen aus dem Kopf zu beantworten - wenn du Hilfe brauchst, nutze die versteckten Informatioen unten. Ansonsten kannst du mit ihrer Hilfe deine Ergebnisse überprüfen.

  1. Wie erreichst du eine Streckung bzw. Stauchung von f(x) = x^2? Betrachte alle verschiedenen möglichen Fälle.
  2. Wie kannst du diese Funktion nun in y-Achsenrichtung (d. h. also nach oben oder unten) verschieben?
  3. Wie musst du die Funktionsgleichung verändern, wenn du zusätzlich noch eine Verschiebung in x-Achsenrichtung vornehmen willst?
  4. Letzte Frage: Nachdem du nun eine zusammenfassende Funktionsgleichung aufgestellt hast, wie kannst du diese an der x-Achse spiegeln?


→ Hinweis Aufgabe 5

Nun sollst du versuchen, diese Informationen auf Exponentialfunktionen zu übertragen:

  Aufgabe 6  Stift.gif

Finde heraus, ob die mathematischen Operationen, die für die Transformationen bei quadratischen Funktionen gelten, auch für Exponentialfunktionen gelten. Stelle zuerst Vermutungen an, durch welche Veränderungen in der Funktionsgleichung du (ausgehend von der Grundfunktion f(x) = b^x)

  • eine Streckung bzw. Stauchung der Funktion in Richtung der y-Achse,
  • eine Verschiebung in Richtung der y-Achse sowie
  • eine Verschiebung in Richtung der x-Achse und
  • eine Spiegelung an der x-Achse

hervorrufen kannst. Erläutere deine Vermutungen im Lerntagebuch und überprüfe mit den folgenden Dateien.
Streckung / Stauchung in Richtung der y-Achse

→ Hinweis Aufgabe 6


Eine weitere Transformationsart wurde bislang noch nicht betrachtet:

  Aufgabe 7  Stift.gif

Gegeben ist die Funktion f(x) = 2^x. Bestimme g(x) = f(cx) mit c = 4 und zeichne die zwei Graphen in ein Koordinatensystem. Welche Art von Transformation liegt vor?
Untersuche g(x) = f(cx) für c < 0. Was stellst du fest? Welche Fälle für c lassen sich insgesamt unterscheiden? Überprüfe deine Vermutungen mit selbstgewählten Beispielen: GeoGebra. Notiere 5 Beispiele (mit Erläuterung) in deinem Lerntagebuch.


  Aufgabe 8  Stift.gif

Fabian und Christina diskutieren. Christina behauptet: "Ich habe vorhin eine Entdeckung gemacht. Für Exponentialfunktionen gilt: f(x + d) = f(x) \cdot b^d und f(x - d) = \frac{1}{b^d}f(x)."
Fabian entgegnet: "Das ist ja wieder mal typisch Mädchen - keine Ahnung von Mathe! f(x) \cdot b^d gibt doch eine Streckung in Richtung der y-Achse und f(x + d) eine Verschiebung in Richtung der x-Achse an. Das kann doch gar nicht gleich sein!"

Schlichte den Streit: Wer hat Recht? Wähle Beispiele und überprüfe die Behauptungen mithilfe von einigen selbstgewählten Beispielen - zeichne mit GeoGebra und erläutere in deinem Lerntagebuch.

Mit deinen Beispielen hast du herausgefunden, dass Christina Recht hat und die Gleichungen gültig sind.

Zusatzaufgabe: Beweise die Gültigkeit der Gleichungen am Beispiel rechnerisch, indem du von der linken Seite ausgehst und die Gleichung mithilfe der Potenzgesetze umformst, so dass du die rechte Seite der Gleichung erhälst. Die Potenzgesetze kannst du in deiner Formelsammlung nachschlagen.


  Aufgabe 9  Stift.gif

Fasse deine Ergebnisse zusammen:
1) Fülle die Pdf20.gif Tabelle mit den Transformationsarten aus, die du kennen gelernt hast. Liste in der Tabelle einzeln auf, wie du die einzelnen Transformationen jeweils in die Funktionsgleichung einbauen kannst.
2) Kannst du eine allgemeine Funktionsgleichung für Exponentialfunktionen aufstellen, an der du alle möglichen Transformationen direkt ablesen kannst? Erläutere an einem Beispiel in deinem Lerntagebuch. Denke dabei daran, was du gerade herausgefunden hast: Die Verschiebung in Richtung der x-Achse braucht nicht extra betrachtet zu werden, weil du denselben Effekt durch eine Streckung / Stauchung in y-Achsenrichtung erreichen kannst.


Eine solche allgemeine Gleichung lautet: f(x) = ab^{cx} + e. Eine Spiegelung an der x-Achse kannst du erreichen durch f(x) = -[ab^{cx} + e].


Logarithmusfunktionen

Definition der Logarithmusfunktionen

Vielleicht kennst du aus der Klasse 9 bereits die Logarithmen, einerseits allgemein zur Basis b und im speziellen den sogenannten Zehnerlogarithmus, mit dem du u. U. schon gerechnet hast. Aber zuerst noch einmal die allgemeine Definition:

Definition


Eine Funktion f der Form f(x) = \log_b (x) (sprich: Logarithmus von x zur Basis b) mit für b > 0, x > 0 heißt Logarithmusfunktion.


Vielleicht kennst du diese Funktionenklasse bereits aus der Klasse 9: Die gerade definierte Funktion zur Basis a ist die allgemeine Logarithmusfunktion - für b = 10 ergibt sich eine besondere Logarithmusfunktion, der sogenannte Zehnerlogarithmus. Mit der Taste log oder lg auf deinem Taschenrechner kannst du diesen Zehnerlogarithmus für verschiedenste Werte berechnen. Ein Funktionswert zur Funktion mit einer anderen Basis (also z. B. f(x) = \log_5(x)) lässt sich nicht so direkt mit dem Taschenrechner berechnen, sondern muss erst umgeformt werden - aber dazu später ....

Wichtige Eigenschaften der Logarithmusfunktionen

Die Logarithmusfunktion ist die sogenannte Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion g(x) = b^x und wird daher oft angegeben mit f^{-1}(x) = log_b(x) - das bedeutet graphisch: Die Logarithmusfunktion geht durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden im 1. Quadranten des Koordinatensystems (also im Prinzip an der Geraden zu y = x) aus der Exponentialfunktion hervor.

  Aufgabe 1  Stift.gif

Skizziere zuerst die Exponentialfunktionen g(x) = 2^x und anschließend die Logarithmusfunktion f(x) = \log_2 (x) durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden.


Überprüfe die Skizze mithilfe einer Wertetabelle.

Zur Erinnerung: Um log_2(x) mit dem Taschenrechner bestimmen zu können, musst du den Logarithmus umschreiben als Quotienten, da nur der Zehnerlogarithmus mit dem Taschenrechner berechnet werden kann: log_2(x) = \frac{\log (x)}{\log (2)}. Nun kannst du mithilfe der lg- oder log-Tasten des Taschenrechners die Werte bestimmen.


Unter dem folgenden Link kannst du das Werte berechnen noch etwas weiter üben.

  Aufgabe 2  Stift.gif

Untersuche nun die Graphen der Logarithmusfunktion zu verschiedenen Basen: Logarithmusfunktion.

  • Bestimme die Definitions- und Wertemenge der allgemeinen Logarithmusfunktion.
  • Existieren Nullstellen oder weitere besondere Punkte?
  • Weist der Graph Asymptoten auf?
  • Liegen Symmetrien vor?
  • Wie verhält sich die Funktion für sehr große und sehr kleine x?


Zum Abschluss ein kleiner Test: Kannst du die Graphen zuordnen?


Zusammenfassung

  Aufgabe 3  Stift.gif

Ergänze die Tabelle über die Eigenschaften der Exponentialfunktion hinsichtlich der Eigenschaften der Logarithmusfunktionen f(x) = log_b (x).



Transformationen

  Aufgabe 4  Stift.gif

Betrachte allgemein die Funktion f(x) = log_b(x). Stelle Vermutungen an, wie du den Graphen

  • mit dem Faktor c in y-Achsenrichtung strecken oder stauchen kannst.
  • um + d Einheiten in Richtung der x-Achse verschieben kannst.
  • um + e Einheiten in Richtung der y-Achse verschieben kannst.
  • an der x-Achse spiegeln kannst. Was verändert sich z. B. für f(x) = logb(x) + 3?

Überprüfe anhand selbstgewählter Beispiele mit Geogebra und notiere im Lerntagebuch. Bezüglich des Streckens / Stauchens und des Spiegelns können dir auch die folgenden zwei Links helfen: Einfluss des Streckfaktors, Spiegeln an der x-Achse


  Aufgabe 5  Stift.gif

Welche Bedeutung hat g(x) = f(cx) für den Graphen? Überprüfe mithilfe des Links und liste die unterschiedlichen Fälle auf: GeoGebra.

Durch f(bx) wird die Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse erreicht.


  Aufgabe 6  Stift.gif

Überprüfe, ob sich auch für die Logarithmusfunktionen die Streckung bzw. Stauchung in y-Achsenrichtung und die Verschiebung auf der x-Achse entsprechen. Wähle drei Beispiele und überprüfe: GeoGebra


Die Transformationsarten entsprechen sich, es ist ausreichend, eine der beiden zu betrachten.


  Aufgabe 7  Stift.gif

Stelle zwei allgemeine Funktionsgleichungen auf, anhand derer du direkt die verschiedenen Transformationsarten ablesen kannst. Da sich Streckfaktor und Verschiebung in Richtung der x-Achse durcheinander ersetzen lassen, stelle eine Gleichung auf, in der der Streckfaktor enthalten ist und eine, in der die Verschiebung auf der x-Achse angegeben wird.

Die erste Funktionsgleichung lautet: f(x) = alog_b(cx) + e; die zweite: f(x) = log_b(x - d) + e.


Zum Abschluss kannst du hier noch einmal das Zeichnen von Logarithmusfunktionen trainieren: Logarithmusfunktionen selber zeichnen.

Zusammenfassung

  Aufgabe 8  Stift.gif

Wähle je zwei Beispiele für eine Exponential- und eine Logarithmusfunktion. Erläutere in deinem Lerntagebuch jeweils die verschiedenen Transformationen und zeichne mindestens je eine der Funktionen.


Zusatzaufgabe

Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbeitung des Lernpfades fertig sein solltest, entwirf als Zusatzaufgabe ein kleines Funktionenbild oder -muster mithilfe von Exponential- und Logarithmusfunktionen. Nutze dazu Geogebra.