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Kurvendiskussion mit CAS

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Lernpfad

In dieser Unterrichtseinheit finden sich Fragen und Aufgaben rund um die Kurvendiskussion unter Einsatz moderner Computer-Algebra-Systeme (CAS). Zuerst werden die grundlegenden Methoden der Kurvendiskussion an Hand eines Beispiels wiederholt. Danach werden die SchülerInnen in diverse CAS eingeführt. Zur Wissensicherung können abschließend die erworbenen Kenntnisse in Übungen angewandt werden.

Voraussetzungen: gute Kenntnisse der Kurvendiskussion.

Kurzinfo
mathematik-digital
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Inhaltsverzeichnis

Wiederholung

Aufgaben:

Pdf20.gif Musteraufgabe
Pdf20.gif Aufgaben
Pdf20.gif Lösungen

Polynom.png
Bearbeite folgende Aufgaben. Wenn du Hilfe brauchst, findest du hier unter Anderem einen zusammenfassenden Überblick zu den Nullstellen , der Ableitung (Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel), aber auch zu Extremwerten, Hoch- und Tiefpunkten und den Wendepunkten. Außerdem kannst du dir auch noch eine komplette Kurvendiskussion anschauen.




Kurvendiskussion mit GEOGEBRA

Dateien:

Geogebra.svg Kurvendiskussion

Kurvendiskussion.png

Im folgenden Abschnitt wird eine Kurvendiskussion mit Hilfe GeoGebra durchgeführt. Es ist zu beachten, dass GeoGebra (noch) keine CAS ist, sondern ein reines Geometrie Programm. Deswegen beschränken wir uns hier auf eine approximative Herleitung der Null-, Extrem- und Wendestellen. Dies geschieht anhand der Beispielfunktion f(x)= x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-1



Zuerst gibt man die Funktion in die Eingabezeile von GeoGebra ein. Sofort erscheint der Funktionsgraph.


Bestimmung der Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion sind die Schnittstellen des Graphen mit der x-Achse. Deshalb wählen wir hier ganz intuitiv in Geogebra Schneide zwei Objekte aus und schneiden den Funktionsgraphen mit der x-Achse. Die x-Koordinaten der entstandenen Schnittpunkte sind die Nullstellen der Funktion und können nun im linken Fenster abgelesen werden.
In unserem Beispiel ergeben sich die Punkte A(-1.96,0), B(-0.65,0) und C(0.87,0).

Bestimmung der Extremstellen

Die Extremstellen einer Funktion (insbesondere die Art) kann man durch reines hinschauen erahnen. Um jedoch eine genaue Approximation zu erhalten, versuchen wir nun die Punkte mit waagerechter Tangente zu finden. Man erzeugt sich für jede Extremstelle mit Neuer Punkt zwei neue Punkte und legt diese nahe bei der geschätzten Extremstelle auf den Graphen. Nun stellt man mit Gerade durch zwei Punkte die Gerade durch diese beiden Punkte auf. Diese Gerade soll die Tangente an den Graphen darstellen. Mit dem Winkel-Befehl lässt man sich nun den Winkel zwischen dieser Gerade und der y-Achse anzeigen. Nun muss man an die Extremstelle heranzoomen und die beiden Punkte so geschickt verschieben, dass der Abstand zwischen ihnen möglichst klein wird (so dass die Gerade annähernd die Tangente in diesem Punkt ist) und der angezeigte Winkel möglichst nahe an 90° herankommt (entspricht einer waagerechten Tangente). Der Punkt für den das gelingt (d.h. der Mittelwert der beiden verschobenen Punkte), ist ein Extrempunkt der Funktion und kann wieder im Fenster links abgelesen werden.
In unserem Beispiel sieht man die eingezeichneten Geraden "Hochpunkttangente" und "Tiefpunkttangente", sowie die jeweils zwei erzeugenden Punkte (Hochpunkt,F und Tiefpunkt,G) und die Schnittwinkel zwischen Tangenten und y-Achse. Es ergeben sich Hochpunkt(-1.64,12.75) und Tiefpunkt(0,-1).

Bestimmung der Wendepunkte

Die Wendepunkte einer Funktion kann man auch auf den ersten Blick erahnen. Um aber genaue Werte zu erhalten, muss man ähnlich vorgehen, wie bei der Bestimmung der Extrempunkte. Man wählt sich wieder mit Neuer Punkt zwei Punkte auf dem Graphen und legt durch beide eine Gerade mit Gerade duch zwei Punkte. Diese Gerade soll nun die Wendetangente des Graphen approximieren. Sie muss so gewählt werden, dass es einen echten Schnittpunkt und nicht nur einen Berührpunkt zwischen Tangente und Graph gibt. Anschaulich bedeutet das, dass der Graph am Schnittpunkt "auf die andere Seite" der Tangente geht und nicht wie bei einer normalen Tangente üblich, sich in die gleiche Richtung wieder entfernt. Dazu ist es sinnvoll sich den/die Schnittpunkt/e zwichen Graph und Tangente mit dem Schneide zwei Objekte Befehl anzeigen zu lassen. Durch geschicktes Zoomen und Verschieben der freien Punkte minimiert man die Abstände zwischen den Punkten und findet so den echten Schnittpunkt. Diesen kann man dann wieder im linken Fenster als Mittelwert der freien Punkte ablesen.
In unserem Beispiel sind die beiden frei gewählten Punkte Wendepunkt und H, sowie die Wendetangente und die Schnittpunkte D, D_1[nicht angezeigt, da undefiniert] und E zu sehen und somit der ermittelte Wendepunkt(-1.32,8.34).



Kurvendiskussion mit MATHEMATICA

Allgemeines

Mathematica-Notebook

Kurvendiskussion

Mathematica kann als ganz normaler "Taschenrechner" verwendet werden, was allerdings deutlich unter den Möglichkeiten dieser umfangreichen Mathematik-Software liegt. Auch die Anforderungen hier für die Kurvendiskussion liegen weit von der Auslastungsgrenze der Software entfernt. Eventuelle Fehler liegen dann eher im Rahmen der Berechenbarkeit, nicht jedoch in den Fähigkeiten von Mathematica.

Ein Befehl in Mathematica wird mit "Shift"+"ENTER" bestätigt.

Funktion definieren

Eine Funktion in Mathematica wird definiert durch den Funktionsnamen (hier: G) sowie in eckigen Klammern die Variable, die in der Funktion verwendet werden soll (hier: x) und eines _. Darauf folgt ein =; und dann die Funktionsgleichung, die mittels den Eingabehilfen im BasicInput-Fenster eingegeben werden kann. Also z.B.

G[x\_]\ =x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-1

Ausgabe:   -1+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6+x^7


Graph zeichnen lassen

Mit dem folgenden Befehl Plot lässt sich der Graph der Funktion zeichnen. Dieser Befehl benötigt dazu, wiederum in den eckigen Klanner, die Funktion, die gezeichnet werden soll, sowie in geschweiften Klammern die Variable und den Wertebereich für die Zeichnung.

Das PlotStyle→{...} verändert den Graphen in Form und Farbe.
Thickness[a] zum Beispiel verändert die Dicke des Graphen um den Wert a. (Vorsicht mit dem Zahlenwert!!! Kleine Änderungen haben sehr schnelle Auswirkungen)
RGBColor[u,v,w] verändert die Farbe des Funktionsgraphen. (Angabe in u="ROT",v="GRÜN" ,w="BLAU") (Werte für u,v,w zwischen 0 und 1)

Nicht mehr in den Bereich PlotStyle gehört der Graphik-Befehl Background→[...] . Dieser verändert, wie der Name schon sagt,den Hintergrund der Zeichenfläche. Im Beispiel:

Graph:

Graph G(x).png

\text{Plot}[G[x]],\{x,-2,2\},\ \text{PlotStyle}\rightarrow\ \{\text{Thickness}[.005],\ \text{RGBColor}[0,1,0]\}, \ \ \text{Background}\rightarrow\text{RGBColor}[0.98,0.98,0.98]]

Ausgabe:   Mathematica sollte nun einen Graphen gezeichnet haben


Ableitungen

Um von Mathematica eine Ableitung bestimmen zu lassen, gibt es mindestens drei verschiedene Wege.
Die erste Ableitung in diesem Beispiel wird mittels des Differentialoperators \partial_x bestimmt. Dieses Zeichen ist im BasicInput-Fenster zu finden. In den Index gehört diejenige Variable, nach der differenziert werden soll. Dahinter kommt mit f(x) die zu differenzierende Funktion.
Die zweite Ableitung soll mittels des Befehls D[f(x),x] ermittelt werden. Damit wird eine "Differenziation" der Funktion f(x) nach der Variablen x beschrieben.
Auch die intuitive Variante, die aus der Schule bekannt ist, ist möglich. Natürlich kennt Mathematica auch die Bezeichnung f '(x).
Diese Bestimmungsmöglichkeiten können auch kombiniert werden, um eine n-te Ableitung einer Funktion zu bestimmen, ohne die vorherigen bestimmt zu haben. (Das gleiche geht natürlich auch mit den Befehlen im einzelnen)

Wir brauchen hier aber nur die ersten zwei Ableitungen auf eine der beschriebenen Arten zu bestimmen.
g1(x) sei die erste, g2(x) die zweite Ableitung. Also lauten für uns die Befehle:

\text{g1}[x\_]\ =\text{G}'[x]

\text{g2}[x\_]\ =D[\partial_x\text{G}[x],x]

Ausgabe1:   2-3x^2+x4^3-5x^4+6x^5+7x^6
Ausgabe2:   -6x+12x^2-20x^3+30x^4+42x^5


Nullstellen

Für die Nullstellenbestimmung hat man sich auch die verschiedensten Wege in Mathematica ersonnen (mit Vor- und Nachteilen). So gibt es zum Beispiel den Befehl Solve.

\text{Solve}[f[x]\ ==a]

Dieser Befehl löst eine Gleichung f[x] nach einem zuvor festgelegten a auf. Dies kann sowohl Konstante als auch Funktion sein.

Des Weiteren gibt es den Befehl FindRoot.

\text{FindRoot}[f[x]\ ==a,\ \{x,\ b\}]

Hierbei versucht Mathematica die Gleichung f[x]==a für x zu lösen. Dabei sucht es dann ab der Stelle b gegen +∞ nach einer Lösung und gibt diese aus.
Der Unterschied zwischen Solve und FindRoot ist, dass Solve alle Lösungen angibt, FindRoot nur die erste, die Mathematica findet.

Hier wird der Befehl Reduce verwendet.

\text{Reduce}[f[x]\ ==a,\ x,\ \text{Reals}]

Mit diesem Befehl ist es möglich, die Lösungsmenge einzugrenzen.
Die einzelnen Komponenten bedeuten, dass die Gleichung f[x]==a nach x aufgelöst werden soll (a wurde vorher definiert - bei uns gilt a=0), wobei x aus der Menge der reellen Zahlen kommen soll.

Der Befehl N

\text{N}[\ ...]

bedeutet einfach nur, dass die Lösung als Zahlenwert ausgegeben werden soll.

Somit ergeben sich für unser Beispiel folgende Befehle für Mathematica:

\text{N}[\text{Reduce}[G[x]\ ==0,\ x,\ \text{Reals}]]

\text{N}[\text{Reduce}[g1[x]\ ==0,\ x,\ \text{Reals}]]

\text{N}[\text{Reduce}[g2[x]\ ==0,\ x,\ \text{Reals}]]

Ausgabe1:   x==-1.95639||x==-0.646153||x==0.873058
Ausgabe2:   x==0.||x==-1.641
Ausgabe3:   x==-1.31814




Kurvendiskussion mit DERIVE

Allgemeines zum Umgang mit DERIVE

DERIVE-Online-Nachschlagewerk

DERIVE kann auf zwei verschidene Arten bedient werden. Zum einen per Tastatur über die Eingabezeile, die eine korrekte Eingabe der Befehle (und damit auch Kenntnisse der genauen Synatx) erwartet und zum anderen über die (intuitivere) Menüsteuerung mit der Maus, bei der die Befehle nur angeklickt werden müssen.

Bei der Tastatursteuerung wird eine Eingabe durch abschließenden Druck der Enter-Taste gemacht, falls man eine gleichzeitige Vereinfachung des eingegebenen Ausdrucks wünscht, so muss man die Tastenkombination Shift+Enter verwenden.

Das Analogon bei der Maussteuerung sind der Haken für die Eingabe und der Haken mit = für Eingabe mit Vereinfachung neben der Eingabezeile.

Bei schon eingebenen Ausdrücken erfolgt die Bedienung mit der Maus über die Menüleiste und die obere Symbolleiste. Dazu muss ein Ausdruck markiert werden, auf den der ausgewählte Befehl dann angewandt wird.

Bei der Tastatursteuerung kann ein markierter Ausdruck durch einen Druck auf F3 wieder in die Eingabezeile geholt werden, um dann den darauf anzuwendenden Befehl einzugeben.

Wichtige Befehle

Eine lesenswerte Befehlsübersicht finden Sie hier: DERIVE-Befehlsübersicht

Die Befehle, die für eine Kurvendiskussion am wichtigsten sind, werden im folgenden noch einmal kurz zusammengefasst:

Zuweisungsoperator

Eingabezeile: Funktion/Variable := Term/Wert

Menü: Schreiben --> Funktion definieren... (Funktion definieren) bzw. Schreiben --> Variablenwert... (Variable definieren)


Mit dem Zuweisungsoperator kann man Funktionen definieren oder (hier nicht benötigt) Variablen einen Wert zuweisen.

Beispiel: f(x):=x^2

Nun ist im Beispiel die Funktion x^2 dem Programm unter dem Namen f bekannt und kann im Folgenden auch immer als f(x) angesprochen werden, z.B. f(4) liefert als Resultat 16.

Lösen einer Gleichung

Eingabezeile: SOLVE(Gleichung,Variable) (Lösen einer Gleichung in \mathbb{C}) oder SOLVE(Gleichung,Variable,Real) (Lösen einer Gleichung in \mathbb{R})

Menü: Lösen --> Ausdruck (Symbol: Lupe mit =) [Im folgenden Fenster kann man zwischen komplexer oder reeller Lösung auswählen]


Mit dem SOLVE Befehl löst DERIVE die im ersten Argument übergebene Gleichung nach der im zweiten Argument angegebenen Variable algebraisch auf. Es werden alle komplexen (damit insbesondere auch die reellen), oder bei Anfügen von Real als drittem Argument, nur die reellen Lösungen der Gleichung ausgegeben.

Beispiele: SOLVE(x^3+3x^2+x+1=0,x) SOLVE(x^3+3x^2+x+1=0,x,Real)

Numerische Approximation/numerisches Lösen von Gleichungen

Eingabezeile: APPROX(Term)

Menü: Vereinfachen -> Approximieren (Symbol: \approx)


Der APPROX Befehl liefert eine numerische Approximation an den übergebenen Term. (z.B. wandelt er komplizierte Ausdrücke in Dezimalbrüche um). Wird der APPROX Befehl auf den SOLVE Befehl angewandt, wird die zu lösende Gleichung mit numerischen Mitteln gelöst (im Menü wird das beim Lösen von Gleichungen mit der Wahl von Numerisch erreicht).

Beispiele: APPROX(SQRT(2)) APPROX(SOLVE(x^3+3x^2+x+1=0,x,Real))

Ableiten

Eingabezeile: DIF(Funktion/Term,Variable) oder DIF(Funktion/Term,Variable,Ordnung)

Menü: Analysis --> Differenzieren... (Symbol: \partial) [Im folgenden Fenster kann man Ordnung und Variable auswählen]


Der DIF Befehl berechnet die Ableitung eines übergebenen Terms/Funktion nach der angegebenen Variable und der angegebenen Ordnung (wird diese weggelassen, so berechnet er die erste Ableitung).

Beispiele: DIF(x^2,x) DIF(x^3+3x^2+x+1=0,x,2)

Grenzwert

Eingabezeile: LIM(Funktion/Term,Variable,Grenze,Annäherung) oder LIM(Funktion/Term,Variable,Grenze)

Menü: Analysis --> Grenzwert... (Symbol: \lim) [Im folgenden Fenster kann man Variable, Grenze und Annäherung auswählen]


Der LIM Befehl berechnet den Grenzwert einer übergebenen Funktion/Term gegen eine Grenze. Die Angabe der Richtung der Annäherung erfolgt mit -1 (=von links), 0 (beidseitig) oder 1 (von rechts), sie kann aber auch weggelassen werden (dann wird der beidseiteige Grenzwert berechnet)

Beispiele: LIM(1/x,x,0,1) LIM(x^3+3x^2+x+1=0,x,2)

Funktion zeichnen

Menü (im 2D-Graphik-Fenster): Einfügen --> Graph (Symbol: Achsenkreuz mit Funktion)

Durch Mausklick auf das Symbol oder Anwahl im Menü, wird der im Algebra-Fenster markierte Ausdruck gezeichnet.


Bei Funktionen, die einen Parameter enthalten besteht in DERIVE die Möglichkeit die Funktionsgraphen einer solchen Schar zeichnen zu lassen. Man erzeugt die konkreten Funktionen mit dem Befehl VECTOR und lässt diese dann im 2D-Graphik-Fenster auf bekannte Art zeichnen.

Menü: Analysis --> Vektor... [Im folgenden Fenster kann man Parameter, untere/obere Grenze und Schrittweite wählen]

Eingabezeile: VECTOR(Funktion/Term,Parameter,untere Grenze,obere Grenze,Schrittweite)

Der VECTOR Befehl ersetzt in der übergebenen Funktion den Parameter durch alle Zahlen von der unteren bis zur oberen Grenze in der angegebenen Schrittweite und listet alle durch diese Ersetzung entstandenen Funktionen auf.

Beispiel: VECTOR(ax^2,a,-10,10,2)

Beispiel

f(x)=x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-1


Pdf20.gif Das Beispiel ausfühlich erklärt


Pdf20.gif Das resultierende DERIVE-Arbeitsblatt zum Beispiel

Übungen

Team.gif
Entstanden unter Mitwirkung von:

Michael Zier
Frederic Rose
Michael Seufert