Kongruenzsätze in Dreiecken

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Lernpfad

Kongruenzsätze in Dreiecken

Kurzinfo
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In diesem Lernpfad darfst du dich mit den Kongruenzsätzen über Dreiecke beschäftigen. Am Ende möchten wir, dass du die Kongruenzsätze, die du hier kennenlernst, nachvollziehen, bearbeiten und anwenden, kannst. Wir wünschen dir beim Austoben mit den verschiedenen Sequenzen viel Spaß! ;-)

  • Zeitbedarf: 40 min
  • Material: Computer (mit Programmen wie Geogebra,Acrobat Reader), Schmierblatt und einen Stift, dein Matheheft

Inhaltsverzeichnis

Vorgeschichte

Justin will in den Ferien eine Schanze für sein neues ferngesteuerten Auto bauen. Dazu geht er in den Baumarkt und fragt nach zwei Sperrholzplatten der Länge 1 m und 0,4 m. Zuhause angekommen beginnt er sofort die beiden Platten zusammen zu bauen. Abends noch lässt er sein Auto über die Schanze rasen. Am nächsten Morgen chattet er im Internet mit seinen beiden Freunden Ronny und Kevin und schwärmt ihnen von den tollen Sprüngen vor, die sein Auto bei der Fahrt über die Schanze zeigt. Sogleich beschließen die beiden Freunde, dass sie auch so eine coole Schanze brauchen und fragen Justin nach den Längen der beiden Bretter.

Voller Vorfreude auf die sensationellen Sprünge, basteln die beiden (jeder für sich) auch eine Schanze. 2 Tage später treffen die drei Freunde sich wieder beim Chatten. Während Justin immernoch voller Begeisterung von seiner Schanze schwärmt, sind Kevin und Ronny eher betrübt.

Ronny erzählt: "Mein Auto hebt überhaupt nicht ab, wenn es über die Rampe fährt!" und Kevin sagt: "Mein Auto kommt die Rampe überhaupt gar nicht hoch, obwohl ich genau das Gleiche habe wie Justin?!"


Kurz nachgedacht

Was ist beim Bau der Rampen von Kevin und Ronny jeweils schiefgelaufen?

Arbeitsauftrag 1

Zeichne auf ein Blatt Papier, wie die Schanzen von Justin, Ronny und Kevin aussehen!

Arbeitsauftrag 2

Was hätten die 3 Jungs also bei der Absprache anders machen müssen? Finde mindestens drei Möglichkeiten, wie Justin seine Schanze hätte besser beschreiben können.

Arbeitsauftrag 3

Fertige mit den bisherigen Skizzen auf den Schmierpapieren einen kurzen und ordentlichen Eintrag in deinem Matheheft an. Das heißt, fasse die Vorgeschichte stichpunktartig zusammen. Zeichne darunter die Figuren aus Arbeitsauftrag 1 und erkläre mit deinen eigenen Worten die Lösung des Problems.

Kongruenz

In diesem Teil sollst du lernen, was der Begriff "Kongruenz" bedeutet, wieso er (nicht nur in der Mathematik) wichtig ist und welche Vorteile du hast, wenn du ihn sicher anwenden kannst.

Was ist Kongruenz?

Das Wort Kongruenz leitet sich von dem lateinischen Wort congruens ( = übereinstimmend, passend )ab. Zwei Flächen (also z.B. Dreiecke) sind also kongruent, wenn man sie zur Deckung bringen kann. Stell dir vor, du hast zwei Figuren. Wenn du die eine ausschneidest und so auf die andere legen kannst, dass beide genau übereinander sind, dann sind diese beiden Figuren kongruent. Kongruente Figuren zeichnen sich folglich dadurch aus, dass entsprechende Streckenlängen und Winkelgrößen übereinstimmen.

Weißt du noch?

Im letzten Jahr hast du schon die Achsenspiegelung, die Drehung und andere Abbildungen kennen gelernt. Hiermit kannst du deiner Erinnerung (mit tollen GeoGebra-Applets und mehr) auf die Sprünge helfen!

Diese Abbildungen nennt man auch Kongruenzabbildungen.

Kannst du dir vorstellen warum? Schreibe deine Ideen in dein Heft!

Check dein Wissen

1. Welches deutsche Wort beschreibt am besten "kongruent"?

gleichförmig
flächengleich
ähnlich
deckungsgleich

2. Zwei Dreiecke die durch eine Achsenspiegelung entstanden sind, sind kongruent!

wahr
falsch

3. Zwei Dreiecke die durch eine Drehung entstanden sind, sind kongruent!

wahr
falsch

4. Kongruente Dreiecke haben stets 3 gleich lange Seiten

wahr
falsch

5. Bei kongruenten Dreiecken sind genau 3 Winkel gleich groß

wahr
falsch

6. Um kongruente Dreiecke unabhängig voneinander zu basteln benötigt man...(mehrere Antworten möglich)

immer alle 3 Seitenlängen
immer mindestens 2 Winkel
nicht zwangsläufig einen Winkel
mehr als eine Angabe

7. Es gibt einen WWW-Satz (Diese Frage solltest du erst nach Bearbeitung des nächsten Punktes beantworten)

wahr
falsch
Weiß nicht

Punkte: 0 / 0


Kongruenzsätze

In der Geometrie gibt es vier Kongruenzsätze, mit denen du schnell überprüfen kannst, ob Dreiecke kongruent sind oder nicht. Wir schreiben für Seiten S und für Winkel W.


Merksatz Definition Grafik
SSS - Satz Zwei Dreiecke, die in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen, sind kongruent. SSS Satz.jpg
WSW - Satz Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent. WSW Satz.jpg
SWS - Satz Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent. SWS Satz.jpg
SSW - Satz Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt, sind kongruent. SSW Satz.jpg


Arbeitsauftrag 4

Schreibe die vier Kongruenzsätze mit Planskizzen in dein Heft!

Übungen

Nun sollst du auch noch einmal richtig aktiv werden und dein gelerntes Wissen über Kongruenz in Aufgaben austesten. Dazu stehen dir weitere Materialseiten in Form von Hyperlinks und Aufgaben aus Schulaufgaben zur Verfügung.

Links

Nutze die Möglichkeit und schreibe dir die interessantesten und informativsten Links in dein Heft, damit du sie vor der Schulaufgabe auch schnell nochmal anschauen kannst.

- 2 mal knappe Beiträge aus Wikipedia:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Geometrie)

http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenzs%C3%A4tze

- so steht Kongruenz im Lexikon

http://lexikon.meyers.de/wissen/kongruent+%28Geometrie%29

- eine schöne prägnante Zusammenfassung liefert:

http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/geometrie/kongr/0kongruenz.pdf

Aufgaben

Entscheide dich bei den folgenden Übungen für 3 beliebige. Übertrage auch diese Aufgaben in dein Heft, damit wir in der nächsten Mathestunde über eventuelle Probleme beim Lösen reden können.


Konstruktionen

Ein wichtiger Bestandteil bei Aufgaben zur Kongruenz ist das Konstruieren eindeutig definierter Dreiecke. Versuche dich einfach mal an den folgenden Aufgaben mit einem Zirkel als Hilfsmittel

1. Konstruiere ein Dreieck aus folgenden Maßen:

 a) c =6cm, a =5,5cm,  \gamma =60°
 b) a =6cm, b =5,2cm, \beta  =52,5°


2. Von einem Schiff S aus sieht man die Spitze eines Leuchtturms unter einem Erhebungswinkel von 23°, von einem Boot B aus unter einem Erhebungswinkel von 40°. Beide Wasserfahrzeuge befinden sich genau östlich vom Leuchtturm und sind 70m voneinander entfernt. Fertige eine Zeichnung im Maßstab im 1:1000 an und ermittle die Höhe des Leuchtturms!


3. Im Punkt A eines 20° geneigten Berghanges erhebt sich eine vertikal gewachsene Tanne. Die Sonnenstrahlen, die den Hang unter einem Winkel von 40° schneiden, erzeugen hangabwärts einen Schatten von der Länge AB =5m. Für die 8. Klasse: Konstruiere die Höhe der Tanne im Maßstab 1:100! Für eine höhere Klasse: Berechne die Höhe der Tanne!


4. Warum kann mit den folgenden Größen kein Dreieck konstruiert werden?

a) a =10,3cm; b =47mm; c =5,6cm


5. Zeichne ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck mit \beta =90° und c=a aus

a) c=4,5cm
b) b=6cm


Für Super-Fleißige

hier noch Übungsmaterial zum austoben....

http://www.zum.de/Faecher/M//BW/M8/LP2/Kongruenz/kongruenz.html

Für Profis und besonders Interessierte

Mit dem nun folgenden Material kannst du dich als Spezialist noch ein wenig tiefgehender mit den Kongruenzsätzen beschäftigen. Du kannst dir natürlich auch hier die interessantesten Seiten in dein Heft notieren.


Beweisstruktur

Bei der Methode der Kongruenzbeweise versucht man die zu beweisende Behauptung (etwa zwei Strecken oder Winkel seien kongruent) in Zusammenhang mit Dreiecken zu bringen (etwa, indem man Hilfslinien in eine Ausgangskonfiguration einfügt). Über die Gleichheit zweier Dreieck läßt sich dann eine Aussage über die gewünschten Objekte ableiten. Die wesentlichen Werkzeuge bei Kongruenzbeweisen sind die obigen Sätze über kongruente Dreiecke.

Beweisschema:

   Überlegungsfigur mit Hilfslinien
   Formulierung des Satzes
   Voraussetzungen:
       * ..................................(V1)
       * ..................................(V2)
       * ..................................(V3) usw.
   Behauptung: ............. = .................
   Beweis:
       * (1)..........=............. (V1, Satz, Definition.....)
       * (2)..........=............. (V2, Satz, Definition.....)
       * (3)..........=............. (V3, Satz, Definition.....)
   Þ Dreieck ... ist kongruent zu Dreieck ... (Kongruenzsatz)
   Þ .... = ..... (als entsprechende Stücke in kongruenten Dreiecken) q.e.d.

Beispiel:

Satz: In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Winkel kongruent. Überlegungsfigur mit Hilfslinien (vgl. Abb.) Voraussetzung:

   * a = b (V1)
   * w ist Winkelhalbierende von w1 (V2)

Behauptung: w2 = w3

Beweis:

(1) |CF| = |CF| (Identität)

(2) w1a = w1b (V2)

(3) a = b (V1)

Þ Dreieck AFC und Dreieck BFC sind kongruent (SWS)

Þ w2 = w3 als entsprechende Stücke in kongruenten Dreiecken. q.e.d.


Quelle [1]


Auch auf dieser Seite gibt es unter Punkt 3 noch Arbeitsblätter die Aufschluss über Kongruenzbeweise geben...

http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/geometrie/kongr


Du kannst ja nun mal versuchen selbst einen Kongruenzbeweis deiner Wahl zu führen....

Abschlussfrage für alle

Na klar! Was hätten die 3 Jungs also bei der Absprache anders machen müssen, damit alle den gleichen Spaß an ihrer Schanze haben können?


Entstanden unter Mitwirkung von:


  • Charlotte Bierschenk
  • Andreas Häußler