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Exponentialfunktionen unter Einsatz eines Casio GTR

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Lernpfad
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Im folgenden Lernpfad werden die Exponentialfunktion und deren Anwendungsbereiche, wie zum Beispiel der Zinseszins unter Einsatz eines Casio GTR behandelt.

Inhaltsverzeichnis

Zinseszins

An einer grundlegenden Anwendung, der Berechnung des Zinseszins, wird einführend erklärt, welche Rechenvorteile die Exponentialfunktion bieten kann.


Stift.gif   Aufgabe
Ein Mann hat 1000 Euro für 10 Jahre bei einer Bank angelegt, bei der er 3 % Zinsen pro Jahr erhält. Ermittel wie viel Geld er nach den besagten 10 Jahren auf seinem Sparkonto hat.
Gegeben:
K_0 = 1000€
n = 10 Jahre
p% = 3%


Gesucht:
K_n


Diese Aufgabe ohne eine Exponentialfunktion zu lösen, wäre relativ aufwendig:

Formel:
K_1=K_0* (1+(\frac{p}{100}))
K_2=K_1* (1+(\frac{p}{100}))
...
K_n=K_{n-1}* (1+(\frac{p}{100}))


Rechnung:
K_1=1000*(1+(\frac{3}{100}))     = 1030
K_2=1030*(1+(\frac{3}{100}))     = 1060,9
...
K_{10}=1304,8* (1+(\frac{3}{100})) = 1343,9


Allerdings ist sie mit einer Exponentialfunktion mit einer einzelnen Rechnung zu lösen, da im Gegensatz zu Potenzfunktionen die Variable hier im Exponenten, statt in der Basis liegt:

Formel:
K_n=K_0* (1+(\frac{p}{100}))^n


Rechnung:
K_{10}=1000* (1+(\frac{3}{100}))^{10} = 1343,9

Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen Exponential- und E-Funktion

Grundformel

Exponentialfunktion: f(x)=a^x
E-Funktion: f(x)=e^{k*x}

wobei e die "Euler'sche Zahl" ist. Diese Zahl hat den ungefähren Wert 2,718. Ihre Exponentialfunktion bleibt beim Ableiten immer gleich, dazu aber in Kapitel 4 "Ableitungsregel" mehr. Vorher soll geklärt werden: Warum gerade diese Zahl?


Existenz und Eindeutigkeit von e

Exponentialfunktionen der Form a^x sehen, wie in der folgenden Graphik zu erkennen alle sehr ähnlich aus und unterscheiden sich lediglich in ihrer Steigung.

f_1(x) = 2^x in grün
f_2(x) = 4^x in rot
A^x und x+1.jpg

Je größer a also ist, umso schneller steigt die Funktion und umso enger liegt sie an der x- und y-Achse an.

Außerdem ist in der obigen Graphik gut zu sehen, dass jede der beiden Funktionen der Form f(x) = a^x zwei Schnittpunkte mit der Geraden f_3(x) = x+1 (in schwarz) hat.
Das sagt uns, dass es einen Bereich

  • mit positiven x-Werten gibt, für die 2^x kleiner als x+1 ist und einen
  • mit negativen x-Werten gibt, für die 4^x kleiner als x+1 ist.


Wenn man jetzt aber zum Beispiel das a von f_1(x) = 2^x langsam von 2 auf 4 erhöhen würde, gäbe es einen Punkt, an dem diese Funktion nur einen Schnittpunkt mit der Geraden f_3(x) = x+1 hat.
In diesem Fall wäre die Gerade f_3(x) eine Tangente von f_1(x).

Das a bei dem dies geschieht beschreibt die Zahl e. Im der folgenden Graphik ist dieser Fall zu sehen.

E-Funktion mit Tangente.png

Nun ist auch klar, dass es nur einen derartigen a-Wert gibt, da bei einem größeren a wieder ein zweiter Schnittpunkt, wie bei der Funktion f_2(x) = 4^x entstehen würde.


Berchnung von e

Um e nun berechnen zu können, wird noch einmal die zweite Graphik benötigt. Hier kann man nämlich die Gleichung e^x = x+1 aufstellen, dessen Ergebnis ja genau ein Punkt ist.

Für das Näherungsverfahren für e ist allerdings folgende Beschriftung notwendig:

a^u = 1+u

Wenn diese Gleichung nun nach a aufgelöst wird erhalten wir

a = (1+u)^{1/u}

Wenn man die Werte für u jetzt kleiner werden lässt, geht a gegen e.

Um immer kleinere u betrachten zu können, kann man u = 1/n setzen, wobei n für alle natürlichen Zahlen steht.

Wird nun also n in

a = (1+1/n)^n

immer größer, geht a gegen e.


So ergibt sich für

n = 10 -> a = 2,5937,

für

n = 1000 -> a = 2,7169

und für

n = 10000 -> a = 2,7181,

was e = 2,7182818284... schon sehr nahe kommt.


Maehnrot.jpg
Merke:

 e \approx 2,718

graphische Darstellung

Im folgenden Koordinatensystem werden fünf verschiedene Funktionen des Typs f(x)=a^x dargestellt. Diese haben allesamt unterschiedliche Basen:

f_1(x)=1,5^x, f_2(x)=2^x, f_3(x)=2,5^x, f_4(x)=e^x, f_5(x)=3^x


Exponential- und e-Funktion.png


Durch diese Graphen lassen sich die Auffälligkeiten der Exponentialfunktion sowie der e-Funktion gut beschreiben.

  • So nähern sich die Funktionen bei beliebig großen negativen x-Werten immer weiter der x-Achse, gehen also gegen Null.
  • Bei beliebig großen positiven x-Werten gehen die Funktionswerte gegen unendlich.


Maehnrot.jpg
Merke:

\lim_{x\to-\infty} a^x = 0
\lim_{x\to\infty} a^x   = \infty

Umwandlung einer Exponentialfunktion in eine e-Funktion und umgekehrt

Für das k der Grundformel der e-Funktion (f(x)=e^{k*x}) lässt sich immer ein Wert finden, sodass a = e^k ist. Dies lässt sich mithilfe eines Casio GTR oder eines natürlichen Logarithmus berechnen.


Gegeben:
f(x) = a^x
a = 1,25
a = e^k

Erstes Beispiel mithilfe des Casio GTR

nun muss die Funktion a = e^k (entspricht f(x) = e^k) in den GRAPH-Modus eingetippt und folgendes berechnet werden:
GTR/GRAPH/G-SOLV/X-CAL
y = 1,25
da der Wachstumsfaktor a der Exponentialfunktion hier 1,25 ist und e^k = 1,25 sein soll, damit k ermittelt werden kann.
Gsolv.jpg
Für x erhalten wir etwa 0,22314. Dies ist also unser k, welches wir nun in die Form f(x) = e^{k*x} einsetzen können:
f(x) = e^{0,22314*x}


Zweites Beispiel mithilfe des natürlichen Logarithmus

f(x) = a^x
a = 1,25
nun können wir mithilfe des natürlichen Logarithmus (ln-Taste auf dem TR) sofort b im normalen Taschenrechnermodus berechnen:
Maehnrot.jpg
Merke:
lna = k denn e^k = a,

lna ist also die Umkehrfunktion vone^k
Ln1.25.jpg
hier erhalten wir natürlich auch etwa 0,22314, was ebenfalls zu der Funktion f(x) = e^{0,22314*x} führt.


Wie man in den folgenden beiden Graphiken sehen kann sind f(x) = 1,25^x und f(x) = e^{0,22314*x}, abgesehen von numerischen Ungenauigkeiten auch tatsächlich identisch.


F(x)=1.25^x.jpg F(x)=e^0,22*x.jpg


Um nun aus einer e-Funktion eine Exponentialfunktion zu errechnen benötigt man lediglich die bereits genannte Gleichung: e^k = a. So ist beispielsweise e^{0,22314} = 1,25, wie auch bereits bestätigt wurde.

Halbwerts- und Verdopplungszeit

Mit Exponentialfunktionen lassen sich Sachverhalte mit exponentiellem Wachstum bzw. exponentieller Abnahme veranschaulichen. Hierbei spielt die Verdopplungs- bzw. Halbwertszeit eine große Rolle, da sie in vielen Fragestellungen berechnet werden müssen. So wird im Folgenden die Verdopplungs- bzw. Halbwertszeit eines Kapitals berechnet.


Stift.gif   Aufgabe
Peter hat zu seinem Geburtstag ein Sparkonto mit 100€ geschenkt bekommen. Das Kapital wird mit 12% Zinsen pro Jahr verzinst. Wie lange dauert es, bis sich das Kapital verdoppelt hat?


Gegeben:
K_0 = 100€
p% = 12% (p = a = 1,12)
K_n = 200€


Gesucht:
T_V


Beispiel Nr. 1 mithilfe der Formel

Formel:
K_n = K_0 * p^{T_V}


Rechnung:
200 = 100 * 1,12^{T_V}
2 = 1,12^{T_V}
Nun muss für y nach 2 gesucht werden um die Unbekannte T_V zu erhalten.
GTR/GRAPH/G-SOLV/X-CAL
y = 2
Y=2.jpg
x = T_V = 6,1163


Antwort: Nach 7 Jahren wird sich das Kapital verdoppelt haben.


Mit einer e-Funktion geht das natürlich genauso.


Beispiel Nr. 2 mithilfe des natürlichen Logarithmus

Formel: T_V = \frac{ln2}{k}
Rechnung:
Zuerst muss mit der bereits bekannten Formel lna = k k berechnet werden:
lna = k
ln1,12 = k
Ln1.12.jpg
Jetzt kann k eingesetzt werden:
T_V = \frac{ln2}{k}
T_V = \frac{ln2}{0,11333}
Ln0.5.jpg
Antwort: Nach 7 Jahren wird sich das Kapital verdoppelt haben.

Um die Halbwertszeit zu berechnen benutzt man ganz einfach die Formel T_H = \frac{ln0,5}{k}. Diese Formel führt aber natürlich zum gleichen Ergebnis wie T_V = \frac{ln2}{k}, da Verdopplung und Halbierung den gleichen Faktor besitzen.


Maehnrot.jpg
Merke:

T_V = \frac{ln2}{k}
T_H = \frac{ln0,5}{k}

Übungsaufgabe

1.: Peter hat zu seinem Geburtstag ein Sparkonto mit 100€ geschenkt bekommen. Das Kapital wird mit 12% Zinsen pro Jahr verzinst. Wielange dauert es, bis sich das Kapital verdoppelt hat? Berechne dies mithilfe einer e-Funktion!

Ableitungsregel

Zum Ableiten einer e-Funktion benötigt man grundlegend erstmal eine Regel. Das Ableiten wird benötigt um Aussagen über das Wachstum von Funktionen zu machen.

Kettenregel

allgemeine Form:
(g(h_{(x)}))' = h'_{(x)} * g'_{(h)}
Beispiel:
e^{x^2-3}


hier ist x^2-3 = h_{(x)}
die Ableitung von x^2-3 ist also 2x


g_{(h)} ist hier e^{x^2-3}
da die Ableitung von e^x immer gleich ist, ist hier die Ableitung e^{x^2-3} also g'_{(h)} identisch mit g_{(h)}


h'_{(x)} * g'_{(h)} ist hier also 2x * e^{x^2-3}


Maehnrot.jpg
Merke:

(g(h_{(x)}))' = h'_{(x)} * g'_{(h)}

Übungsaufgaben

Leite die folgenden Funktionen ab.
1.: f(x) = e^{x^2-5}
2.: f(x) = e^{sinx}
3.: f(x) = e^{cosx}
4.: f(x) = e^{(cosx)^2+5}

Wachstumsgeschwindigkeit

Die Wachstumsgeschwindigkeit wird durch die erste Ableitung einer Funktion bestimmt und spielt eine große rolle in der Analysis da durch sie Extrem- und Wendepunkte sehr einfach zu errechnen sind. Im folgenden Beispiel wird gezeigt wie man die Wachstumsgeschwindigkeit einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnet.


Stift.gif   Aufgabe
Berechne die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienkultur, deren Wachstum durch die Funktion f(x) = e^{0,0347x} (x in Minuten) beschrieben werden kann nach 2 Stunden und erkläre diesen Wert. Bestimme außerdem den Wert von f(x)
nach 2 Stunden.


Gesucht:
Wachstumsgeschwindigkeit nach 2 Stunden (120 Minuten)
f(x) nach 2 Stunden (120 Minuten)


Rechnung 1:
f'(x) = (e^{0,0347x})'
f'(x) = 0,0347*e^{0,0347x}
GTR/GRAPH/G-SOLV/Y-CAL
Wachstumsgeschwindigkeit.jpg
Antwort: Die Änderungsrate nach zwei Stunden beträgt 2,232 "Zellteilungen"/Minute. Der Wert gibt also die Änderung der Anzahl der Bakterienzellen pro Minute an.


Rechnung 2:
f(x) = e^{0,0347x}
nun muss für x 120 (Minuten) eingesetzt werden, um den gesuchten Wert für f(x) zu erhalten.
Dies geht am einfachsten mithilfe des TABLE-Modus des Taschenrechners.
Hierzu muss die Funktion f(x) in diesem Modus eingegeben und anschließend für den Wert x = 120 gesucht werden.
GTR/TABLE/EXE/
x = 120
Table.jpg
y = 64,328
Antwort: Nach 2 Stunden sind etwa 64 Bakterienkulturen vorhanden.


Auf diese Weise können Werte für f(x) am Effektivsten ermittelt werden, sie können aber genauso im GRAPH-Modus über G-SLV\Y-CAL ermittelt werden,
genauso wie x-Werte über X-CAL ermittelt werden können.



Tangentengleichung

Stift.gif   Aufgabe
Aufgrund zu geringer Nährstoffzufuhr kann diese Bakterienkultur ab der zweiten Stunde nur noch linear weiterwachsen. Berechne den weiteren linearen verlauf in Form einer linearen Funktion.


Gegeben:
Steigung nach 2 Stunden: 2,232 "Zellteilungen"/Minute
Punkt P (120;64,33)
Steigung m = 2,232


Gesucht:
Tangentengleichung durch den Punkt P mit der Steigung m


Formel:
f(x) = m * x + b


Nun müssen der Punkt P und die Steigung m eingesetzt werden, damit b berechnet werden kann:
Rechnung:
64,33 = 2,232 * 120 + b
64,33 = 267,84 + b
-203,51 = b


f(x) = 2,232 * x - 203,51
Tangentengleichung.jpg


Antwort: Die Tangentengleichung lautet f(x) = 2,232 * x - 203,51.


Anwendungsbeispiele

Wie schon erwähnt gibt es viele Anwendungsbeispiele für Exponential und e-Funktionen, wie zum Beispiel in der Naturwissenschaft zum beschreiben von Versuchsabläufen, wie das Wachstum von Bakterienkulturen, oder den Zerfall von radioaktivem Material. Im Folgenden werde ich diese und weitere Beispiele anhand von Übungsaufgaben deutlich machen.


1.: Die folgende Aufgabe ist aus den Aufgaben des Zentralabiturs 2009 entnommen.


1) Die Höhe eines Strauches in den ersten zwanzig Tagen nach dem Auspflanzen wird durch
die Funktion h mit der Funktionsgleichung h(t) = 0,2 * e^{0,1t−0,9} (t in Tagen, h(t) in Metern)
beschrieben. Vom Beginn des 21. Tages an (t = 20) verringert sich die Wachstumsgeschwindigkeit
des Strauches. Von diesem Zeitpunkt an ist nur noch die Zuwachsrate bekannt, sie
wird beschrieben durch die Funktion z mit der Funktionsgleichung z(t) = 0,02 * e^{-0,1t+3,1}.
a) Berechnen Sie den Funktionswert von h an der Stelle t = 0 und interpretieren
Sie diesen Wert im Sachzusammenhang. Geben Sie anhand der Abbildung an,
zu welchem Zeitpunkt der Strauch eine Höhe von 50 cm hat.
Bestimmen Sie den Wert rechnerisch.
Strauch Funktion.png


b) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt t innerhalb der ersten zwanzig Tage (0 ≤ t ≤ 20) ,
an dem die Pflanze am schnellsten wächst. Berechnen Sie die zugehörige Wachstumsgeschwindigkeit.
Begründen Sie, warum die angegebene Funktion h nur für einen begrenzten Zeitraum die
Höhe der Pflanze beschreiben kann.


c) Bestimmen Sie, wie groß der Strauch am Ende des 20. Tages ist.



2.: Radioaktiver Zerfall
Der radioaktive Zerfall vom Cäsium-Isotop 131Cs lässt sich durch die Funktion c(t) = 2000 * e^{-0,0715t} (t in Tagen; c(t) in Gramm) beschreiben.
a) Gib an, wie groß die Masse des Cäsium-Isotops zu Beginn des Zerfalls war.
b) Berechne die Halbwertszeit des Cäsium-Isotops.
c) Bestimme die nach 6 Tagen bereits zerfallenen Masse.