Extremwertaufgaben

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Lernpfad
Kurzinfo
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Im folgenden Lernpfad wird mit Hilfe dynamischer Veranschaulichung gezeigt, wie man Schritt für Schritt Extremwertaufgaben löst.

  • Zeitbedarf: eine Unterrichtsstunde/mehrere Unterrichtsstunden
  • Material: Arbeitsblatt
  • Hinweis:


Was versteht man unter einer Extremwertaufgabe?

Wie der Name schon sagt, sind dies Aufgaben, in welchen der Wert einer Zielfunktion Z gesucht ist, damit ein weiterer Wert N, der die Zielfunktion Z beeinflußt, "extrem" klein oder groß wird. Mit Hilfe der Infinitesimalrechnung können solche Aufgaben gelöst werden.

Grundlegend für Extremwertaufgaben ist, dass es immer

  • eine Zielfunktion Z gibt, deren Wert maximiert/minimiert werden soll und
  • eine Nebenbedingung N, die die Wahl der Variablen in der Zielfunktion beschränkt.
Zur Veranschaulichung des Aufgabentyps ist das Hühnerhofproblem.

Zu einem vorgegebenen Umfang eines rechteckigen Hühnerhofes sind die Längen der Seiten gesucht, damit der Flächeninhalt des Hühnerhofes am größten ist.

Hühner2007.jpg

Lösen einer Extremwertaufgabe anhand des Hühnerhofproblems

Das folgende Problem wurde nach einer Idee von Markus Hohenwarter umgesetzt, vgl. Hühnerhof

Arbeitsauftrag:
  1. Öffne die Geogebra-Datei Geogebra.png Hühnerhof
  2. Verändere durch Ziehen des roten Punktes den Flächeninhalt des Hühnerhofes. Wann ist der Flächeninhalt des Hühnerhofes am größten?
  3. Für welche Streckenlängen von [AB]ergeben sich keine sinnvollen Lösungen des Problems?
  4. Welche optimale Figur ergibt sich daher für den max. Flächeninhalt bei vorgegebener Zaunlänge?
  5. Was ist die Zielfunktion f(x) bzw. die Nebenbedingung in der obigen Aufgabestellung? Gib die Funktionsgleichung der Zielfunktion f(x) und die Variable, die Variable an, die die Zielfunktion beschränkt!
Extrema.jpg

Rezept

  1. Ansatz erstellen: Suche die im Text enthaltenen Werte und Größen heraus, die zum Lösen der Aufgabe wichtig sind und lege Bezeichnungen fest! Gegebene Größen: ...
  2. Skizze anfertigen: Fertige eine entsprechende Skizze an!
  3. Funktionsgleichung der Zielfunktion aufstellen
  4. Nebenbedingung formulieren
  5. Extremwerte ermitteln
  6. Randwerte überprüfen
  7. Übrige Größen berechnen: Mit Hilfe der Nebenbedungung alle übrigen Größen berechnen
  8. Antwort formulieren




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